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1、运筹十-库存理论,1,第十章 存储理论,平抑波动，保障供给,运筹十-库存理论,2,存储理论 (Inventory Theory),与排队现象一样，存储是一种常见的社会和日常现象 平抑波动，保障供给 两方面的矛盾：短缺造成的损失和存储形成的费用 起源于物资管理和生产过程控制 经典存储理论和现代物流管理 经典研究最佳订货周期和订货量 现代研究如何将存储降至最低，减少和优化物流环节，如 JIT，MRPII，Supply Chain 现代物流管理的原因 产品个性化、地皮价格暴涨、专业化生产、信息系统、商业信誉 本章只介绍经典存储理论的基础,运筹十-库存理论,3,10.1 存储系统、费用和管理,存储过程
2、通常包括三个环节：订购进货、存储和供给需求 存储系统的中心可视为仓库，如下图 对存储系统而言，外部需求一般是不可控的因素，但可以预测；总体上需求可分为确定型的和随机型的 但订购时间和订购量一般是可控的因素。问题是：什么时间订货，一次订多少？,备运期：从订购单发出到物资运到入库这段时间 备运期可能是确定型的，也可能是随机型的 几种相关的费用 订购费：包括联系、质检、运输、入库等与订购数量无关的一次性费用 物资单价：是否与时间有关？是否与批量有关？,运筹十-库存理论,4,存储费：包括保管费、仓库占用费、流动资金利息、存储损耗费等，与时间和数量成正比 缺货损失费：两种形式，停产形成的真正损失；商店断
3、货形成的机会损失 存储策略：确定订货的间隔时间和订购量 定期补充法：以固定的时间间隔订货，每次订货要把储量恢复到某种水平。简单但容易造成缺货或积压 定点补充法：当存货量下降到某点就订货，每次的订货量可以是固定的。称为(s, S)策略，s 代表订货点，S 代表最大储量，因此订货量为 Q=Ss。要监视订货点 分类管理法：按照占用流动资金的多少或总的存储费的大小将存储物资分为三类，如下表所示。第一类是管理重点，第二类适当控制，第三类大体估算，可多存一些以免缺货,运筹十-库存理论,5,10.2 确定型存储模型,备运期和需求量都是确定性的称为确定型模型，若其中有一 个是随机的，则称为随机型模型。本节只介
4、绍确定型模型 10.2.1 不允许缺货模型 模型假设 单位时间的需求量为常数 D (称为需求率) 备运期为 0；不允许缺货；各种参数均为常数 设订货量为 Q，订货周期为 t，需求率为 D 一次订购费为 Cd，单位物资单位时间的存储费为 Cs 定性分析 每次订购量小，则存储费用少，但订购次数频繁，增加订购费；每次订购量大，则存储费用大，但订购次数减少，减少订购费；因此有一个最佳的订货量和订货周期 定量分析 每次订购量 Q=Dt(1) 平均储量 = 0.5Q,运筹十-库存理论,6,不允许缺货模型的推导,可比性原则 单位相同，时间相同；目标函数的含义相同 由于系统存量具有周期性，因此只需研究一个周期
5、 Q 不同，周期长度 t 也不同，因此目标函数应为单位时间内的总费用,单位时间内总费用是订货量 Q 的非线性函数,运筹十-库存理论,7,不允许缺货模型的推导,由 C(Q) 曲线可见 Q0 点使单位时间总费用最小，称为经济订货量 (Economic Order Quantity, E.O.Q) 根据 (2)式求经济订货量 Q0，对 C(Q) 求导,运筹十-库存理论,8,不允许缺货模型的几点说明,1、没有考虑物资单价 若物资单价与时间和订购量无关，为常数 k，则单位时间内的物资消耗费用为,2、若备运期不为零，(3)(4)(5)式仍成立 设备运期 L 为常数，则可得订货点 s=LD，Q0 和 t0
6、都不变,3、灵敏度分析 设实际订购量 Q=rQ0，r 为一比例常数,运筹十-库存理论,9,则实际订购量的平均总费用为,当 r 由 0.5 增大到 2 时,当 r=1.1 比值仅为 1.0045，可见灵敏度很低,运筹十-库存理论,10,例1 某工厂生产载波机需电容元件，正常生产每日需600个，每个存储费 Cs =0.01 元/周，订购费每次为 Cd =50 元，问：(1)经济订货量为多少？(2)一年订购几次？(一年按 52 周计)，(3) 一年的存储费和订购费各是多少？ 解： 以周为时间单位，每周按 5 天计，则 D=5600=3000个/周 (1)由(3)式得,运筹十-库存理论,11,10.2
