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1、llDldx =12材料力学第五版课后答案习题 2-2一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力 f=kx*2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得：01fdx =F , 有 kl33=F , k =3 F / l3F ( x ) = N 103 Fx2/ l3dx =F ( x / l )13习题 2-3 石砌桥墩的墩身高l=10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载F =1000kN，材料的密度r=2.35 kg / m3，试求墩身底部横截面上的压应力。解：墩身底面的轴力为：N =-(F +G ) =-F -Alrg2-3 图=-1000 -(3 2 +3.14 12 ) 10 2.35 9
2、.8 =-3104.942( kN )墩身底面积：A =(3 2 +3.14 12) =9.14( m2)因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。s=N -3104.942 kN=A 9.14m 2=-339.71kPa -0.34 MPa习题 2-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。2-7 图解：取长度为 dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：d (Dl) =Fdx l F F l dx ， =EA( x ) 0 EA( x ) E 0 A( x)r -r x r -r d -d d 1 = ， r = 2 1 x+r = 2 1 x + 1r -r l l 2l
3、 2 2 1，A( x) =pd -d d 2 1 x + 1 =pu 2l 2 2，d (d -d d d -d 2 1 x + 1 ) =du = 22l 2 2l1dxldx =( - )l 2l2ldx = dud -d2 1，dx d -d= 2 1 A( x ) pu22l du du = (- )p(d -d ) u 2 1 2因此，Dl =0F F l dx 2 Fl l du=EA( x) E 0 A( x) pE ( d -d ) 0 u 21 2=2Fl 1 2 Fl = pE( d 1 -d 2 ) u0 pE( d 1 -d 2 ) 1d -d2 12ldx + 12
4、 l0=p2 Fl E ( d -d )1 2 1 1 - d -d d d2 1 l + 1 1 2l 2 2=p2Fl 2 2 - =E ( d -d ) d d1 2 2 1p4FlEd d1 2习题 2-10 受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为 E ,n ，试求 C 与 D 两点间的距离改变量DCD。解：e=-ne=-nF / A nF =-E EA式中，A =( a +d)2-( a -d)2=4 a d，故：e=-Fn4EadDa Fn=e =-a 4Ead，Da =a -a =-Fn4Eda=a -Fn4Ed，CD= ( 2 a) 32+( 3 a)
5、 42145= a12C D = ( 2 a ) 2 +( 3 a ) 2 =3 414512aD(CD ) =CD-CD =145 145 Fn( a -a ) =- 12 12 4Ed=-1.003 Fn4Ed习题 2-11 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆 1，2，3 材料相同，其弹性模量E=210GPa，已知l=1m ， A = A =100 mm1 22，A =150 mm32，F =20 kN。试求 C 点的水平位移和铅垂位移。受力图12-11 图解：（1）求各杆的轴力以 AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为 AB 平衡，所以X =0 ， N cos 45 o =0
6、 ， N =03 3变形协调图由对称性可知，DCH=0 ， N =N =0.5 F =0.5 20 =10( kN ) 1 2（2）求 C 点的水平位移与铅垂位移。A 点的铅垂位移：N l 10000 N 1000 mm Dl = 1 =EA 210000 N / mm 2 100 mm 12=0.476 mmB 点的铅垂位移：Dl =2N l 10000 N 1000 mm 2 =EA 210000 N / mm 2 100 mm 22=0.476 mm1、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由 1、2、3 杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到 AB 为刚性杆，可以得到C 点的水平位移：
7、DCH=DAH=DBH=Dl tan 45 o =0.476( mm ) 1C 点的铅垂位移：DC=Dl =0.476( mm ) 1习题 2-12 图示实心圆杆 AB 和 AC 在 A 点以铰相连接，在 A 点作用有铅垂向下的力F=35kN。已知杆AB 和 AC 的直径分别为d1=12 mm 和 d =15mm ，钢的弹性模量 E =210GPa2。试求 A 点在铅垂方向的位移。解：（1）求 AB、AC 杆的轴力以节点 A 为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：X =0 ： NACsin 30o-NABsin 45o=0NAC= 2 NAB(a)Y =0 ： NACcos 30 o
