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1、苏教版高中数学诱导公式_1.理解四组诱导公式及其探究思路2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单的化简与证明。（一）诱导公式诱导公式一:sin(a+2kp)=sinacos(a+2kp)=cosatan(a+2kp)=tana（其中kZ）诱导公式二：sin(-a）=-sinacos(-a）=cosatan(-a）=-tana（其中kZ）诱导公式三:sin(p-a）=sina1cos(p-a）=-cosatan(p-a）=-tana（其中kZ）诱导公式四：sin(p+a）=-sinacos(p+a）=-cosatan(p+a）=tana（其中kZ）作用：实现正弦（切）函数和余弦
2、（切）函数的互化。口决：奇变偶不变，符号看象限奇偶指的是pk2中k的奇偶性；符号指的是前面三角函数的符号(由象限决定)类型一：利用诱导公式求值例1(直接应用)求下列各三角函数值（1）sin(-163p)；（2）cos(-945o).2解：（1）原式=-sin1644pp3p=-sin(4p+p)=-sinp=-sin(p+)=sin=.333332（2）原式=cos945o=cos(2360o+225o)=cos225o=cos(180o+45o)=-cos45o=-22.点评：对于负角的三角函数求值，可先用诱导公式化为正角的三角函数.若转化得到的正角大于360o，则再利用诱导公式化为(0o,
3、360o)范围内的角的三角函数；若这时的角是(90o,360o)范围内的角，再利用有关的诱导公式化为(0o,90o)范围内的角的三角函数.口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值.练习：求sin10osin(-260o)-cos100ocos(-170o)的值.（答案：1sinacosa）例2(变式应用)求sin(-1200o)cos1290o+cos(-1020o)sin(-1050o)+tan945o的值思路：负角三角函数正角三角函数0o360o角三角函数锐角三角函数求值.解：原式点评：解决这类问题要注意观察角的特点，然后把角化为k360o+a，180oa，360o-a等形式，最后再利用诱导公
4、式求解.练习：求tan(-35p46p37p55p)sin(-)-costan6366.（答案：0）=-22提示：按口诀：“负化正，大化小，化到锐角再求值”进行求值即可.1例3(综合应用)已知cos(a-75o)=-，且a为第四象限角，求sin(105o+a)的值.3导思：（1）角a-75o与角105o+a有什么关系？（2）sin(105o+a)与sin(a-75o)有什么关系？（3）已知cos(a-75o)如何求sin(a-75o)？应注意什么问题？1解：由题意知a-75o为第三象限角，故sin(a-75o)=-1-cos2(a-75o)=-1-(-)2322，故sin(105o+a)=si
5、n180o+(a-75o)=-sin(a-75o)=.33点评：本题主要考查诱导公式的灵活运用和同角三角函数的基本关系.本题的易错点是开平方运1算中的符号问题，即a-75o的范围的确定，应注意到已知条件cos(a-75o)=-中的隐含信息.3练习：若cos(75o+a)=13，且a为第三象限角，求cos(15o-a)+sin(15o-a)的值.（答案：-122-）33类型二：利用诱导公式化简三角函数式32sin(p-a)cos(2p-a).例3(直接应用)化简pcos(a-)5psin(+a)2psinacosa=sinacosa解：原式=cos(-a)sin(+a)p22sinacosa=s
6、in2a.练习：化简：sin(6p-a)cos(10p+a)tan(-a-p)cos(a-p)sin(8p+a)tan(5p-a)；（答案：1）例4(变式应用)求值sin(2np+2p4p)cos(np+)(nZ).33=31当n为偶数时，原式=sin2p2p4ppppp解：当n为奇数时，原式=sin(-cos)=sin(p-)(-cos(p+)=sincos3333333=.2244pppppcos=sin(p-)cos(p+)=sin(-cos)333333(-.=31)=-3224点评：因为诱导公式对于a加p的奇数倍和偶数倍是不同的，故用诱导公式求值时，若遇到p的整数倍，必须对整数分奇数
7、和偶数进行讨论.例5(综合应用)已知a为第三象限角，且f(a)=（1）化简f(a)；3p1（2）若cos(a-)=，求f(a)的值；25sin(p-a)cos(2p-a)tan(-a-p)sin(-p-a)tan(a+p).解：1）由题意f(a)=sin(p-a)cos(2p-a)tan(-a-p)（3）若a=-1860o，求f(a)的值.导思：（1）负角的三角函数如何化简？（2）与p、2p有关的三角函数名称变不变？符号又该如何确定？sinacosa(-tana)（=-cosa.sin(-p-a)tan(a+p)-(-sina)tana（2）用诱导公式化简cos(a-3p3p1)，得cos(a
8、-)=-sina，故由题意得sina=-，225故cosa=-226，故f(a)=6.55（3）因-1860o=-2190o+30o，故f(-1860o)=-cos(-1860o)=-cos(-2190o41已知sin()，则cos6的值为()3B1A13D23C23解析sin33cossin3，3已知点P(sin()，sin()在第三象限，则角所在的象限是(sin()sin()sin()cos，1+30o)=-sin30o=-.2一、选择题13333答案B1cos62313故选B.2已知sin110a，则cos20的值为()AaBaC1a2D1a2答案A解析sin110sin(9020)co