7、.2 允许缺货模型,允许缺货，但到货后补足缺货，故仍有 Q=Dt Q 为订货量，q 为最大缺货量；t 是订货周期，t1 是不缺货期， t2 是缺货期；最大存储量为 H=Qq Cq 为单位缺货损失费，其它费用参数符号同不允许缺货模型,运筹十-库存理论,12,故单位时间平均总费用为,将 q 代入(7)式，得,先对 C(Q, q) 对 q 求偏导，并令导数为 0,运筹十-库存理论,13,由于 Cq / (Cs+Cq)1，故允许缺货是有利的 拆借现象，商店中的期货 Cq ，退化为不允许缺货模型,运筹十-库存理论,14,例：某公司经理一贯采用不允许缺货的经济批量公式确定订货批量，因为他认为缺货虽然随后补
8、上总不是一件好事。但由于激烈竞争迫使他不得不考虑采用允许缺货的策略。已知对该公司所售产品的需求为 200件/季度，每次的订货费用为150元，存储费为 3元/件.年，发生缺货的损失费为 5元/件.季度，试分析：(a)计算采用允许缺货策略较之不允许缺货策略每年节省的费用；(b)该公司为保持一定信誉，规定缺货量不得超过订货总量的15%，且任何一名顾客等待补货的时间不超过 3周，问允许缺货的最优策略能否满足要求？ 解：D=800件/年，Cd150元，CS3元/件.年， Cq20元/件.年。 (a) 不允许缺货策略 Q0=283件，C(Q0)=848.53； Cq/Cq+CS1/2 =0.9325；允许
9、缺货策略 Q0=303件，C(Q0)=791.25； (b) CS/Cq+CS =0.13043；最大缺货量 q040件，故缺货比例为 40/303=13.2%；最长缺货等待时间为 t2q0 /D=40/800(年) =18.25天 3周； 故允许缺货的最优策略能满足要求。,运筹十-库存理论,15,10.2.3 连续进货，不允许缺货模型,周期性的零部件生产 t1 为零件生产期，单位时间产量为 K，D 为零件消耗率， KD ；Q =K t1为生产期总产量； t2 为转产期，t = t1 + t2 为生产周期， H 最大存储量 Cd 这里称为准备费,运筹十-库存理论,16,故单位时间平均总费用为,
10、KD，C(Q0)0， Q0 (长期合同) 正是 JIT 无仓储生产的道理 K，退化为不允许缺货模型,直接应用不允许缺货模型的公式(3)，得,运筹十-库存理论,17,10.2.4 两种存储费，不允许缺货模型,自有仓库容量不够，需要租用仓库 t1 租用仓库存储时间；t2 自有仓库存储时间，t = t1 + t2 =Q/D 为订货周期 W 为自有仓库容量 Cr 为租用仓库存储费率，且 Cr Cs ，所以先用租用仓库,运筹十-库存理论,18,故单位时间平均总费用为,Cr，Q0wW Cr=Cs 时，退化为不允许缺货模型,对(15)式导，解极值点,运筹十-库存理论,19,10.2.5 不允许缺货，批量折扣
11、模型,物资单价与购买批量有关。设共有 n 个批量等级，等级越高，批量越大，单价越低 令 Kj 代表第 j 级的批量单价；Mj 代表该批量的最小一次订购量，即一次订购量 在区间 Mj , Mj+1) 内，享有单价 Kj 其它条件都同不允许缺货模型 因此，批量折扣模型的单位时间平均总费用为,公式(18)只适用Mj , Mj+1) 红线描出的一段,运筹十-库存理论,20,批量折扣模型最经济订货量的计算步骤,1、先用公式(3)求 Q0，若 Q0 落入 Mn , ) ，则 Qm= Q0；若落在 Mi , Mi+1)内，则 2、计算 Cj(Mj), j=i+1, ., n 3、求 C(Qm)=minCi(
