小学奥数34个核心公式考点.docx

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1、小学奥数 34 个核心公式考点1、和差倍问题：和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几 个 数 的 和 与 倍 几 个 数 的 差 与 数倍数公 式 适 用 已知两个数的和，差，倍数关系 范围 ( 和差 ) 2= 较小数较小数差 = 较大公式关键问题数和较小数 = 较大 数 ( 和差 ) 2= 较 大数较大数差 = 较小 数和较大数 = 较小 数求出同一条件下的和 ( 倍数 1)= 小数小 数 倍 数 = 大 数和小数 =大数差 ( 倍数 -1)= 小数小 数 倍 数 = 大数小 数 差 = 大 数和与差和与倍数差与倍数2、年龄问题基本特征：1 两个人的年龄差是不变的；2 两个人的年龄

2、是同时增加或者同时减少的； 两个人的年龄的倍数是发生变化的；3、归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一 般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4、植树问题：在直线或者不 基 本 类 封闭的曲线上 型 植树，两端都植树在 直 线 或 者 在直线或者不封 不 封 闭 的 曲 闭 的 曲 线 上 植 线上植树， 两 树，只有一端植 端都不植树 树封 闭 曲线 上 植树基 本 公式棵 数 = 段 数 棵数 = 段数 1 1棵 距 段 数 = 棵距段数 =棵数 = 段数 棵距段数 =总长总长总长关 键 问题确定所属类型，从而确定棵数

3、与段数的关系5、鸡兔同笼问题：基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错 的那部分置换出来；基本思路：1 假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一 样）：2 假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多 少；3 每个事物造成的差是固定的， 从而找出出现这个差的原 因；4 再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚 数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头 数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。6、盈亏问题：基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照 另

4、一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同， 造成结果的差异， 由它们的关系求对象分组的组数或对象 的总量。基本思路：先将两种分配方案进行比较， 分析由于标准的差异造成结 果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根 据题意求出对象的总量。基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差 当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份 数的差当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次 每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7、牛吃草问题：基本思路：假设每头牛吃草的速度为 “

5、1 ”份，根据两次不同的吃法， 求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即 可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量 =（较长时间长时间牛头数 - 较短时间短时间牛 头数）（长时间 - 短时间）；总草量 =较长时间长时间牛头数 - 较长时间生长量；8、周期循环与数表规律：周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰 年：一年有 366 天；年份能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，则年份 必须能被 400 整除；平 年：一年有

6、 365 天。年份不能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，但不 能被 400 整除；9、平均数：基本公式：平均数 =总数量总份数总数量 =平均数总份数总份数 =总数量平均数平均数 =基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算 . 基准数法：根据给出的数之间的关系， 确定一个基准数； 一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数； 以基 准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差 的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和 基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式10、抽屉原理：抽屉原则一：如果把（ n+1 ）个物体放在

7、n 个抽屉里，那么必有一个抽 屉中至少放有 2 个物体。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三 个整数的和，那么就有以下四种情况： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点： 总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说 必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里， 其中 nm ，那么必有 一个抽屉至少有 : k=n/m +1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。 k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。理解知识点：X 表示不超过 X 的最大

8、整数。例 4.351=4 ； 0.321=0 ； 2.9999=2 ；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后 依据抽屉原则进行运算。11、定义新运算： 基本概念：定义一种新的运算符号， 这个新的运算符号包含有多种基 本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加 减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12、数列求和：等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列 数，就叫做等差数列。

9、基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示； 项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示； 通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示； 数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sn 表示基本思路：等差数列中涉及五个量： a1 ,an, d, n,sn, 通项公式中涉 及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公 式中涉及四个量，如果己知其中三个， 就可以求这第四个。基本公式：通项公式： an = a1+ （ n 1 ） d ； 通项首项（项数一 1) 公差；数列和公式： sn,= (a1+ an) n 2 ； 数

10、列和（首项末项）项数 2 ； 项数公式： n= (an+ a1) d 1 ； 项数 = （末项 -首项）公差 1 ； 公差公式： d = （ an a1 ）（ n 1 ）； 公差 = （末项首项）（项数 1 ）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；13、二进制及其应用：十进制：用 0 9 十个数字表示，逢 10 进 1 ；不同数位上的数字 表示不同的含义，十位上的 2 表示 20 ，百位上的 2 表示 200 。所以 234=200+30+4=2 102+3 10+4 。 =An 10n-1+An-1 10n-2+An-2 10n-3+An-3 10n-4+An-4 10n-5+An

