《【2019年高考数学一轮精品资料】专题10立体几何直线、平面平行、垂直关系的判定与性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2019年高考数学一轮精品资料】专题10立体几何直线、平面平行、垂直关系的判定与性质.docx（52页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题十立体几何直线、平面平行、垂直关系的判定与性质【命题趋势探秘】直线、平面平行关 直线、平面垂直关空间向量与考查内容空间几何体系的判定与性质系的判定与性质立体几何命题考查热度 规律考查题型所占分值填空题5 分解答题14 分解答题14 分解答题14 分命题趋势1 考查点集中在空间几何体如柱、锥、台、球的结构特征、考查有关几何体的表面 积和体积的计算，熟悉公式和常见题型，属于中档题。2 空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，也是每年的必考内容，一方面考查空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面则考查“向量法”的应用。3对有关空间角的考查则主要集中在利用空间向量这个工具进行求解上
2、，譬如：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等，多以解答题形式出现，属于中档题。【高频考点聚焦】考点 01 直线、平面平行关系的判定与性质【基础知识梳理】1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言平面外一条直线与 的一条图形语言符号语言判定定理性质定理直线平行，则该直线与此平面平 行（线线平行 线面平行）一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此 平面的 与该直线平行（简记 为“线面平行 线线平行”）2平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理性质定理一个平面内的两条 与 另一个平面平行，则这两个平面 平行（简记为“线面平行 面 面平行”）如果两个
3、平行平面同时和 第三个平面 ，那么它们的 平行【参考答案】 这个平面内 l / /a, a a, l al / /a交线l / /a, l b,a b=b, l / / b相交直线a/ /b,b / /b,ab =P , a a,b aa/ /b相交 交线 ， a， b，ab【核心考点讲练】1 在直线与平面平行的判定中要重视“线在面内”这个关键条件；在面面平行的判定 中则要重视“面内两条相交线”这一必要条件2 面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定 线面平行的两种方法：（1）利用线面平行的判定定理；（2）利用面面平行的性质定理，即当 两平面平行时，其中一平面内
4、的任一直线平行于另一平面3 平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其 中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中高考对线面平行的判定 及性质的考查常有以下三个命题角度：（1）判断线面的位置关系；（2）线面平行的证明；（3） 线面平行性质的应用【典例 1】（2015秦皇岛模拟）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH 求证：APGH证明连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，PMMC，AOOC， PAMO， PA 平面 MB
5、D，MO平面 MBD，PA平面 MBD平面 PAG平面 MBDGH，APGH【技巧点拔】试题中的线线平行的证明从几何体中现有的位置关系出发，利用以及空 间线面平行的性质定理可知空间的线线平行可以从线面平行得到。【典例 2】（2014湖北）如图所示，在正方体 ABCD -A B C D 中，E，F，P，Q，M，1 1 1 1N 分别是棱 AB，AD，DD ，BB ，A B ，A D 的中点1 1 1 1 1 1求证：直线 BC 平面 EFPQ1证明 连接 AD ，1ABCD A B C D 是正方体，1 1 1 1AD BC 1 1F，P 分别是 AD，DD 的中点，1FPAD 1BC FP1又
6、 FP 平面 EFPQ，且 BC 平面 EFPQ，1直线 BC 平面 EFPQ1【技巧点拔】试题中在准确理解所给几何体后，要在平面 EFPQ 内寻找与直线 BC 平行1的直线，本着这个思路才能较有针对性的找到直线 FP【典例 3】（2014 安徽） 如图 1-5 所示，四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD，BC平面 GEFH证明：GHEF；证明 BC平面 GEFH，BC且平面 PBC平面 GEFHGH， GHBC同理可证 EFBC，因此 GHEF平面 PB