12、Q0), Cj(Mj),ji,例2 某工厂每月需要某种零件 2000件，已知每件每月存储费为 0.1 元，一次订购费为 100元。一次订购量与零件单价关系如下：,运筹十-库存理论,21,解：(1)不考虑单价，计算经济订货量,运筹十-库存理论,22,10.3 多阶段存储模型,是一种动态规划 可以用网路图来表示 用最短路解法,10.4 随机型存储模型,10.4.1 报童问题 在合同期，邮局每日定量向“报童”供应报纸，但购买报纸的顾客是随机的。报纸当日出售，一份可得纯收入 a 角钱，若过期销售，每份亏损 b 角钱。如何确定日进货量使合同期收入最大？(忽略订购费) 供大于求：折价处理的损失相当存储费
13、b 供小于求：机会损失，相当缺货损失费 a 由于需求是随机的，因此应使总的期望损失最小,运筹十-库存理论,23,设 Q 为每日定货量，常数；x 为每日需求量，随机变量 x 为离散随机变量，P(x) 为分布函数 则每日损失 C(Q) 为,当 Q0 为最优值时，应满足下两式,运筹十-库存理论,24,将(4),(1)式代入(2)式，解不等式，可得,故 Q0 满足下式时，总期望损失 EC(Q0) 最小,将(5),(1)式代入(3)式，解不等式，可得,a/(a+b) 称为临界比。P(x)已知，通过求累积概率可得 Q0,运筹十-库存理论,25,例2 设报纸零售商出售一份报纸的净收入为 a=1角，售不出去时
14、，每份亏损 b=3角，已知需求量 x 的概率分布如表，求：(1)零售商应订多少份报纸才能使纯收入期望值最高？纯收入期望值是多少？(2)当 a=b=2角时，应订多少？纯收入期望值为多少？(3)只订 30份，纯收入期望值为多少？,解：(1) a/(a+b)=0.25，查表可知 Q=32。期望净收入为,(2) a/(a+b)=0.5，查表可知 Q=34。同理期望净收入为64.24角 (3)显然期望净收入为 230=60角,运筹十-库存理论,26,10.4.2 随机需求存储模型 II 缓冲储备量,s 为订货点，备运期 t2 为常数，备运期内总需求为随机变量 y 已知 y 的概率分布 P(y)，有备运期
15、 总需求的期望值,备运期内不缺货的概率为,备运期内缺货的概率为 1R 若给定 R 很高，则订货点 s 提高，当 sE(y)，就出现了缓冲储备量 B， 有 B = s E(y)，即订货点 s = B +E(y) 单位时间缓冲物资的存储费为 Cs(B) = Cs B 每周期的平均缺货量为,运筹十-库存理论,27,例10.4.3 随机需求存储模型 II 缓冲储备量,某单位经常使用汽油，采用定点订购策略。已知采购汽油的备运期 L=1 个月，在备运期中，需求量 y 近似正态分布，其平均需求量 Ey=50公斤/月，标准差 y =10，存储费 Cs=0.5元/月公斤，当不缺货概率分别为 80%, 90%,
16、95%, 98% 时，试求：(1) 订货点 s ；(2) 缓冲储备量 B； (3) 缓冲物资存储费。 解：在数学用表中，一般只给出标准正态分布 N(0,1) 的积分值，,给定 R ，通过查标准正态分布表可得上百分位 z，由此可得订货点 s = y = zy +Ey,运筹十-库存理论,28,例10.4.3 随机需求存储模型 II 缓冲储备量,(1) R=0.8 时，查得 z=0.84， 订货点 s = zy +Ey=0.8410+50=58.4公斤 (2) 缓冲储备量 B = s Ey=8.4公斤 (3) 缓冲物资存储费 C(B)=CsB=0.5 8.4=4.2元/月 标准正态分布表 Z (Z)
17、 Z (Z) Z (Z) 0.000.5000000.950.8289441.700.955434 0.500.6914631.000.8413451.800.964070 0.600.7257471.100.8643341.900.971283 0.700.7580361.200.8849302.000.977250 0.750.7733731.300.9032002.250.987776 0.800.7881451.400.9192432.500.993790 0.850.8023381.500.9331932.750.997020 0.900.8159401.600.9452013.000.998650,