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1、一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1.下列函数为初等函数的是( B )(A).sin x -2(B).y =2 -cos x(C).y =x 2 -1x -10x 1x =1(D).y =1+x x 0 x x 02.当 x0 时，与sin x等价的无穷小是( A )(A)x2+x(B)x sin x(C)3 tan x(D)2x3.设f(0)存在，则limx 0f (0) -f ( -x)x( D )(A)- f (0)(B)-2 f (0)(C)2 f(0)(D)f (0)4. 物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D ） (A)函数值 (B)极限 (C) 积分 (D
2、)导数5.若f ( x )的导函数是sin x，则f ( x )有一个原函数为（ C ）(A)1 +cos x(B)x +sin x(C)x -sin x(D)1 -cos x二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1. 设函数 f ( x) =cos x, x 0 且 2x -1 0,所以函数f ( x ) =ln(2 x -1) +19 -x2的定义域：12x 32. 设y =ln(2 -x )，求其反函数ee解 ： 由ey=2 -x得x =2 +ey所 以 函 数y =ln(2 -x )的 反 函 数 是 ：y =2 +ex，x ( -,+)3.求极限limx 0x ( e xsin-
3、1)2 x解：limx 0x ( e x -1) x e = lim limsin 2 x x 0 sin x x 0x-1 e x= 1lim x x 0 1=14.求极限limx 0tan x -xx 3解：limx 0tan x -xx3=limx 0sec 2 x -1 1 -cos 2 x sin 2 x 1= lim =lim = 3x 2 x 0 3 x2 cos 2 x x 0 3x 2 35. 已知y =ln( x2+1) -ln x，求dyy 解：因为 =x2x 1- 所以 dy = 2 +1 xx 2 -1 x ( x 2 +1)dx6.求y =e 2 x cos x的微
4、分y解：y=2e 2 x cos x -e2 x sin x=e 2 x (2cos x -sin x)7. 求不定积分1 -xx 2dx解：1 -xx 2dx=1 1 - dx = x2 x 1 1 1dx - dx = - -ln x +C x 2 x x8. 求定积分ex 2 ln xdx1解：1x 2 ln xdx=1 x3 1 x3 ln x - =3 9 91(2 e3 +1)四、综合应用题（每小题 10 分，共 30 分）1. 证明方程x 2x-1 =0至少有一个小于 1 的正实数根.解：令f (x)=x2x-1， f (0)=-10,f (x)闭区间0,1上连续，由根的存在性定
5、理，有x(0,1)，使得f(x)=0,即x 2x-1 =0至少有一个小于 1 的正实数根2. 欲做一个体积为 72 立方厘米的带盖箱子，其底面长方形的两边成一比二的关系，怎样做 法所用的材料最省？2 12(2 x-ln x )(4 x - ) dx-ln 42212解：设底面长方形的两边的边长为x厘米，2x厘米，则高为72 36= x.2 x x 2厘米表面积S =( x.2 x).2 +( x.36 36).2 +(2 x. ).2 =4 x 2 + x 2 x 2216x求导S,=8 x -216x 2=0所以在区间(0, +)上只有唯一的驻点x =3又因为在实际问题中存在最值，所以驻点 x =3 就是所求的最值点。即当底面边长为 3 厘米， 6 厘米，高为 4 厘米时所用的材料最省。3. 求由曲线y =1x与直线y =4 x及x =2所围成的平面图形的面积.1解：由曲线 y = 与直线 y =4 xx得到交点1( ,2)2所以所围成的平面图形的面积.S= (4 x - ) dx1 x2 1 15即.S= = =1 x 21