8、 +NABcos 45 o -35 =0AA3 NAC+ 2 NAB=70(b)(a) (b)联立解得：NAB=N =18.117 kN ； N 1AC=N =25.621kN 2（2）由变形能原理求 A 点的铅垂方向的位移 1 N 2 l N 2 lFD = 1 1 + 2 22 2EA 2 EA1 21 N 2 l N 2 l D = ( 1 1 + 2 2F EA EA1 2)式中，l1=1000 / sin 45o=1414( mm ) ； l =800 / sin 302o=1600( mm )A =0.25 3.14 12 12=113mm2；A =0.25 3.14 15 22=
9、177 mm2故：DA=1 18117 2 1414 256212 1600 ( +35000 210000 113 210000 177) =1.366( mm)习题 2-13 图示 A 和 B 两点之间原有水平方向的一根直径d=1mm的钢丝，在钢丝的中点 C 加一竖向荷载 F。已知钢丝产生的线应变为e=0.0035，其材料的弹性模量E =210GPa，钢丝的自重不计。试求：（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在 C 点下降的距离 D；（3）荷载 F 的值。解：（1）求钢丝横截面上的应力s =Ee=210000 0.0035 =735( MP
10、a )（2）求钢丝在 C 点下降的距离DDl =Nl l 2000=s =735 =7( mm ) EA E 210000。其中，AC 和 BC 各3.5mm。cosa =10001003.5=0.9965122071000a =arccos(1003.5) =4.7867339oD =1000 tan 4.7867339o=83.7( mm )lloo12（3）求荷载 F 的值以 C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：Y =0 ： 2N sin a -P =0P =2 N sin a =2sAsin a=2 735 0.25 3.14 12sin 4.7870=96.239( N )习题
11、2-15 水平刚性杆 AB 由三根 BC,BD 和 ED 支撑，如图，在杆的 A 端承受铅垂荷载 F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为 A1=12 平方毫米， A2=6 平方毫米，A,3=9 平方毫米，杆的弹性模量 E=210Gpa，求：（1）（2）端点 A 的水平和铅垂位移。应用功能原理即（ 2-8）求端点 A 的铅垂位移。解：（1）01fdx =F , 有 kl 3 =F3k =3 F / l3F ( x ) = N 103Fx2/ l3dx =F ( x / l )13F cos 45 =0N 3-F +F -F sin 45 +F =0N 1 2 N 3-F 0.45 +F 0.15
12、 =0 N 1 F =-60KN , F =-401KN , F =0 KN , 1 1 1由胡克定理，F l -60 10 7 0.15 Dl = N 1 =EA 210 109 12 10 1-6=3.87F l 40 10 7 0.15 Dl = N 2 =EA 210 109 12 10 2从而得，DA =Dl =4.76，x 2-6=4.76DA =Dl 2 +Dl 3 =20.23（ ）y 2 1（2）V =F DA -F Dl +F Dl =0e y 1 1 2 2DA =20.33（ ）y习题 2-17 简单桁架及其受力如图所示，水平杆 BC 的长度 l 保持不变，斜杆 AB
13、的长度可随夹角 q 的变gAB化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到 许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：（1） 两杆的夹角；（2） 两杆横截面面积的比值。解：（1）求轴力取节点 B 为研究对象，由其平衡条件得：Y =0NsinABq-F =0NAB=FsinqX =0-NABcosq-NBC=0NBC=-NABcosFq= cossin qq=F cotq2-17（2）求工作应力ssAABBN F= AB =A A sin qAB ABN F cot q= BC =A ABC BC（3）求杆系的总重量W =gV =g( A lAB A
14、B+A lBC BC)。 是重力密度（简称重度，单位：kN / m3）。=g( AABlcosq+A l )BC=gl( AAB1cosq+A )BC（4）代入题设条件求两杆的夹角条件：sABN F= AB = =s ， A = A A sin qAB ABFssinqsBC=N F cot q BC = =sA ABC BC，ABC=F cot qsABBC=，条件： W 的总重量为最小。W =gl( AAB1cosq+A ) =g BC1l( A +A )cos q=gl(F 1 F cot q Flg 1 cos q + ) = ( + )ssin q cos q s s sin qco
15、s q sin q=Flg1+cos 2 q 2 Flg = s sin qcos q s1 +cos 2sin 2qq从 W 的表达式可知， W 是 q 角的一元函数。当 W 的一阶导数等于零时， W 取得最小值。dW 2 Flg dq s-2cosqsinqsin 2q-(1 +cossin 2 2q2q) cos 2q2=0-sin22q-3 +cos 2q 2cos 2q2=0-sin22q-3cos 2q-cos22q=03cos 2q =-1，cos 2q=-0.33332q=arccos( -0.3333) =109.47o q=54.74o=54o44（5）求两杆横截面面积的比
