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1、圆的性质及定理圆的初步认识一、圆及圆的相关量的定义（28个）1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这
2、条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。二、有关圆的字母表示方法（7个）圆- 半径r 弧- 直径d扇形弧长/圆锥母线l 周长C 面积S三、有关圆的基本性质与定理（27个）1.点P与圆O的位置关系（设P是一点，则PO是点到圆心的距离）：P在O外，POr；P在O上，POr；P在O内，POr。2.圆是轴对称图
3、形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交
4、点，到三角形3边距离相等。9.直线AB与圆O的位置关系（设OPAB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与O相离，POr；AB与O相切，POr；AB与O相交，POr。10.圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。11.圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为P）：外离PR+r；外切P=R+r；相交R-rPR+r；内切P=R-r；内含PR-r。四、有关圆的计算公式1.圆的周长C=2r=d 2.圆的面积S=r? 3.扇形弧长l=nr/1804.扇形面积S=nr?/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=rl五 圆的方程1.圆的标准方程在
5、平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r22.圆的一般方程把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a2+b2相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r.六 圆与直线的位置关系判断链接:圆与直线的位置关系(一.5)平面内,直线Ax+By+C=O与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是讨论如下2种情况:(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,其中B不等于0,代入x2+y2+Dx+Ey+F=0,即成为
6、一个关于x的一元二次方程f(x)=0.利用判别式b2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:如果b2-4ac0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交如果b2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切如果b2-4ac0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离(2)如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y轴(或垂直于x轴)将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)2+(y-b)2=r2令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1x2当x=-C/Ax2时,直线与圆相离当x1x=-C/Ax2时,直线与圆相交当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切2行稳致远b