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1、,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,第十二章,1,苍松课资,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,2,苍松课资,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,3,苍松课资,4,苍松课资,5,苍松课资,6,苍松课资,7,苍松课资,8,苍松课资,（一阶线性方程）,9,苍松课资,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除
2、方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),10,苍松课资,例6. 求方程,的通解.,解: 令,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,11,苍松课资,内容小结,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,12,苍松课资,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,13,苍松课资,备用题,1. 求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,14,苍松课资,2. 设有微分方程,其中,试求此方程满足
3、初始条件,的连续解.,解: 1) 先解定解问题,利用通解公式, 得,利用,得,故有,15,苍松课资,2) 再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3) 原问题的解为,16,苍松课资,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外, 他对,双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,17,苍松课资,