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1、26.2 用函数观点看一 元二次方程,一元二次方程根的情况与b-4ac的关系,温故知新,问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：,（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？,（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？,（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？,(4)球从飞出到落地要用多少时间?,（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？,15,1,
2、3,解：（1）解方程 15=20t-5t t-4t+3=0 t =1， t =3. 当球飞行1s和3s时， 它的高度为15m。,（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能， 需要多少飞行时间？,（2）解方程 20=20t-5t t-4t+4=0 t = t =2. 当球飞行2s时， 它的高度为20m。,（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？,20.5,（3）解方程 20.5=20t-5t t-4t+4.1=0 （-4）-4410 方程无实数根,20.5,(4)球从飞出到落地要用多少时间?,（4）解方程 0=20t-5t t-4t=0 t =0， t =4. 当球飞行0s
3、和4s时， 它的高度为0m，即0s飞出，4s时落回地面。,例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值.,就是求方程3=-X2+4x的解,例如,解方程X2-4x+3=0,就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量x的值.,若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),归纳,观察:下列二次函数的图 象与x轴有公共点吗?如 果有,公共点横坐标是多 少?当x取公共点的横坐 标时,函数的值是多少? 由此,你得出相应的一 元二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (
4、3)y=x2-x+1,思考：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,y=x-6x+9,Y=x+x-2,Y=x-x+1,x,y,（1）设y=0得x2+x-2=0 x1=1，x2=-2 抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，公共点的横坐标分别是1和-2，当x取公共的的横坐标的值时，函数的值为0.,（2）设y=0得x2-6x+9=0 x1=x2=3 抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐标的值时，函数的值为0.,（3）设y=0得x2-x+1=0 b2-4ac=（-1）2-411=-30 方程
5、x2-x+1=0没有实数根 抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,Y=x+x-2,Y=x-x+1,y=x-6x+9,x,y,（-2、0）,（1、0）,与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）,有两个不同的解x=x1，x=x2,b2-4ac0,与x轴有唯一个 交点,有两个相等的解 x1=x2=,b2-4ac=0,与x轴没有 交点,没有实数根,b2-4ac0,归纳:,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,只有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2
6、+bx+c=0的根有什么关系?,归纳:,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点,二次函数与一元二次方程,b2 4ac 0,b2 4ac= 0,b2 4ac 0,若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则,b2 4ac,0,0,=0,0,O,X,Y,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点,例,方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; （-1.3、0）、（2.3、0） (3)得出方程的解. x =-1.3，x =2.3。,利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.,x,y,用你学过的一元
7、二次方程的解法来解， 准确答案是什么？,例,解:,方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; (3)得出方程的解.,基础练习:,1.不与x轴相交的抛物线是( ) A y=2x2 3 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 3x D y=-2(x+1)2 - 3,2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a0,c0时,图象与x轴交点情况是( ) A 无交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D不能确定,D,C,3.已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax+bx+c=0的解是 .,X1=0，x2=5,X,Y,0,5,知识巩固:,1.抛物线y=2x2-3x-5
8、 与y轴交于点,与x轴交于点.,2.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.,归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),(0,-5),(5/2,0) (-1,0),(-2,0) (5/3,0),3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3 ,x2=,-3.3,x,A,1.3,.,思考：已知抛物线y=x2 + mx +m 2
9、 求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.,冲击中考:,1.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是.,2.直线 y=2x+1 与抛物线 y= x2 + 4x +3 有个交点.,无解,0,3.已知二次函数y=x2-mx-m2 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴总有公共点; （2）该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1、0），求B点坐标。,试一试,C,A,(4)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax+bx+c=0的解是 .,X,Y,0,5,2,2,X1=0，x2=
10、5,(5)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有个交点.,(6)已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在 x轴上,则c=.,1,1,16,（7）根据下列表格的对应值: 判断方程ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( ) A 3 X 3.23 B 3.23 X 3.24 C 3.24 X 3.25 D 3.25 X 3.26,C,练习：,1、抛物线y=x2-x+m与x轴有两个交点， 则m的取值范围是 。,2、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等 的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴
11、有 个交点。,3、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无法确定,m1I4,一,C,4、已知二次函数y=-x2+2x+k+2 与x轴的公共点有两个， （1）求k的取值范围； （2）当k=1时，求抛物线与 x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标； （3）观察图象，当x取何值时，y=0,y0,y0? （4）在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使SABP是SABC的一半，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由.,y,x,5、已知二次函数y=x2-mx-m2 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴总有公共点; （2）该二次函数的图像与x轴
12、有两个公共点A、B，且A点坐标为（1、0），求B点坐标。,试一试,C,A,?,.求抛物线与y轴的交点坐标; 与x轴的两个交点间的距离.何时y0?,练习.已知抛物线yx2 m xm.,(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m_；,(1)若抛物线经过坐标系原点，则m_；,(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m_。,(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_.,= 1,1,= 2,= 0,、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a0） 的值永远为正的条件是_,a0,0,例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 ，其中y（m）是球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞
13、的水平距离还有2m （1）请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴 （2）请求出球飞行 的最大水平距离 （3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式,解：（1） 抛物线 开口向下，顶点为 ，对称轴为 （2）令 ，得： 解得： ， 球飞行的最大水平距离是8m （3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m 抛物线的对称轴为 ，顶点为 设此时对应的抛物线解析式为 又 点 在此抛物线上， ,3.如图，抛物线 的对称轴是直线 且经过点（3，0），则 的值为( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 2,A,4.二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程 的两个根 （2）写出不等式 的解集 （3）写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围 （4）若方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围,3,2,5.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高BC3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。,的一部分，如图,