16、值AAB=Fssin q，ABC=F cotsqFAABABCssin q= =F cot qssin1 1=qcot q cosq因为：3cos 2q=-1， 2 cos2q-1 =-13，cos2q=13cos q =13，1cosq= 3AAB= 3所以：ABC习题 2-18 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力s =170 MPa，试选择 AC 和 CD 的角钢型号。解：（1）求支座反力由对称性可知，R =R =220 kN () A B（2）求 AC 杆和 CD 杆的轴力以 A 节点为研究对象，由其平 衡条件得：Y =02-18R -NAACcosa =0NA
17、CR 220= A = =366.667( kN ) sin a 3 / 5以 C 节点为研究对象，由其平衡条件得：X =0NCD-NACcosa =0NCD=NACcosa =2203 / 54 / 5 =293.333( kN )（3）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号 AC 杆：AACN 366667 NAC =s 170 N / mm2=2156.86 mm 2 =21.569cm 2选用 2 80 7 （面积 2 10.86=21.72cm2）。CD 杆：ACDN 293333 NCD =s 170 N / mm2=1725.488 mm 2 =17.255cm 2选用 2 7
18、5 6 （面积 2 8.797=17.594 cm2）。习题 2-19 一结构受力如图所示，杆件 AB、CD、EF、GH 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力s =170 MPa，材料的弹性模量E =210GPa，杆 AC 及 EG 可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点 D、C、A 处的铅垂位移 D 、 D 、 D 。D C A解：（1）求各杆的轴力NNABCD=3.240.84300 =240( kN )300 =60( kN )M =0FNGH3 -300 1.5 -60 1.2 =02-19NGH1= (450 +72) =174( kN ) 3Y =0NEF+174 -
19、60 -300 =0NEF=186( kN )（2）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号 AB 杆：AABN 240000 NAB =s 170 N / mm2=1411.765mm 2 =14.12 cm 2选用 290 56 5 （面积 2 7.212=14.424 cm2）。CD 杆：ACDN 60000 NCD =s 170 N / mm2=352.941mm 2 =3.529 cm 2选用 240 25 3 （面积 2 1.89=3.78cm2）。EF 杆：AEFN 186000 NEF =s 170 N / mm2=1094.118mm 2 =10.412 cm 2选用 270
20、 45 5 （面积 2 5.609=11.218cm2）。GH 杆：AGHN 174000 NGH =s 170 N / mm2=1023.529 mm 2 =10.353cm 2选用 270 45 5 （面积 2 5.609=11.218cm2）。（3）求点 D、C、A 处的铅垂位移 D 、 D 、 DD CADlABN l 240000 3400= AB AB = =2.694 2.7( mm ) EA 210000 1442.4ABDlCD=N l 60000 1200CD CD = =0.907( mm) EA 210000 378CDDlDlEFGH=N l 186000 2000E
21、F EF = =1.580( mm ) EA 210000 1121.8EFN l 174000 2000GH GH = =1.477( mm ) EA 210000 1121.8GHEG 杆的变形协调图如图所示。D -lD GHl -lEF GH=1.83D -1.477 1.8D =1.580 -1.477 3D =1.54( mm ) DD =D +l C DCD=1.54 +0.907 =2.45( mm )D =lAAB=2.7( mm )习题 2-21 （1）刚性梁 AB 用两根钢杆 AC、BD 悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆 AC 和 BD 的直径分别为d1=25mm 和 d
22、=18mm ，钢的许用应力 s2 =170 MPa ，弹性模量 E =210GPa。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形DlAC、DlBD及 A、B 两点的竖向位移 D 、 D 。A B解：（1）校核钢杆的强度 求轴力NAC3= 100 =66.667( kN ) 4.5NBC=1.54.5100 =33.333( kN ) 计算工作应力sAC=N 66667 NAC =A 0.25 3.14 25 AC2mm2=135.882 MPasBD=N 33333 NBD =A 0.25 3.14 18 BD2mm22-21=131.057 MPa因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力 170MPa，
