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1、对称问题和最值问题,锦州中学 高月,对称问题,（1）中心对称,点的中心对称,对称问题,（1）中心对称,直线的中心对称,例、求直线3x+4y+3=0关于点A（-2，3）的对称直线.,1、在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方 法求出对称点，再由两对称点确定对称直线；,主要方法：,2、在已知直线上取一点，根据点的中心对称的方 法求出一个对称点，再利用对称直线与原直线 平行求出对称直线。,对称问题,（2）轴对称,点的轴对称,对称问题,点关于特殊直线的对称问题：,点A（a,b)关于x轴的对称点为,A（a,-b),点B（a,b)关于y轴的对称点为,B（-a,b),点C（a,b)关于直线y=m的对称点为
2、,C（a,2m-b),D（2n-a,b),点D（a,b)关于直线x=n的对称点为,点E（a,b)关于直线y=x的对称点为,点F（a,b)关于直线y=-x的对称点为,E（b,a),F（-b,-a),点P（a,b)关于直线y=x+m的对称点为,点Q（a,b)关于直线y=-x+n的对称点为,Q（-b+n,-a+n),P（b-m,a+m),对称问题,（2）轴对称,直线的轴对称,例、求直线3x+4y+3=0关于直线2x-y+1=0的对称直线.,1、若给出的两条直线平行，则所求直线也与它们平行， 此时在已知直线上取一点，根据点的轴对称，求出 对称点就可确定所求直线；,主要方法：,2、若给出的两条直线相交，
3、先求出它们的交点，再在 已知直线上取一点，根据点的轴对称的方法求出对 称点，就可由两点确定所求的对称直线。,例、求直线3x+4y+3=0关于直线3x+4y-1=0的对称直线.,对称问题的应用,例1：一束光线从点P（1，-3）出发，经过直线l:8x+6y-25=0 反射后通过点Q（-4，3）. (1) 求反射光线所在直线的方程； (2) 求反射点M的坐标； (3) 求光线经过的路程。,对称问题的应用,例2：ABC的顶点A的坐标为（1，4），B，C平分线 的方程分别为x-2y=0和x+y-1=0，求BC所在直线的方程。,对称在求最值中的应用,例3：已知点M（3，5），在直线l:x-2y+2=0和y
4、轴上各找一 点P和Q，使MPQ的周长最小，并求最小值。,对称在求最值中的应用,例4：已知点A（1,-2)和点B(3,3),在直线l:2x-y+4=0上找 一点P,使 最小,并求最小值。,例5：已知点A（1,-2)和点B(-3,3),在直线l:2x-y+4=0上找 一点P,使 最大,并求最大值。,总结: 大同小异,最值问题,例1：直线l过点M（2，1）且分别交X轴与Y轴正半轴于点 A、B，O为坐标原点。 (1) 求AOB面积最小时直线l的方程； (2) 求 最小时直线l的方程； (3) 求 最小时直线l的方程。,最值问题,例2：已知 求： (1) 的最小值； (2) 的范围。,最值问题,例3：（
5、1）过点A（2，1）的所有直线中，距离原点最远 的直线方程为 （2）两条平行直线分别过点P（-2，-2），Q（1，3） 它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕点 P、Q旋转并互相保持平行，则d的范围是 （3）抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 （4）若点P 在直线 上，则 的最小值为,例：一等腰三角形的底边所在直线l1的方程为x+y-1=0, 一腰所在直线l2方程为x-2y+1=0,又另一腰所在直 线l3过点（-2，0），求l3的直线方程。,例：已知直线l经过点P（3，1）且被两平行直线l1：x+y+1=0 和l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程。,补充练习,补充练习,A、若C0,则A0,B0 B、若C0,则A0 C、若C0,B0,B0,补充练习,补充练习,初中我们证明过这样一个问题： 等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。,你能用解析几何的方法证明此问题吗？,素材和资料部分来自网络，如有帮助请下载!,