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1、硬币滚动中的数学教案教学内容课 型新授课时间 地点教学目标类 别功能目 标 内 容知识与技能学会探索硬币在不同轨道中滚动经过的周长的规律，以及圆心经过的路程与圆滚动的圈数之间的关系.过程和方法会学探索硬币在不同轨道中滚动经过的周长的规律，以及圆心经过的路程与圆滚动的圈数之间的关系.情感、态度和价值观乐学经历操作、探索、计算的过程，初步体会数学就在我们身边，小问题中也蕴含大学问，并理解、掌握转化的数学思想.重 难 点重 点中点四边形形状判定和证明。 难 点对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括。课前准备1.学案，2.教案，3.课件，4两枚一元的硬币。教学方法“探究变式达标”教学法大致包括“情
2、境-探究-归纳-变式-检测-达标”六个方面。教学模式“探究变式达标”教学法的六个方面是：1.情境：启发诱导,创设问题情境，以激发学生兴趣。2.探究：使学生在积极思考、动手实践、自主探索、合作交流中发现知识。3.归纳：师生归纳结论，理清知识系统。知道新学知识的用途，把所学新知识与相关的旧知识纳入知识系统中去。4.变式：例习题依据层次进行变式训练，从而达到低起点、大容量、快节奏，通过拓展和变式体现试题有梯度。5.检测：一节课或一单元或全章内容学习结束时，对重点知识、基础知识及时进行测验。一方面了解学生知识掌握情况，另一方面达到学以致用的目的.（1）课时检测，5分钟为宜.（2）单元检测，20分钟为宜
3、，不超过30分.（3）全章检测，不超过45分.6.达标：达标主要有课时达标和单元达标.（1）课时达标：就每一节课来说，重点知识和数学思想方法，根据探究新知识和变式训练、拓展题的效果，确定此节课是否达标。如果有10%以上的学生不达标，则组织学生讨论或教师讲解，直到学生达标率达到要求后才进行下一节新课的教学。（2）单元达标：一单元学习结束后对这单元进行检测，如果有15%以上的学生没有达标，就再确定回授的内容和节次，直到学生达到要求后，才进行下一个单元的教学。教学过程：一、创设问题情境 1. 猜一猜，做一做，将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动
4、了()A1圈 B1.5圈C2圈 D2.5圈小李说，因M和N的周长都是，所以，N固定，M沿着N的边缘滚动，M也刚好一圈就能回到原位.小李说对了吗？ 先猜一猜，再动手做一做。动手实验时，请在硬币M上作好记号.实验的结果是，M沿着N的边缘滚动，要滚动二圈.二、探索新知，合作交流我们以前学习二次函数时，由抛物线1平移得到抛物线2，研究平移的方向和距离时，是考查的两抛物线的特殊点，顶点。那么，一枚硬币在平面上滚动，要研究它滚动情况，应观察什么？学生观察圆心，观察圆心的运动路径。师：要研究M沿着N的边缘滚动二圈的原因，先研究最简单的情形，即O在线段AB上滚动的情形。（一）探究一 硬币在直线上滚动（投影显示
5、-O在线段AB上滚动的情形）问题1：如图，将一枚半径为r的硬币在长度为2r直线段上滚动一圈，这枚硬币滚动的距离为多少？圆心移动了多少距离？滚动的过程中，圆O与直线AB是怎样的位置关系？生：圆滚动时，圆心经过的路径的长度等于圆滚动过的长度. 变式问题2：如图，线段AB=4r ，则这枚半径为r的硬币从点A滚动到点B需滚动几圈？教师教具演示。 学生回答后，多媒体演示.由问题1、问题2归纳出结论：当硬币在直线段上滚动时，硬币滚动的圈数=（二）探究二 硬币在折线上滚动变式问题3：如图4（1），若将这条线段从中点C处折成一个直角形状，这时两折线段的总长为4r，这枚半径为r的硬币从点A滚动到点B是否还是滚动