23、即sACs；sBDs，所以AC 及 BD 杆的强度足够，不会发生破坏。（2）计算DlAC、DlBDDlDlAABB=N l 66667 2500AC AC = =1.618( mm ) EA 210000 490.625ACN l 33333 2500BD BD = =1.560( mm) EA 210000 254.34BD（3）计算 A、B 两点的竖向位移 D 、 DABD =DlAAC=1.618( mm ) ， D =DlBBD=1.560(mm )习题 3-2 实心圆轴的直径d=100mm ，长 l =1m，其两端所受外力偶矩M =14 kN m e，材料的切变模量G=80GPa。试
24、求：（1） 最大切应力及两端面间的相对转角；（2） 图示截面上 A、B、C 三点处切应力的数值及方向； （3）C 点处的切应变。解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角tmaxT M= =W Wpep。式中，Wp=1 1pd 3 = 3.14159 100 16 163=196349( mm3)。 3-2故：tmaxM 14 10 6 N mm = e =W 196349mm 3p=71.302 MPaj=T lGIp，式中，Ip=1 1pd 4 = 3.14159 100 4 =9817469(mm 4 ) 32 32。故：j =T l 14000 N m1m=GI 80 10 9 N
25、/ m 2 9817469 10 -12 m 4 p=0.0178254( rad ) =1.02o（2）求图示截面上 A、B、C 三点处切应力的数值及方向tA=tB=tmax=71.302 MPa，由横截面上切应力分布规律可知：tC1= t2B=0.5 71.302 =35.66 MPa， A、B、C 三点的切应力方向如图所示。（3）计算 C 点处的切应变gC=tCG=35.66 MPa 80 10 3 MPa=4.4575 10 -4 0.446 10-3习题 3-3 空心钢轴的外径D=100mm ，内径 d =50mm 。已知间距为 l =2.7 m的两横截面的相对扭转角j=1.8o，材
26、料的切变模量G =80GPa。试求：（1）轴内的最大切应力；（2）当轴以n=80r / min的速度旋转时，轴所传递的功率。解；（1）计算轴内的最大切应力I =pW =p1 1pD4 (1 -a4) = 3.14159 100 4 (1 -0.5 4 ) =9203877(mm 4 ) 32 321 1pD3 (1 -a4) = 3.14159 100 3 (1 -0.5 4 ) =184078( mm 3 ) 16 16。式中，a=d / D。j=T lGIp，T =jGIlp=1.8 3.14159 /180 80000 N / mm2700 mm29203877 mm4=8563014.
27、45 N mm =8.563(kN m)tmax=T 8563014.45 N mm =W 184078 mm 3p=46.518 MPa=3（2）当轴以n=80r / min的速度旋转时，轴所传递的功率T =M =9.549 eN N k =9.549 kn 80=8.563( kN m)N =8.563 80 / 9.549 =71.74( kW )k习题 3-5 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 F 均为，已知轴材料的许用切应力t =40 MPa，试求：（1） AB 轴的直径；（2） 绞车所能吊起的最大重量。解：（1）计算 AB 轴的直径AB 轴上带一个主动轮。
28、两个手柄所施加的外力偶 矩相等：Me左=Me右=0.2 0.4 =0.08( kN m)Me主动轮=2Me右=0.16( kN m)扭矩图如图所示。 3-5 由 AB 轴的强度条件得：tmax=M 16 Me右W pdpe右3td 316Mpt16 80000 N mme右 3.14159 40 N / mm2=21.7 mm（2）计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等：Me主动轮0.2=Me从动轮0.35，Me从动轮=0.350.200.16 =0.28(kN m)由卷扬机转筒的平衡条件得：P 0.25 =Me从动轮，P 0.25=0.28 P =0.28 / 0.25 =
29、1.12( kN ) 习 题 3-6 已知 钻 探 机钻杆 （ 参 看 题 3-2 图 ） 的外径D =60mm ， 内 径 d =50mm， 功 率P =7.355kW ，转速 n =180r / min，钻杆入土深度l =40m ，钻杆材料的 G =80GMPa，许用切应力t =40 MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1） 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 m ；（2） 作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度mM =9.549eN 7.355k =9.549 =0.390( kN m) n 180设钻
30、杆轴为 x 轴，则：M =0 ， ml =M xe，m =M 0.390e = =0.00975( kN / m ) l 40（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核 作钻杆扭矩图T ( x ) =-mx =-0.3940x =-0.00975 x 。 x 0,40T (0) =0 ； T (40) =M =-0.390( kN m)e扭矩图如图所示。强度校核，tmax=MWep式中，Wp=1 1 50pD3 (1 -a4) = 3.14159 60 3 1 -( ) 4 =21958( mm 3 ) 16 16 60tmax=M 390000 N mm e =W 21958mm 3p=17.761MPa因为tmax=17.761MPa ，t =40 MPa ，即tmaxt，所以轴的强度足够，不会发生破坏。40n（3）计算