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1、矩阵对角化的研究文献综述 文献综述矩阵对角化的研究 一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)(一)写作目的 矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个基本问题.通过此次写作希望能比较全面的认识矩阵的对角化的基础知识,深入理解其基本内容,领会其思想方法,并掌握求矩阵的对角化的方法.通过求矩阵的对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题,并通过比较总结出一套比较简单易行的方案.除此之外,还要在原有的基础上,得到一些有意义的结果,争取在某些方面有所创新.(二)有关概念 首先,我们给出文中常用的符号如下1:i表示实数域;ii表示实数域上的阶矩阵的集合;iii表示阶复矩阵
2、的集合;iv表示实矩阵集合;v表示阶实矩阵的集合;vi表示阶的单位矩阵;vii表示矩阵的行列式;viii表示主对角线上为元素的对角矩阵;定义12: 对角线以外的元都等于0,即当时有的方阵称为对角矩阵.记为.如: 特别地,称为单位矩阵,简称单位阵,记.定义23: 若阶矩阵与对角矩阵相似,则称可对角化,也称是单纯矩阵.(三)综述范围 若一个阶矩阵相似于对角阵时,可以使许多问题的研究和计算简化.求解矩阵对角化先得确定矩阵是否符合可对角化的条件,所以在文献4-5具体介绍了矩阵可对角化的条件,根据这些条件求一般矩阵以及一些特殊矩阵的对角化,在文献6-8中比较详细的介绍了他们的定理及证明方法. 通常,矩阵
3、可对角化问题与特征值密切相关,除此之外我们还可以通过可逆矩阵求解矩阵的对角阵.通过求矩阵可对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题,并通过比较总结出一套比较简单易行的方案9. 本文结合矩阵的基本知识原理,对矩阵对角化的各种常用求法进行梳理、归纳,并举例进行说明.(四)主要的问题 矩阵相似于对角阵时,可以使许多问题的研究和计算简化.如何用最简便的方法解决不同矩阵(如对称矩阵,幂等矩阵,对合矩阵)的对角化问题.二、主体部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)(一)历史背景 矩阵这个概念是从解线性方程组中产生的.我国现存的最古老的数学书九章算术(成书于公元1世纪,作者不
4、详)中,就有一个线性方程组的例子: 为了使用加减消去法解方程,古人把系数排成如下图所示的方形: 古时称这种矩形的数表为“方程”或“方阵”,其意思与矩阵相仿.在西方,矩阵这个词是1850年由西尔维斯特(James Joseph Sylvester,1814-1897,英国人)提出的.用矩阵来称呼由线性方程组的系数所排列起来的长方形表,与我国“方程”一词的意思是一致.(二)现状和发展方向 矩阵可对角化作为矩阵理论中的一个重要组成部分,目前已经有了丰富的研究成果,其中包括对实对称矩阵的对角化、幂等矩阵的对角化、对合矩阵的对角化、四元数矩阵的对角化的研究.主要成果有: 刁成海10把判断矩阵是否可对角化
5、与求它的特征向量联系起来,同时给出一个不用线性方程组即可求得可对角化矩阵特征向量的方法.王新民,孙霞,张景晓11给出了解决矩阵对角化问题的一个简便方法,即对特征矩阵施行初等变换.应用这个方法,可同时求出的特征根及特征向量,判断是否可对角化,在可对角化时,可直接写出相应的可逆矩阵,使为对角形矩阵.付立志,杨庆玺12对于对称矩阵对角化的正交变换模型进行了可行性研究,给出了相关定理的证明,以及模型法的操作原则、步骤和应用举例,使对称矩阵对角化的正交变换凸现了程序化简捷化的特点,从而回避了常规解法中求特征值要解高次方程,求特征向量要解线性方程组的繁琐过程.夏银红,赵文菊13在给出了次转置矩阵逆矩阵的性
6、质的基础上,根据矩阵对角化理论,给出并证明了次转置矩阵可对角化的条件.陈惠汝14讨论两个矩阵可同时合同对角化、同时相似对角化的充分或充要条件,由此进一步推出了多个矩阵同时对角化的条件,并给出两个矩阵同时合同对角化和同时相似对角化的算法.姜同松, 魏木生15 通过引入友向量的方法,进一步研究了四元数矩阵的对角化问题,构造性地给出了四元数矩阵对角化的实用算法.岳嵘16 利用矩阵的对角化的方法,对两类具有特殊性质的数列的通项公式.丘维声17给出了特征不等于2的域F上两个It级对称矩阵一齐合同对角化的充分必要条件;证明了秩为1的两个2级对称矩阵一定可以一齐合同对角化.金佑来18指出特征值出现重根的情形
