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1、四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。2、若一个四边形的一组对角互补（和为180），则这个四边形的四个点共圆。3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。6、若AB、CD两线段相交于P点，且PAPB=PCPD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。7、若AB、CD两线段延长后相交于P。且PAPB=PCPD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。8、若四边形两组对边乘
2、积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。2、 若一个四边形的一组对角互补（和为180），则这个四边形的四个点共圆。 若A+C=180或B+D=180，则点A、B、C、D四点共圆。 3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。若B=CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。若A=D或ABD=ACD，则
3、A、B、C、D四点共圆。 5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。如图2，若A=C=90，则A、B、C、D四点共圆。6、若AB、CD两线段相交于P点，且PAPB=PCPD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。7、若AB、CD两线段延长后相交于P。且PAPB=PCPD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。 8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理）。 已知四边形ABCD，若ABCD+BDAC=ADBC，则A、B、C、D四点共圆。 （三）例题123二、四点共圆的性质1、共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。2、圆内接四边形的对角互补。3、圆内接四边形的外角等于内对角。5行稳致远b