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1、习题二(解)1. 下列表中列出的是否为某个随机变量的概率分布？如果是,请写出它们的分布函数. 1)135 2)1230.50.30.20.70.10.1 3)12解 1) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又,所以满足命题2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是. 2) 因为,所以不满足命题2.1的条件,因而不是某个随机变量的概率分布.3) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又,所以满足命题2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是.2. 设随机变量只取正整数值,且与成反比,求的概率分布.解 设,其中是待定常数.则根据命题2.1,.因此, .3
2、. 自动生产线在调整以后出现废品的概率为.设生产过程中出现废品立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布.解 在每次调整后前个产品都是及格品而第个产品是废品的概率是, .因而,设两次调整之间生产的合格品数为,则, .4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为,若以表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求的概率分布.解 对于,前次出现正面,第次出现反面的概率是,前次出现反面,第次出现正面的概率是,因而有概率分布,.5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数
3、的概率分布. 第1个能正确回答的概率是, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是, 前4个都不能正确回答的概率是. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为,则有分布01235/815/565/561/566. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解 设一天中某人收到位朋友的电子邮件,则,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是. 1)
4、用二项分布公式计算. 2) 用泊松近似律计算.7. 设服从泊松分布,且已知,求和.解 设服从参数为泊松分布,则,解得.因而,.8. 设服从泊松分布,分布律为.问当取何值时最大？解 设,则,数列是一个递减的数列. 若,则最大. 若,则当且时,最大.由此得 1) 若,则最大. 2) 若,则. 由上面的1)和2)知,无论或,都有.9. 设随机变量的概率密度为.求的分布函数,并作出与的图形.解 .10. 设随机变量的概率密度为.求常数和的分布函数,并求概率.解 , . .11. 地板由宽30厘米的木条铺成,在上面随机地放置一个直径40厘米的圆盘,求这个圆盘能接触到3条木条的概率.解 园盘中心离木条的最
5、近的边的距离服从上的均匀分布,圆盘能接触到3条木条大的充分必要条件是,故这个圆盘能接触到3条木条的概率是.12. 随机变量有密度.求常数和概率.解 .由上式得. .13. 设随机变量的密度为.求常数.解 .由上式得.14. 设,求和.解1 . .解2 设,则. .15. 设,分别找出,使得.其中, ,.解1 . .代入的值查得,.解2 设,则. . .代入的值查得,.16. 随机变量服从二项分布,求的分布函数和的分布.解 有分布01238/2712/276/271/27故有分布函数.有分布01412/2714/271/2717. 设服从自由度为的分布,即有密度.求的密度.解1 当时,.当时,
6、.因而.解2 设,则. 设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .18. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell)分布,即密度为.其中参数.求分子的动能的密度.解1 当时,.当时, .因而.解2 设,则. 设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .19. 设服从上的均匀分布,.求的分布.解1 有密度.有分布函数 .解2 有密度.有分布函数 .20. 质点随机地落在中心在原点,半径为的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.解 设落点极坐标是,则服从上的均匀分布,有密度.设落点横坐标是,则,的分布函数为.当时,.当时,.当时.因而落点的横坐标有概率密
7、度.21. 设随机变量的概率密度为,求的概率密度.解 .当时,.当时,.当时.因而落点的横坐标有概率密度.22. 某商品的每包重量.若要求,则需要把控制在什么范围内.解 设,则. .23. 设在上服从均匀分布,随机变量满足方程组,求和的分布和它们各自落在中的概率.解 解方程组得,.有密度,由推论6.1可得: 有密度(即服从上的均匀分布). 有密度(即服从上的均匀分布).24. 设随机变量服从在上的均匀分布,求的分布.解 设,则.设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度.25. 设随机变量服从指数分布,求的分布.解 有密度.设,则.设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .26. 离散型随机向
8、量有如下的概率分布:012300.10.10.10.1100.10.10.12000.10.2求边缘分布.又问随机变量是否独立？解 有分布 0120.40.30.3有分布 01230.10.20.30.4因为,所以,不独立.27. 根据历史纪录,某地5月份晴天,阴天和雨天的日子各占1/2,1/3和1/6.在5月中随意地选择6天,求这6天当中恰好有三天晴天,两天阴天和一天雨天的概率.解 设这6天中有天晴天和天阴天,则由例4.2,服从三项分布,所求的概率是.28 设随机向量服从矩形上的均匀分布,求条件概率.解 , , .29. 设随机向量有密度.求常数,边缘密度和条件概率.解 .由上得. . .
9、, , .30. 设和独立,且分别有密度和,求概率.解 有联合密度, .31.设和独立,都服从上的均匀分布,求概率.解 有联合密度 .32. 随机向量有联合密度,其中.求系数和落在圆内的概率.解 因而.而 .33. 设随机向量的联合密度是.求系数和落在正方形内的概率.又问是否独立？解 .因而.而 .34. 设的联合密度是,其中.求系数和边缘密度.解 .因而.而,.35. 设和独立,密度分别为和,求的密度.解 .36. 设系统由两个相互独立的子系统联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统损坏时,系统开始工作),如图7.1所示.和的寿命为和,分别有密度和,其中且.请就这三种联接方式分别写
10、出系统的寿命的密度.解 ,独立,分别服从参数为和的指数分布,因此分别有分布函数和. 1) 联接的方式为串联时, , . 2) 联接的方式为并联时, , . 3) 联接的方式为备用时, . 因此,.37. 相互独立,.证明.(提示:称为函数,由微积分的知识知)解 (见命题A.2.1)38. 相互独立,分别服从自由度为的分布,即,.利用上题的结论证明也服从分布,自由度为.证 ,由上题知,即服从自由度为分布.39. 某种灯具的使用寿命是随机变量,有密度.每次使用一个灯具,如果损坏了则换上同种的新灯具,分别求两个灯具和三个灯具能够使用的时间的分布.解1 设三个灯具的使用寿命分别为,和,两个灯具和三个灯
11、具能够使用的时间分别为和,则,. 有密度 .即.有密度 .即.解2 设三个灯具的使用寿命分别为,和,两个灯具和三个灯具能够使用的时间分别为和,则,.由于,由上面的习题37知,.40. 设,且相互独立,证明.证1 由(6.5)式得.由于 .故 .上式的被积函数是正态分布的密度函数，故上式的定积分为1，因而，由此知.证2 设,由推论6.2知,.设,则由(6.5)式得.由于 .故 .上式的被积函数是正态分布的密度函数，故上式的定积分为1，因而，由此知.由推论6.2知,.41. 设相互独立,且,证明:.(提示:应用上题的结论.)证 有上题知,.因而由推论6.2可得.42. 证明推论6.3.证 1) 由
12、推论6.2有,.因而由命题6.1有 2) 上题已证.由推论6.2知.43. 设独立,都服从参数为的威布尔分布,即都有密度.证明仍服从威布尔分布.证 有分布函数 , .设,则有分布函数 . , 接下来的证明过程可以有两种。其一：与有相同的形式，从而仍服从威布尔分布.其二： 因而有密度函数,从而仍服从威布尔分布.44. 设,.证明对都有.(提示:在例4.2中设,则是次试验中事件出现的次数,因而有,)证 在例4.2中设,则，是这次试验中事件出现的次数。因为在每次试验中事件出现的概率是，因而。又因为，故)。因而有 。45. 设,求的分布.解1 变换 的反变换为。有密度，有密度， 。因而。解2 ，由定理A.1.1, 即。46. 设随机向量有联合密度,其中.又设和,求分布.解 ，变换 ，的反变换为，其中。有密度，有密度。习题2-19