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1、双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。 一、双曲线的定义双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F1、F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a2c）时所成的轨迹叫做双曲线。取过两个定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。设M(x，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)
2、、(c，0)又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a。将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：由双曲线定义，2c2a 即ca，所以c2-a20设 (b0)，代入上式得：双曲线的标准方程：两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a为双曲线的实轴长，2b为双曲线的虚轴长。实轴长、虚轴长、焦距间的关系：，双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：，我们将代入，可得：所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y）到定点(c,0)的距离与到定直线()的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线，其中，定点叫
3、做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数是双曲线的离心率。1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率；（2）范围：；（3）双曲线形状与的关系：；因此越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；（2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约；2、准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；位置关系：，焦点到准线的距离（也叫焦参数）；对于来说，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线。3、双曲线的焦半径：双
4、曲线上任意一点与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。设双曲线，是其左右焦点， ，；同理 ；即：焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：其中分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点同理：焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：二、双曲线的性质1、轨迹上一点的取值范围：（焦点在x轴上）或者（焦点在y轴上）。 2、对称性：关于坐标轴和原点对称。 3、顶点：A(-a,0)， A(a,0)。同时 AA叫做双曲线的实轴且AA=2a； B(0,-b)， B(0,b)。同时 BB叫做双曲线的虚轴且BB=2b。 4、渐近线： 由，当所以：双曲线的渐近线方程为：焦点在x轴：，焦点在y轴： 5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一
5、点P(x,y)到焦点距离） 右焦半径：r=ex-a 左焦半径：r=ex+a 6、共轭双曲线 双曲线S: ，双曲线 双曲线S的实轴是双曲线S的虚轴 且双曲线S的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S与双曲线S为共轭双曲线。 特点： （1）共渐近线 （2）焦距相等 （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 7. 焦点到一条渐近线的距离特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长这个性质很重要三、例题求解：例1：已知双曲线的渐近线是，我们可以判断直线与双曲线的交点个数当直线的斜率时，如果，显然它就是渐近线，与双曲线没有任何交点，如果，则它与双曲线有一个只有一个交点。当直线的斜率时，
6、则与双曲线有两个交点。当直线的斜率时，则与与双曲线没有交点例2已知直线与双曲线有两个不同的交点，试确定的范围解：由可得，从而，解得又因为的渐近线方程是，所以.故例3已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是2倍，则有双曲线的离心率是 解：由已知可知,所以例4 双曲线上一点与左右焦点构成，求的内切圆与边的切点的坐标。分析：设点在已知双曲线的右支上，要求点的坐标。即求的长度，而，其中，只需求的长度，即是圆的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。解：设点在已知双曲线的右支上，由题意得，又，又，当点在已知双曲线的右支上时，切点为顶点,当点在已知双曲线的左支上时，切点为顶点例5 已知是
7、双曲线的左右焦点，在双曲线的左支上，求的值分析：如右图，先做出的内切圆，则切于点，等于内切圆的半径。且，解：做出的内切圆，则切于点，例6 设是曲线:的焦点， 为曲线:与的一个交点，则的值分析：利用双曲线及椭圆的定义找出、之间的关系。解析：设，不妨设，显然椭圆和双曲线共焦点，由椭圆和双曲线的定义可知且，在三角形中，由余弦定理可知例7 已知是双曲线的左右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，求双曲线的离心率.解析：由题意的，由定义知，则。例8 已知双曲线的左右焦点分别为若双曲线上存在一点使得，求双曲线离心率的范围。解析：由双曲线的定义，在中，结合双曲线的图像，即例9 已知双曲线的左
8、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形，求双曲线的离心率。解析：设为圆与双曲线在第二象限的交点，则，在中，例10 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上任意一点，的内角平分线为，过的垂线M，设垂足为，求点的轨迹。解析：延长交于由角平分线及垂直关系得，有是的中位线，从而，故为定值，即点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆（去掉与轴的交点）方程为例11、已知：，：，若与内切与外切，求的圆心的轨迹方程。解析：，圆心，半径，：圆心，半径，由题意的，。，即是以为焦点的双曲线的左支。，。点的轨迹为例12、已知是双曲线的左右焦点，是双曲线内部一点，为
9、双曲线左支上一点，求的最小值解析：双曲线的定义，即当且仅当、三点共线时“”成立。例13、已知双曲线方程为两焦点分别为设焦点三角形中证明：。证明又综上例14一个动圆与两个圆x2y2=1和x2y28x12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ）、已知两圆，动圆M与两圆都相切，则动圆圆心M的轨迹方程。例15、设是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于，求点到焦点的距离。分析：已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式。解析：由及，得 或。由， 知右支的顶点到的距离为，而已知，说明点在左支上，此时，所以，点到焦点的距离为。点评：此类问题可以是一
10、解，也可以是两解，如：当时，有两解；当时，有一解，因此，对运算结果必须做合理性分析。例16、如图，双曲线其焦点为，过作直线交双曲线的左支于两点，且，则的周长为 。分析：本题中，都是焦半径，而的周长恰好是这四条焦半径之和，应用第一定义便可得。解析：由；由，； 故的周长为。点评：本题结合定义，求出，再求周长，简便易行；假如本题未给图形及条件“过作直线交双曲线的左支于两点”中“左支”两字，情况又会怎样呢？例17、已知双曲线的左、右两焦点分别为，为双曲线上一点，若，且，求的面积。分析：欲求面积，首先要确定的值，由第一定义及可以构成方程组，通过方程组求得及的值。解析：由，又或，由于，得，又，即，从而得，
11、因为且，得或；若，则，此时，不合题意；若，则，此时，符合题意；那么，从而故的面积为点评：本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力；运算过程既要用要方程思想又要注重分类讨论思想，体现了重思维、轻运算量这一大纲要求。例18、解方程分析：对第一个式子配方，得。联想两点间的距离公式，可设，此时变为，问题即可解决。解析：原方程可变为，令，则方程以变为，显然，点在以，为焦点，实轴长为的双曲线上，易得其方程为。由，得。双曲线学生练习和重要结论1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2. PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3
12、. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5. 若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是.6. 若在双曲线（a0,b0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.9. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.10. AB是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。11. 若在双曲线（a0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.12. 若在双曲线（a0,b0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.