7、C，【技巧点拔】在空间线线平行位置关系的证明问题中要注意到常见的判定形式 （1）线 面平行导致线线平行（2）面面平行导致线线平行 （3）平行公理导致线线平行考点 02 直线、平面垂直关系的判定与性质【基础知识梳理】1直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理性质定理一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线 与此平面垂直垂直于同一个平面的两条直线2平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言判定 一个平面过另一个平面的 定理 ，则这两个平面互相垂直图形语言符号语言性质定理两个平面互相垂直，则一个 平面内垂直于 的直线垂直 于另一个平面参考答案两条相交直线 a，b abO l
8、alb l 平行 a b ab 垂线 l l 交线 l a la l【核心考点讲练】1 线线垂直中要注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、 相交线面垂直式要注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一 条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”面对面面垂直时注意对平面与平 面垂直性质的理解2 要注意三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直 线，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线 的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【典例 1】（1）（20
9、14辽宁）已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面下列说法正 确的是（ ）A若 m ，n ，则 mn C若 m ，mn，则 nB若 m ，n ，则 mn D若 m ，mn，则 n（2）（2014浙江）设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面（ ）A若 mn，n ，则 mC若 m ，n ，n ，则 mB若 m ， ，则 m D若 mn，n ， ，则 m【解析】（1） 由线面垂直的性质定理 1 可知，应该选 B （2） 由线面垂直的性质定理 2 可知，应该选 C 答案（1）B （2）C【命题立意】【技巧点拔】准确把握垂直关系判定的关键而且完整的条件是准确甄别选项的关键因 素【典例 2
10、】（2014山东）如图所示，四棱锥 P ABCD 中，AP平面 PCD，ADBC， 1ABBC AD，E，F 分别为线段 AD，PC 的中点2求证：BE平面 PAC证明由题意知，EDBC，EDBC，四边形 BCDE 为平行四边形，BECD又 AP平面 PCD，APCD，APBE四边形 ABCE 为菱形，BEAC又APACA，AP，AC 平面 PAC，BE平面 PAC【技巧点拔】准确清晰掌握相关判定定理结合所给几何体的结构特征有针对性的在几何 体中寻找关键桥梁条件，可以有效的提高解题的速度和准确性。【典例 3】【2015 江苏高考，16】（本题满分 14 分）如图，在直三棱柱ABC -A B C
11、 中，已知 AC BC ，BC =CC 1 1 1 1，设 AB 的中点为 D ， 1B C BC =E 1 1.求证： （1）BC AB1 1.ACBDEA1C1B1本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间 想象能力和推理论证能力.【解析】（1）因为棱柱ABC-ABC 1 1 1是直三棱柱，所以 CC 平面 ABC 1因为 AC 平面 ABC，所以AC CC1又因为 AC BC， CC 平面 BCC B 1 1 1， BC 平面BCC B ， BC1 1CC =C1，所以 AC 平面BCC B1 1又因为BC 1平面BCC B1 1，所以B C AC 1因为BC
12、=CC ，所以矩形 BCC B 1 1 1是正方形，因此BC BC 1 1因为 AC ，B C 平面 B AC ， AC 1 1B C =C ，所以 BC 平面 B AC 1 1 1又因为 AB 平面 B AC ，所以 BC AB 1 1 1 1【方法技巧】不要忽视线面平行的判定定理中线在面外条件证明直线与平面平行的关键是 设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线 , 常利用几何体的特征，合理利用中位线定 理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行. 证明线面垂直时， 不要忽视面内两条线为相交线这一条件证明直线与平面垂直的 关键在于熟练把握空间垂 直关系的判定与性质，注意