11、-6 10n-7+ +A3 102+A2 101+A1 100注意： N0= ； N =N （其中 N 是任意自然数）二进制：用 0 1 两个数字表示，逢 2 进 1；不同数位上的数字表 示不同的含义。（ 2 ） = An 2n-1+An-1 2n-2+An-2 2n-3+An-3 2n-4+An-4 2n-5+An-6 2n-7+ +A3 22+A2 21+A1 20注意： An 不是 0 就是 1 。十进制化成二进制：根据二进制满 2 进 1 的特点，用 2 连续去除这个数， 直到商为 0 ，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出 即可。先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它们的差，

12、再 找不大于这个差的 2 的 n 次方，依此方法一直找到差为 0 ， 按照二进制展开式特点即可写出。14、加法乘法原理和计数：加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法，在 第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有： m1+ m2. +mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn种

13、方法，那么完成这件任务共有： m1 m2. mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动， 形成的轨 迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数 1+2+3+ + （点数一 1 ）； 数角规律 =1+2+3+ + （射线数一 1 ）；数长方形规律：个数 =长的线段数宽的线段数： 数长方形规律：个数 =1 1+2 2+3 3+ + 行数列 数15、质数与合数：质数：

14、一个数除了 1 和它本身之外， 没有别的约数， 这个数叫做 质数，也叫做素数。合数：一个数除了 1 和它本身之外， 还有别的约数， 这个数叫做 合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数， 那么这个质数叫做这个数 的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 通常用短除法分解质因数。 任何一个合数分解质因数的结 果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N= ，其中 a1 、 a2 、 a3 an 都是合数 N 的质因数， 且 a1a2a3 an 。求约数个数的公式：P=(r1+1) (r2+1) (r3+1) (rn+1)互质数：如果两个数的最大公约数是 1 ，这两个数

15、叫做互质数。16、约数与倍数：约数和倍数：若整数 a 能够被 b 整除， a 叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的 一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数， 所得的几个商是互 质数。2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 4 、 几个数都乘以一个自然数 m ，所得的积的最大公约 数等于这几个数的最大公约数乘以 m 。例如： 12 的约数有 1 、 2 、 3 、 4 、 6 、 12 ；18 的约数有： 1 、 2 、 3

16、、 6 、 9 、 18 ；那么 12 和 18 的公约数有： 1 、 2 、 3 、 6 ；那么 12 和 18 最大的公约数是： 6 ，记作（ 12 ，18 ）=6 ；求最大公约数基本方法：1、 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连 乘起来。2、 短除法：先找公有的约数，然后相乘。3 、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除 的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的 一个，叫做这几个数的最小公倍数。12 的倍数有： 12 、 24 、 36 、 48 ；18 的倍数有： 18 、 36 、 54 、 72 ；那么 12

17、和 18 的公倍数有： 36 、 72 、 108 ； 那么 12 和 18 最小的公倍数是 36 ，记作 12 ， 18=36 ；最小公倍数的性质：1 、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2 、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数 的乘积。求最小公倍数基本方法： 1 、短除法求最小公倍数； 2 、 分解质因数的方法17、数的整除：基本概念和符号：1、 整除：如果一个整数 a ，除以一个自然数 b ，得到一 个整数商 c ，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a ，记作 b|a 。2、 常用符号：整除符号“ | ”，不能整除符号“ ”；因 为符号“”

18、，所以的符号“”；整除判断方法：1. 能被 2 、 5 整除：末位上的数字能被 2 、 5 整除。2. 能被 4 、25 整除：末两位的数字所组成的数能被 4 、25 整除。3. 能被 8 、 125 整除：末三位的数字所组成的数能被 8 、 125 整除。4. 能被 3 、9 整除：各个数位上数字的和能被 3 、9 整除。 5. 能被 7 整除：1 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成 数之差能被 7 整除。2 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除。6. 能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成 的数之差能被 11 整除。2 奇数位上

19、的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整 除。3 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。 7. 能被 13 整除：1 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成 的数之差能被 13 整除。2 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除。整除的性质：1. 如果 a 、 b 能被 c 整除，那么（ a+b ）与（ a-b ）也能 被 c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4. 如果 a 能被 b 、c 整除，那么 a

20、 也能被 b 和 c 的最小公 倍数整除。18、余数及其应用： 基本概念：对任意自然数 a 、 b 、 q 、 r ，如果使得 a b=q r ，且 0rb, 那么 r 叫做 a 除以 b 的余数， q 叫做 a 除以 b 的 不完全商。余数的性质：1 余数小于除数。2 若 a 、 b 除以 c 的余数相同，则 c|a-b 或 c|b-a 。 a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。 a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除 以 c 的余数的积除以 c 的余数。19、余数、同余与周期：同余的定义：1