6、2圈？猜一猜。请猜一猜还是刚好滚动2圈吗？动手操作：拿硬币在书角处滚动一下.（先拿硬币在刻度尺上量一下手中的硬币滚动一圈的大约长度，然后在书角上做出标记再来滚硬币）（大约2.25圈）算一算：如图4（2），（提示：找出圆心经过的路线.）先画出路线，再计算.多媒体演示：圆心经过的路线是由两条长为2r的线段和一条圆心角为90度、半径为r的弧组成，总长度为，所以滚动的圈数为2r=. 变式师：图4（1），C不一定是线段的中点，还成立吗？为什么？生：变式试一试：如图5（1），若将这条线段从中点C处折成一个60度角，两折线段的总长为4r，这枚半径为r的硬币从点A滚动到点B滚动了多少圈？圆心经过的路线如图5（
7、2），是由两条长为2r的线段和一条圆心角为60度、半径为r的弧组成，总长度为，所以滚动的圈数为 师：图5（1），C不一定是线段的中点，还成立吗？为什么？生：【变式】想一想，如图6，半径为r的圆，在两条折线和为4r且夹角为度折线上滚动，滚动的圈数是多少？半径为r的圆，在两条折线和为a且夹角为度两条折线上滚动，滚动的圈数又是多少？折线段夹角图形折线段总长度弧对的圆心角圆心经过的路径总长滚动的圈数=90度折线90度60度折线60度度折线度度折线a度折线段夹角图形折线段总长度弧对的圆心角圆心经过的路径总长滚动的圈数=90度折线90度60度折线60度度折线a度归纳： 半径为r的圆，在两条折线和为a且夹角
8、为度两条折线上滚动，滚动的圈数是：（三）探究三 硬币在多边形外部滚动变式1. 刚才折线总长为，连AB，得等边三形ABC。如图7（1）。等边三形ABC的周长为6r，O从点A开始，经过点C、点B最后回到开始位置，这枚硬币会滚动多少圈？分析：在三边上分别是各滚动1圈， 如图7（2），圆心经过的路线是由3条长为的线段和三条圆心角为120度、半径为r的弧组成，只要能圆心找到三项点处所在圆弧滚动的总路径总长即可。圆心在三条圆弧滚动的总路径总长=。总长度为+=，所以滚动的圈数为（+）=2+1=3 2.如图8（1），若半径为r的硬币周长为的正方形边上滚动一周，这枚硬币会滚动多少圈？圆心经过的路线是由4条长为的
9、线段和四条圆心角为90度、半径为r的弧组成，圆心经过的路线的总长度为+=，2r=5=4+1 图形名称图形周长O的半径r内角和圆心经过路线的弧对的圆心角和圆滚动圈数等边三角形O的周长180度360度3+1正方形O的周长360度360度4+1思考：观察上表，你发现了什么？根据你发现能否解决下列问题？三角形的周长不变，由等边三角形换成任意三角形，圆滚动圈数会不会改变？四边形的周长不变，由正方形形换成任意四边形，圆滚动圈数会不会改变？任意的五边形的周长，O的半径r，滚动几圈？任意多边形的周长为a，O的半径r，滚动几圈？（四）探究四 硬币在圆形上滚动1. 课前问题解答：如图9，M的圆心M所经过的路线是一
10、个以点N为圆心，2r为半径的圆，所以圆心M所经过的路程为4r，M滚动的圈数为=2.2. 算一算：一个半径为1cm的圆在另一个半径为3cm的圆的外部滚动一周，这个小圆自身会滚动几圈？若将这个小圆放在大圆的内部滚动一周，这个小圆自身滚动的圈数是否一样？为什么？ 三、学以致用将5枚半径为1cm的硬币放在桌上排成一条直线，固定右边的4枚，将最左边的一枚沿着它们的边缘滚动最右边，还是成一条直线，这时硬币滚动的路程为 ，转了 圈. 四、小结：五、拓展：1. 将4个硬币拼成如图的形状，再将另一个硬币绕着它的外部滚动一周，则这枚硬币滚动的路程是 .2. 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示：AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，圆盘从A点滚动到D点，圆心所经过的路线的长度为多少？ABCD6060cm40cm40cm小结