13、平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直 关系的基础练习1（2015常州市一模）16（本小题满分 14 分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，平面 PBD平面 ABCD， PB=PD，PA PC ，CD PC ，O ，M 分别是 BD ， PC 的中点，连结 OM 求证：（1） OM 平面 PAD ；（2） OM 平面 PCD PMADOBC（第 16 题）2（2015江苏淮安、宿迁、连云港、徐州一模）16（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥P- ABC 中，已知平面 PBC平面 ABC（1）若 AB BC，CD PB，求证：CP PA： （2）若过
14、点 A 作直线 l 上平面 ABC，求证： l /平面 PBCPACB3（2015江苏南通市一模）16（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱ABC -A B C 1 1 1中，AC BC , CC =4, M1是棱CC1上的一点.(1)求证：BC AM ；(2)若N是AB的中点，且CN平面AB M1,求 CM 的长4（2015江苏苏州市一模）16（本小题满分 14 分）如图，在正方体ABCD -A BC D1 1 1 1中，E , F分别是AD , DD1中点求证：（1）EF平面C BD1；（2） AC 平面 C BD 1 1D1C1A1B1DA BC5（2015江苏泰州市一模）16（本题满
15、分 14 分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD 是菱形，AC , BD 相交于点 O ，EF / / AB ，AB =2 EF ，平面 BCF 平面 ABCD ，BF =CF，点G为BC的中点（1）求证：直线OG / /平面EFCD；（2）求证：直线AC 平面ODEE FDCOGAB6（2015江苏无锡市一模）16（本小题满分 14 分）如图，过四棱柱ABCD -A BC D1 1 1 1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDEF（1）请在木块的上表面作出过 P 的锯线 EF ，并说明理由；（2 ）若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形 AC CA1 1B
16、B D D1 1，试证明：平面 BDEF 平面7（2015江苏扬州市一模）16（本小题满分 14 分）在三棱锥 PABC 中，D 为 AB 的中 点（1）与 BC 平行的平面 PDE 交 AC 于点 E，判断点 E 在 AC 上的位置并说明理由如下： （2）若 PAPB，且PCD 为锐角三角形，又平面 PCD平面 ABC，求证：ABPC8（2015江苏镇江市一模）16（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥D -ABC中，已知DBCD是正三角形，AB 平面BCD，AB =BC =a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF =3 FC.（1）求三棱锥 D -ABC 的体积；（2）求证：AC 平面DE
17、F；（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN =38CA,求证：MN /平面DEF.9（2015江苏南京市、盐城市一模）16(本小题满分 14 分)如图，在正方体ABCD -A B C D1 1 1 1中， O , E 分别为 B D , AB1的中点（1）求证： OE / 平面 BCC B1 1；（2）求证：平面B DC 1平面B DE1D1C1A1B1ODCAE B第 16 题图10（2015江苏连云港、南通、扬州市二模）15（本小题满分 14 分）如图，在四面体 ABCD中，平面 BAD 平面 CAD ，BAD =90 M ，N ，Q 分别为棱 AD ，ABD ， AC 的中点（1）求
18、证： CD / 平面 MNQ ；MDQ（2）求证：平面 MNQ 平面 CAD NBC（第 15 题）11（2015江苏苏锡常镇四市调研一）16如图，四边形 AA C C 为矩形，四边形 CC B B 为1 1 1 1菱形，且平面 CC B B 平面 AA C C ，D，E 分别为边 A B ， C C 的中点1 1 1 1 1 1 1（1）求证： BC 平面 AB C ；1 1（2）求证：DE平面 AB C 1B1BC1DECA1（第16题）A12（2015江苏泰州市二模）16（本题满分 14 分）如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE BE，点M , NE分别是