21、若两个整数 a 、b 除以 m 的余数相同，则称 a 、b 对于 模 m 同余。2 已知三个整数 a 、 b 、 m ，如果 m|a-b ，就称 a 、 b 对 于模 m 同余，记作 a b(mod m) ，读作 a 同余于 b 模 m 。同余的性质：1 自身性： a a(mod m) ；2 对称性：若 a b(mod m) ，则 b a(mod m) ；3 传递性：若 a b(mod m) ，b c(mod m) ，则 a c(mod m) ；4 和差性：若 a b(mod m) ， c d(mod m) ，则 a+c b+d(mod m) ， a-c b-d(mod m) ；5 相乘性：若

22、 a b(mod m) ，c d(mod m) ，则 a c b d(mod m) ；6 乘方性：若 a b(mod m) ，则 an bn(mod m) ； 同倍性 : 若 a b(mod m) ，整数 c，则 a c b c(mod mc) ；关于乘方的预备知识：若 A=a b ，则 MA=Ma b= （ Ma ） b 若 B=c+d 则 MB=Mc+d=Mc Md被 3 、 9 、 11 除后的余数特征：1 一个自然数 M ， n 表示 M 的各个数位上数字的和，则 M n(mod 9) 或（ mod 3 ）；2 一个自然数 M ， X 表示 M 的各个奇数位上数字的和， Y 表示 M

23、的各个偶数数位上数字的和， 则 MY-X 或 M 11- （ X-Y ） (mod 11) ；费尔马小定理：如果 p 是质数（素数），a 是自然数，且 a 不能被 p 整除， 则 ap-1 1(mod p) 。20、分数与百分数的应用：基本概念与性质：分数：把单位“ 1 ”平均分成几份，表示这样的一份或几 份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数 （ 0 除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“ 1 ”平均分成几份，表示这样一份的 数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：1 逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进 行思考。2 对应思维方法： 找出题

24、目中具体的量与它所占的率的直 接对应关系。3 转化思维方法： 把一类应用题转化成另一类应用题进行 解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同 的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。 常见的处理方法是确定不同的标准为一 倍量。4 假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等 的量假设成相等或者假设某种情况成立， 计算出相应的结 果，然后再进行调整，求出最后结果。5 量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是 不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变 的。有以下三种情况： A 、分量发生变化，总量不变。 B 、 总量发生变化，但其中有的分量不

25、变。 C 、总量和分量都 发生变化，但分量之间的差量不变化。6 替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关 系单一化、量率关系明朗化。7 同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行 处理。8 浓度配比法： 一般应用于总量和分量都发生变化的状况。21、分数大小的比较：基本方法：1 通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数 大小和分母的关系比较。2 通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数 大小和分子的关系比较。3 基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比 较。4 分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分 子或分母越大的分数值越大。5 倍率比较法： 当比

26、较两个分子或分母同时变化时分数的 大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比 较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）6 转化比较方法：把所有分数转化成小数 （求出分数的值） 后进行比较。7 倍数比较法： 用一个数除以另一个数， 结果得数和 1 进 行比较。8 大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和 0 比较。9 倒数比较法：利用倒数比较大小， 然后确定原数的大小。 基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比 较。22、分数拆分：将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：23、完全平方数：完全平方数特征：1. 末位数字只能是： 0 、 1 、 4 、 5 、 6 、 9

27、 ；反之不成立。 2. 除以 3 余 0 或余 1 ；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1 ；反之不成立。4. 约数个数为奇数；反之成立。5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。3. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。 7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式：X2-Y2= （ X-Y ）（ X+Y ）完全平方和公式： （ X+Y ） 2=X2+2XY+Y2完全平方差公式： （ X-Y ） 2=X2-2XY+Y224、比和比例：比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前 项，比号后面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性

28、质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零 除外），比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。 a:b=c:d 或比例的性质：两个外项积等于两个内项积 ( 交叉相乘 ) ， ad=bc 。正比例：若 A 扩大或缩小几倍， B 也扩大或缩小几倍 （ AB 的商不变时），则 A 与 B 成正比。反比例：若 A 扩大或缩小几倍， B 也缩小或扩大几倍 （ AB 的积不变时），则 A 与 B 成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分 配。25、综合行程：基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体 速度、时间、路程三者之间的关系

29、.基本公式：路程 = 速度时间；路程时间 = 速度；路程 速度 = 时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间 = 相遇路程（请写出其他公 式）追及问题：追及时间路程差速度差（写出其他公式） 流水问题：顺水行程 =（船速 + 水速）顺水时间逆水行程 =（船速 - 水速）逆水时间顺水速度 =船速 + 水速逆水速度 =船速 - 水速静水速度 =（顺水速度 +逆水速度） 2水 速 =（顺水速度 - 逆水速度） 2流水问题：关键是确定物体所运动的速度， 参照以上公式。 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程， 参照以上公式。 主要方法：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及

