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1、 数理方程4,方程化简求解方法 可逆变换与特征方程 方程求解典型例题 线性方程的叠加原理, ,例1 求一维齐次双曲型方程通解,令,特征方程,Jacobi矩阵,通解 u(x, t) = f(x at ) + g(x + at ),二阶方程自变量的变换: a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy + b1ux+b2uy+cu = f,其中,=0,=0,特征方程,一般,1. 由 a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy=0 构造二次方程,3. 写出新方程及通解.,求解, 得,2. 构造线性变换,4. 将变换表达式代入得原方程通解,例2 求方程的通解 uxx+ 2uxy 3uyy =
2、0,=1 1 (3) +11+(-3)3= 8,通解:,解: 由特征方程,变换:,例3 求方程 uxx 4x2uyy = 0 的通解,解: 由特征方程,变换:,通解:,例4. 讨论 x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0 的类型,并化为标准型,再求通解.,特征方程,判别式: a122 a11a22 = (xy)2 x2y2 = 0 故,该微分方程为抛物型,构造变换:,x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0,a11,a12,a22,标准型:,通解:,物理现象的叠加性：几种不同的因素同时出现时所产生的效果，等于各个因素单独出现时所产生的效果的总和（叠加）。,在同一时刻同
3、一高度,B球自由下落,A球向水平方向射出.实验结果是A,B两球同时落地,A球水平方向的运动不影响竖直方向的运动, 抛射体运动是两个方向运动的叠加,u(x1, x2, xn)满足二阶线性微分方程,记,引入二阶线性微分算子,显然: Lc1u1+ c2u2= c1 Lu1+ c2 Lu2,叠加原理1: 设ui满足线性微分方程 Lui = fi (i=1,n) 则有：,例5 求方程 uxx+ 2uxy 3uyy = x2 的一般解,解: 易证 u1= x4 /12 是方程 uxx+ 2uxy 3uyy = x2 的解,而 u2=f(y 3x)+g(y+ x) 是方程 uxx+ 2uxy 3uyy = 0的一般解,故 u = u1 + u2 是方程 uxx+ 2uxy 3uyy = x2 的一般解,习题2.4（P.36）1、2 (1),(3),思考题,方程 a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy=0 特征方程如何构造？ 如何用矩阵表示a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy？ 二阶微分方程化简与二次型化简有何不同？ 简述线性变换的Jacobi矩阵在微分方程化简中的作用,