19、AE , CD 的中点M（1）求证：MN平面BCE；（2）求证：平面BCE 平面ADEABDN C13（2015江苏南京市、盐城市二模）16（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，AD =CD =12AB，AB | DC，AD CD，PC 平面ABCD（1）求证：BC平面 PAC ；（2）若 M 为线段 PA 的中点，且过C，D，M三点的平面与 PB 交于点 N，求 PN：PB 的值 PMABCD(第 16 题图)14（2015江苏苏锡常镇四市调研二）16（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，AB =2, AD =2，PD 平面ABCD，E ,
20、 F分别为CD , PB的中点求证：（1） CF / 平面 PAE ； （2） AE 平面 PBD15（2015江苏徐州、连云港、宿迁三模）16. （本小题满分 14 分）如图，矩形 ABCD 所 在平面与三角形 ECD 所在平面相交于 CD , AE 平面 ECD .（1） 求证： AB 平面 ADE ;（2） 若点 M 在线段 AE 上， AM = 2 ME , N 为线段 CD 中点，求证： EN / 平面 BDM .16（2015江苏南通市三模）15（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱 ABC A B C 中，1 1 1B CAB，侧面 BCC B 为菱形1 1 1（1）求证：平面
21、ABC 平面 BCC B ；1 1 1（2）如果点 D，E 分别为 A C ，BB 的中点，1 1 1求证：DE平面 ABC 1A1B1DC1EACB（第 15 题）17（2015 江苏盐城市三模） 16（本小题满分 14 分）在直三棱柱 AB = AC ， BB =BC ，点 P , Q , R 分别是棱 BC , CC , B C的中点1 1 1 1（1）求证: A R /平面 APQ ；1ABC -A B C 1 1 1中，（2）求证:平面APQ 平面ABC1A1C1B1RAQCPB第 16 题18（2015江苏南京市三模）16（本小题满分 14 分）在四棱锥 PABCD 中，BCAD，
22、 PAPD，AD2BC，ABPB， E 为 PA 的中点（1）求证：BE平面 PCD；P（2）求证：平面 PAB平面 PCDEADB（第 16 题图）C参考答案与解析1【答案】（1）略；（2）略【命题立意】本题旨在考查空间点线面的位置关系及其判定，考查空间想象能力以及转化与 化归能力【解析】证明：（1）连结 AC，因为 ABCD 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点 2 分 在 PAC 中，因为 O ， M 分别是 AC ， PC 的中点，所以 OM PA 4 分 因为 OM 平面 PAD ， PA 平面 PAD ，所以 OM 平面 PAD 6 分（2）连结 PO 因为 O 是 BD 的中
23、点，PB=PD， 所以 POBDP又因为平面 PBD平面 ABCD，平面 PBD平M面 ABCD = BD ， PO 平面 PBDAD所以 PO 平面 ABCD O从而 PO CD 8 分BC又因为 CD PC ， PCPO =P , PC 平面 PAC ， PO 平面 PAC ，所以 CD 平面 PAC 因为 OM 平面 PAC ，所以 CD OM 10 分因为 PA PC ， OM PA ，所以 OM PC 12 分 又因为 CD 平面 PCD ， PC 平面 PCD ， CD PC =C ,所以 OM 平面 PCD 14 分 2【答案】（1）略；（2）略【命题立意】本题旨在考查空间点线面
24、的位置关系与判定，线面关系的转化与应用等【解析】（1）因为平面 PBC 平面 ABC ，平面 PBC平面 ABC =BC ， AB 平面 ABC ，AB BC ，所以 AB 平面 PBC 2 分因为 CP 平面 PBC ，所以 CP AB 4 分 又因为 CP PB ，且 PB AB =B ， AB , PB 平面 PAB ,所以 CP 平面 PAB ，6 分又因为 PA 平面 PAB ，所以 CP PA 7 分（2）在平面 PBC 内过点 P 作 PD BC ，垂足为 D 8 分 因为平面 PBC 平面 ABC ，又平面 PBC 平面 ABC BC，PD 平面 PBC ，所以 PD 平面 A