30、路程）、时间（相遇时间、追 及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第 三个量。26、工程问题：基本公式：工作总量 =工作效率工作时间 工作效率 =工作总量工作时间 工作时间 =工作总量工作效率基本思路：1 假设工作总量为“ 1 ”（和总工作量无关）；2 假设一个方便的数为工作总量 （一般是它们完成工作总 量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可 以简单地表示出工作效率及工作时间 .关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。27、逻辑推理：条件分析假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断， 如果有与题设条件矛盾的情况， 说明该假设情况是不成立

31、的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设 a 是偶数 成立，在判断过程中出现了矛盾，那么 a 一定是奇数。条件分析列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进 行列表来辅助分析。 列表法就是把题设的条件全部表示在 一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与 情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时， 就可用连线表示两个对 象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态， 没有连线则表示否定的状态。例如 A 和 B 两人之间有认 识或不认识两种状态， 有连线表示认识，没有表示不认识。逻辑计算：在推理的过程中除了要进行

32、条件分析的推理之外， 还要进 行相应的计算， 根据计算的结果为推理提供一个新的判断 筛选条件。简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据， 分析其中存在的规律和方法， 并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式， 从而得到问题的解决。28、几何面积：基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般 需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、 重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外 需要掌握和记忆一些常规的面积规律。常用方法：1. 连辅助线方法2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时 可把任意点设置在特殊位

33、置上）。4. 利用特殊规律1 等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。 （斜 边的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面积）2 梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。3 圆的面积占外接正方形面积的 78.5% 。29、时钟问题快慢：基本思路：1、 按照行程问题中的思维方法解题；2、 不同的表当成速度不同的运动物体；3、 路程的单位是分格（表一周为 60 分格）； 4 、时间是标准表所经过的时间；5 、合理利用行程问题中的比例关系；30、时钟问题钟面追及： 基本思路：封闭曲线上的追及问题。关键问题：确定分针与时针的初始位置； 确定分针与时针的路程差；基本方法：分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成

34、60 小格，每小格我们称为 1 分格。分针每小时走 60 分格，即一周；而时针只走 5 分 格，故分针每分钟走 1 分格，时针每分钟走 1 12 分格。度数方法：从角度观点看，钟面圆周一周是 360 ，分针每分钟转 360/60 度，即 6 ，时针每分钟转 360/12X60 度，即 1/2 度。31、浓度与配比：经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系， 进行混合的 两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等） 叫溶质。溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。 溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫 溶液。基本公式：溶

35、液重量 =溶质重量 + 溶剂重量；溶质重量 =溶液重量浓度；浓度 = 溶质 / 溶液 100%= 溶质 / （溶剂 + 溶质） 100%经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系， 进行混合的 两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。32、经济问题：利润的百分数 =（卖价 - 成本）成本 100% ； 卖价 = 成本（ 1+ 利润的百分数）；成本 = 卖价（ 1+ 利润的百分数）；商品的定价按照期望的利润来确定；定价 = 成本（ 1+ 期望利润的百分数）； 本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的比；利息 = 本金利率期数；含税价格 =不含税价格（ 1+ 增值税税率）；33、不定方程：一次不定

36、方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它 的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法：观察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程， 它的解也不唯一；多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值， 或者消去一个未知数， 这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程， 按照二元 一次不定方程解即可；涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；解不定方程的步骤：1 、列方程；2 、消元；3 、写出表达式； 4 、确定范围； 5 、 确定特征； 6、确定答案；技巧总结：A、 写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征 明显的未知数， 同时考虑用范围小

37、的未知数表示范围大的 未知数；B、 消元技巧：消掉范围大的未知数；34、循环小数：把循环小数的小数部分化成分数的规则：纯循环小数小数部分化成分数： 将一个循环节的数字组 成的数作为分子，分母的各位都是 9 ， 9 的个数与循环节 的位数相同，最后能约分的再约分。混循环小数小数部分化成分数： 分子是第二个循环节以 前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组 成的数之差，分母的头几位数字是 9 ， 9 的个数与一个循 环节的位数相同，末几位是 0 ， 0 的个数与不循环部分的 位数相同。分数转化成循环小数的判断方法：一个最简分数，如果分母中既含有质因数 2 和 5 ，又含 有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定 是混循环小数。一个最简分数，如果分母中只含有 2 和 5 以外的质因 数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。