7、下,需用Schmidt正交方法求正交特征向量,计算较为繁难.他给出另一种解法,即利用向量内积构造齐次线性方程组,求出每个特征值对应的特征向量,从而求出正交矩阵.张伟涛,刘宁,楼顺天19针对避免奇异解的联合对角化算法计算量大的问题,提出两种改进的高效算法.在第一种改进算法中,将对角化矩阵行列武按当前更新的列展开,从而避免了计算行列式过程中的矩阵求逆.另一种改进算法将列交换后的对角化矩阵进行QR分解,由分解得到的上三角矩阵计算对角化矩阵的行列式.由于两种改进算法减少了一次矩阵求逆,因此降低了原算法的计算量.仿真结果表明,当目标矩阵个数和维数较大时,两种改进算法的计算量分别为原算法的18.9%和13
8、.5%.其中关于外文文献的引用参见文献8和文献19 三 研究内容 1.矩阵是否可对角化,可按下列思路进行:思路1:计算出的特征值,如果得所有特征值两两互异,则可对角化充分条件.如果的特征方程有重根;在计算对应每个特征值的特征向置,如果有个线性无关的特征向量,则可对角化充要条件.思路2:不计算矩阵的特征向量,只需计算的特征值两两互异,则可对角化.思路3:计算矩阵的特征值,不计算的特征向量,只需计算特征矩阵的秩,如果对于每个重特征值的特征矩阵的秩等于.即秩,则方阵可对角化,否则不可对角化.思路4:不计算矩阵的特征值和特征向量.只需证明存在可逆矩阵和对角矩阵使得,则与相似,即可对角化. 对于矩阵分解
9、一般采用思路1,思路2和思路3的方法.2.矩阵可对角化的几个定理及引理归纳如下定理12阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量;定理210 阶矩阵可对角化的充要条件是特征子空间维数之和为;定理310 阶矩阵可对角化的充要条件是的初等因子是一次的;定理410 阶矩阵可对角化的充要条件是的最小多项式无重根引理112可逆矩阵一定可化为一系列初等矩阵之积;引理213对称矩阵一定可对角化;引理313 设都是阶矩阵,则定理513设是实数域上的?个阶矩阵,的特征根全在内,若是的全部不同的特征根,其重数分别为,那么1可对角化的充要条件是秩2当1式成立时.的列空问就是的属于特征根的特征子空间.推论1:设
10、为实数域上的阶矩阵,的特征根全为内.且是的全部不同的特征根,其维数分别为,若秩,秩.,则可以对角化.且的列向量组的极大无关组恰是属于的极大线性无关的特征向量组,的列向量组的极大无关组恰是属于的极大无关的特征向量组. 上述定理把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的同题联系起来,给出了一个不用线性方程而求得可对角化矩阵的特征向量的方莹.在矩阵的不同特征根较少时,这个方法较方便.定理6 若是的全部不同的特征根.作多项式,则上可以对角化的充要条件是定理9若是的全部不同的特征根.如果,- 则属于的特征子空间就是的列向量空间.定理7若是的全部不同的特征根,如果对每个都有那么,. 从上述几个定理可以看
11、出,矩阵可对角化的判定以及求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归结为矩阵的乘法运算.3.下面我们就实对称矩阵与等幂矩阵的对角化作写简要叙述 就矩阵的对角化问题我们可通过正交矩阵实现。具体计算时可以分以下几步进行:1计算矩阵的特征多项式,再求出它的所有根;2对于每个特征值求出它的所有特征向量.具体做法是解齐次线性方程组 ,求出一个基础解系,这就是特征子空间的基.再通过正交化方法从这个基出发构造一个规范正交基;3把2中构造的各个规范正交基合并,就得到的规范正交基.这是因为对应的不同特征值的特征值的特征向量互相正交,而且特征子空间的维数之和等于空间的维数.以这个规范正交基作为列向量构成的矩阵就是所要求
12、的正交矩阵. 上述方法是可行,但在具体操作时,由于要事先求出实对称矩阵的全部特征值.操作上有如下困难:(1)特征方程:给出困难(2)特征方程求根困难(5次以上的代数方程没有统一的求根公式).因此有必要寻求其他方法. 在数值分析中,数学家Jacobi曾对此问题进行研究,给出Jacobi迭代法,其基本思想是利用一系列的平面旋转变换(正交相似变换),使变换产生的迭代矩阵序列收敛于对角阵.此类方法有可操作性,但平面旋转变换对应的旋转角度每一步都不同,需反复计算,计算公式复杂、计算量大,而且迭代法通常无法通过有限步计算得到所要求的变换矩阵和相应的对角阵.本文就这些问题对称矩阵对角化的正交变换模型进行了可