25、BC 10 分又 l 平面 ABC ，所以 l / PD 12 分又 l 平面 PBC ， PD 平面 PBC ， l /平面 PBC 14 分PACD3【答案】（1）略；（2）CM=2B【命题立意】本题旨在考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证 能力【解析】（1 ）因为ABC -A B C 1 1 1是直三棱柱，所以CC 1平面ABC，因为BC 平面ABC ，所以 CC BC1，2 分因为AC BC , CC1AC =C , AC 平面 ACC A1 1，所以BC 平面ACC A1 1，4 分因为AM 平面ACC A1 1，所以BC AM6 分（2 ）证法一：如图，取
26、AB 的中点 P ，连接 NP ， PM 因为 N 是 AB 的中点，所以1NP / / BB1，8 分因为CM / / BB1，所以NP / / CM，所以NP与CM共面10 分因为 CN / / 平面 AB M ，平面 CNPM1平面AB M =MP1，所以CN / / MP12 分所以四边形CNPM为平行四边形1CM =NP = CC =22 114 分14【答案】（1）略；（2）略【命题立意】本题旨在考查直线与平面平面与平面的位置关系，考查空间想象推理论证 能力【解析】证明：（1）连结 A D，1 E，F 分别是 AD 和 DD 的中点， EFAD 1 12 分 正方体 ABCDA B
27、 C D ，1 1 1 1 ABD C ，AB=D C 1 1 1 1 四边形 ABC D 为平行四边形，即有 A DBC1 1 1 14 分 EFBC 1又 EF 平面 C BD，BC 平面 C BD，1 1 1 EF平面 AB D 7 分1 1（2）连结 AC，则 ACBD 正方体 ABCDA B C D ，AA 平面 ABCD，1 1 1 1 1 AA BD1又 AA I AC = A ，BD平面 AA C，1 A CBD 11 分 1同理可证 A CBC 1 1又BD I BC =B 1，A C平面 C BD 14 分 1 1DC11BA11FEDCAB5【答案】（1）略；（2）略【命
28、题立意】本题旨在考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证 能力【解析】证明（1）四边形ABCD是菱形，AC BD =O，点O是BD的中点，点G为BC的中点 OG / / CD，3 分又 OG 平面 EFCD ， CD 平面 EFCD ，直线 OG / / 平面 EFCD 分 （2） BF =CF ，点 G 为 BC 的中点, FG BC ,平面BCF 平面ABCD，平面BCF平面ABCD =BC，FG 平面BCF，FG BCFG 平面ABCD，9 分 AC 平面 ABCD FG AC ,OG / / AB , OG =1 1 AB ， EF / / AB, EF = AB2
29、 2，OG / / EF , OG =EF，四边形EFGO为平行四边形,FG / / EO，11 分FG AC，FG / / EO，AC EO， 四边形ABCD是菱形，AC DO， AC EO ， AC DO ， EO DO =O ， EO、DO 在平面 ODE 内， AC 平面 ODE 1分6【答案】（1）略；（2）略【命题立意】本题旨在考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证 能力【解析】（1）在上底面内过点 P 作 B D1 1的平行线分别交A D 、A B 于 F、E 两点，则 EF 即 1 1 1 1为所作的锯线 2 分在四棱柱ABCD -A BC D1 1 1
30、1中，侧棱B B / / D D 且 B B =D D ，所以四边形 BB D D 1 1 1 1 1 1是平行四边形B D / / BD 1 1，4 分又平面 ABCD / / 平面A B C D ，平面 BDFE 1 1 1 1平面 ABCD = BD ，平面 BDFE平面A B C D = EF ，所以 EF / / BD ，从而 EF / / BD ，从而 EF / / B D 1 1 1 1 1 17 分（ 2 ） 证 明 ： 由 于 四 边 形BB D D1 1是 矩 形 ， 所 以BD B B1， 又A A / / B B 1 1， B D A A 1 9 分又四棱柱ABCD -A BC D1 1 1 1的底面ABCD是菱形，所以BD ACACA A =A1，AC 平面AC CA1 1，A A 1平面AC CA1 1，BD 平面AC CA1 112 分BD 平面BDFE，平面BDFE 平面AC CA1 114 分7【答案】（1）E 为 AC 的中点；（2）略【命题立意】本题旨在考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证 能力【解析】（1）E为AC中点理由如下：平面 PDE 交 AC 于 E ，即平面PDE平面 ABC =DE ，而 BC / 平面 PDE ， BC 平面 ABC ，所以 BC / DE ， 4 分在DABC中，因为D为