9、s20a.32A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案A解析sin()sin，3222点P在第三象限，sin0，cos0，cos0，是第一象限角)sin2cos()sin()4已知tan2，则(sin2A2B25)DC023cossin1tantan2，原式2，故选B.cot2cos(8)tan(3)3sin(4)答案Bcoscos2解析原式212sin(5)5化简sin()的结果为()tan2DA0C2B132tancotsin6计算sincostan的值是()答案Asintancos解析原式sincos(tan2)(cot)sinsinsin0.4255364ABC3D3344344解
10、析sincostansin()cos(4)tan()sincostan3331.8设(x)sin22xcos2x2cot(19x)，则3_.答案A4255364364364224二、填空题7化简tan1tan2tan3tan89_.答案1解析tanktan(90k)tankcotk1，tan1tan2tan89(tan1tan89)(tan2tan88)(tan44tan46)tan451.6答案1331cot1.cos()sin()cos()sin()3解析(x)cos2xsin2xcot(x)1cotx，333三、解答题9已知角终边上一点P(4,3)，2求的值11922cos()sin()
11、cos()sin()解析211922cos()sin()cos5()sin4()cos()sin()cos()sin()sincos由题意得tan.23.cos()sin()222222(sin)(sin)tan，34cos()sin()119422_基础巩固一、选择题1(2014浙江临海市杜桥中学高一月考)sin600()7ABC3D3122122sin(18060)sin603.答案C解析sin600sin(360240)sin24022已知角的终边过点(4，3)，则cos()()ABCD45354535解析由题意，知cos，cos()cos.B)tanC；cot(AB)cotC(C)，这
12、四个式子中值为常数的有()答案Bx4r5453设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(A2A1个C3个B2个D4个tansin；sin3；答案C解析ABC，ABC.sin(AB)sin(C)sinC，cos(AB)cos(C)cosC，tan(AB)tan(C)tanC，cot(AB)cot(C)cotC，故选C.原题四个式子中式为常数4下列各三角函数值：sin1125；37371212tan3sin1cos1.其中为负值的个数是()A1个B2个8C3个D4个解析1125108045，则1125是第一象限的角，所以sin11250；因37
13、132，则是第三象限角，所以tan0，sin0，故tansin0.tan30，故sin30；因10.为负数因此选B.答案B121237373737371212121212tan3425化简12sin(3)cos(3)的结果是()Asin3cos3C(sin3cos3)Bcos3sin3D以上都不对30cos3.答案A解析12sin(3)cos(3)12sin3(cos3)(cos3sin3)2|cos3sin3|.2原式sin3cos3.6记cos(80)k，那么tan100()A1k2kB1k2kCk1k2Dk1k2tan80，tan100tan80.又sin280cos2801，tan28
14、01.tan100tan80.7已知cos()，则tan(9)_.答案B解析解法一：cos(80)k，cos80k，sin801k2，1k21k2kk解法二：由cos(80)k，得cos80k0，0k1.1cos28011k21k2ktan280k21k2.tan80.1k2k二、填空题12答案39解析cos()cos，cos，tan3，1212tan(9)tan(9)tan()tan3.8已知角的终边上一点P(3a,4a)，a0，13解析cos(105)cos180(75)13sin(105)sin180(75)sin(75)，13又为第三象限角，75为第四象限角，sin(75)1cos2(
15、75)1321223，.cos(105)sin(105)122221333备选题目：（2015年1月密云期末2）sin240=A-32D32C12B-12答案：A（2015年1月顺义期末2）sin120的值等于A.1133B.-C.D.-2222137，则a=答案：C（2015年1月海淀期末11）.已知a(-p,p)，且sina=-cosp或-B.-或C.或-D.或A.-答案：A5p9p9p9p5p5p5p9p1414141414141414（2015年1月海淀期末2）sin7p6=A.答案：D331B.-C.D.-22212（2015年1月丰台期末4）已知sina=513，a是第一象限角，则cos(-a)的值为（）13BC-DA-551312121313答案：C（2015年1月房山期末13）已知cosa=-4答案：-535，且a为第二象限的角，则sin(-a)=.cos(+a)+cos(-)a12（15年1月东城期末12）已知tan(3p-a)=-，则的值是2sin(+a)-2cos(-a)答案：1314