《高等数学教学教案§11. 6高斯公式通量与散度.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学教学教案§11. 6高斯公式通量与散度.doc（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：1532737611711. 6 高斯公式 通量与散度授课次序73教 学 基 本 指 标教学课题11. 6 高斯公式 通量与散度教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点高斯公式教学难点用高斯公式计算曲面积分参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学微分 ：differential calculus；全微分：total differential；偏微分：partial differential ；积分：integral；重积分：multiple int
2、egral；二重积分：double integral；三重积分：threefold integra课堂教学目标1 了解高斯公式、斯托克斯公式；2 会用高斯公式计算曲面积分。教学过程1高斯公式（35min）；2用高斯公式计算曲面积分（35min）3通量与散度的概念与计算（20min）教 学 基 本 内 容10. 6 高斯公式 通量与散度 一、高斯公式 定理1设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数, 则有 , 或 , 简要证明 设W是一柱体, 上边界曲面为S1: z=z2(x, y), 下边界曲面为
3、S2: z=z1(x, y), 侧面为柱面S3, S1取下侧, S2取上侧; S3取外侧. 根据三重积分的计算法, 有. 另一方面, 有 , , , 以上三式相加, 得 . 所以 .类似地有, , 把以上三式两端分别相加, 即得高斯公式. 例1 利用高斯公式计算曲面积分, 其中S为柱面x2+y2=1及平面z=0, z=3所围成的空间闭区域W的整个边界曲面的外侧. 解 例2 计算曲面积分, 其中S为锥面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h (h0)之间的部分的下侧, cosa、cosb、cosg是S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦. 解 例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y
4、, z)在闭区域W上具有一阶及二阶连续偏导数, 证明 , 其中S是闭区域W的整个边界曲面, 为函数v(x, y, z)沿S的外法线方向的方向导数, 符号, 称为拉普拉斯算子. 这个公式叫做格林第一公式. 证: 二、通量与散度 高斯公式的物理意义: 将高斯公式 改写成 , 其中vn=vn=Pcosa +Qcosb +Rcosg, n=cosa , cosb , cosg是S在点(x, y, z)处的单位法向量. 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量, 左端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量. 散度: 设W的体积为V, 由高斯公式得 , 其左端表示W内源头在
5、单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值. 由积分中值定理得 . 令W缩向一点M(x, y, z)得 . 上式左端称为v在点M的散度, 记为divv, 即 . 其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量. 一般地, 设某向量场由 A(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k 给出, 其中P, Q, R具有一阶连续偏导数, S是场内的一片有向曲面, n是S上点(x, y, z)处的单位法向量, 则叫做向量场A通过曲面S向着指定侧的通量(或流量), 而叫做向量场A的散度, 记作div A, 即 . 高斯公式的另一形式: , 或, 其中S是空间闭
6、区域W的边界曲面, 而 An=An=Pcosa+Qcosb+Rcosg是向量A在曲面S的外侧法向量上的投影. 10. 7 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式 定理1 设G为分段光滑的空间有向闭曲线, S是以G为边界的分片光滑的有向曲面, G的正向与S 的侧符合右手规则, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在曲面S(连同边界)上具有一阶连续偏导数, 则有 . 记忆方式: ,或, 其中n=(cosa , cosb , cosg)为有向曲面S的单位法向量. 讨论: 如果S是xOy面上的一块平面闭区域, 斯托克斯公式将变成什么? 例1 利用斯托克斯公式计算曲
7、线积分, 其中G为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则. 解 设S为闭曲线G所围成的三角形平面, S在yOz面、zOx面和xOy面上的投影区域分别为Dyz、Dzx和Dxy , 按斯托克斯公式, 有 . 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分 , 其中G是用平面截立方体: 0x1, 0y1, 0z1的表面所得的截痕, 若从x轴的正向看去取逆时针方向. 解 取S为平面的上侧被G所围成的部分, S的单位法向量, 即. 按斯托克斯公式, 有 , 其中Dxy为S在xOy平面上的投影区域, 于是 . 提示 : . . . 二、环流量与旋度 旋度: 向量场A=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)所确定的向量场 称为向量场A的旋度, 记为rotA, 即 . 旋度的记忆法: . 斯托克斯公式的另一形式: , 或 其中n是曲面S上点(x, y, z)处的单位法向量, t是S的正向边界曲线G上点(x, y, z)处的单位切向量. 沿有向闭曲线G的曲线积分 叫做向量场A沿有向闭曲线G的环流量. 上述斯托克斯公式可叙述为: 向量场A沿有向闭曲线G 的环流量等于向量场A的旋度场通过G所张的曲面S的通量.备注栏教学后记10. 6 高斯公式 通量与散度 第 5 页 共 5 页