13、行性研究,给出了相关定理的证明,以及模型法的操作原则、步骤和应用举例,使对称矩阵对角化的正交变换凸现了程序化简捷化的特点,从而回避了常规解法中求特征值要解高次方程,求特征向量要解线性方程组的繁琐过程. 操作步骤如下:定义32 如果矩阵满足,则称为对称矩阵,显然也为实对称矩阵,于是有,为对称矩阵,则总可以找到一个正交阵,使得其中为单位矩阵;为对角阵,且的主对角线上的元素全为的特征值;的列向量均为对应特征值的单位特征向量.定理8 若为对称矩阵,则总可以经一系列对称的初等变换化为对角阵.定理9若为对称矩阵,则总可以经一系列可逆的初等变换化为对角阵由定理8可得对角化合同变换法模型:其中对称变换即合同变
14、换,即每对施行一次初等行变换,同时对列施行一次相同的初等列变换,随作同步列变换. 由定理6可得对角化相似变换法模型:,其中可逆变换即相似变换,即每对施行一次初等行变换,同时对列施行一次可逆的初等列变换,随作同步列变换. 关于模型2,根据文献3中的有关结论,可给出较为简便的分步操作模型下面我仅对模型1进行讨论.定理10设为对称矩阵.若经一系列对称的初等变换化为对角阵,且每次对称变换的倍乘系数均不含,即为不含的初等矩阵之积,则的主对角线上的元素必为的全部特征值,必为正交阵. 显然,在模型中矩阵的使用,确保了变换阵的正交性,但也相应地增加了变换的一些难度.因此我们有必要对上述模型进行一些改进:1变换
15、程序首先将 或从始所在行和列的其它元素化为0;再依次将,所在行和列的其它元素化为O;3最后将主对角线元素的系数化为1.2操作原则 规范性原则,即在做倍加和倍乘变换时,所乘系数不得含有; 有序性原则,即尽可能由右向左、由下至上按顺序化简,逐个在主对角线上析出; 简化性原则.即尽可能的施行整数化和有理化运算;4灵活性原则.即根据具体隋况在化简的方式方法和顺序等方面,均可以采取灵活多样应变措施.如可根据相同元素的多少直接进行两行两列相加减来增加0元素的个数.矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用定义43若阶方阵满足,则称为幂等阵. 例如,形如 是幂等矩阵.定理113幂等矩阵一定可以对角化 证明:设
16、,且,则从而是的零化多项式,而的最小多项式满足故无重根,所以幂等阵可以对角化. 如果矩阵只有两个不同的特征值,我们可以得到如下结论:定理12设,是的两个不同的特征值,则可以对角化存在幂等阵,使得. 注:将也看作幂等矩阵(因为),则此处可写成两个幂等阵的线性组合.下面我们讨论满足条件的情况,有如下结论:定理13假设有个互不相同的特征值,对某个,则有当且仅当同时对角化.引理4 设,且,则存在可逆阵,使可同时对角化4.矩阵可对角化的应用 在矩阵乘法运算、矩阵方程、二次型化标准形、矩阵理论、线性变换等方面有着广泛的应用总结部分(将全文主题进行扼要总结,提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测) 矩阵
17、的可对角化是矩阵的奇异值分解、特征值分解和CS分解的基础,而两个矩阵的同时可对角化又是矩阵束分解广义特征值分解,广义分解等的基础.我们讨论和运用的矩阵对角化多为一个矩阵的对角化:如文献9及一般的高等代数.矩阵可对角化问题与特征值也密切相关,在矩阵乘法运算、矩阵方程、矩阵理论、二次型化标准形及线性变换等方面有着广泛的应用,在高等代数和线性代数中占有重要地位.四、参考文献(根据文中参阅和引用的先后次序按序编排)陈惠汝.代数逆特征值及矩阵同时对角化问题C.湖北大学,2008,5.陈志杰.高等代数与解析几何 M.北京:高等教育出版社.2000,6史荣昌,魏丰.矩阵分析M.北京:理工大学出版社. 200
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19、王新民,孙霞,张景晓.矩阵的特征根与特征向量及其相似对角形的统一求法J.大学数学.2007,63:140-143付立志,杨庆玺.对称矩阵对角化的正交变换模型J.河南科学.2008,22:135-138夏银红,赵文菊.次转置矩阵的可对角化条件J.新乡学院学报(自然科学版).2010,42:3-4姜同松, 魏木生.四元数矩阵的对角化及其算法J.工程数学学报.2005,21:179-183岳嵘.矩阵可对角化的充要条件J.文化教育.2007,436:170-171丘维声.两个对称矩阵一齐合同对角化的充要条件J.龙岩学院学报.2008,63:1-5金佑来.矩阵对角化的一个新方法J.合肥学院学报.2007,113:74-76刘宁,楼顺天.避免奇异解联合对角化的两种高效算法J.西安电子科技大学学报(自然科学).2009,105:857-860David C.Lay. Linear algebra and its application M. 电子工业出版社, 2004