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1、浅析物理解题中的微分思想陈宏奎【专题名称】中学物理教与学【专 题 号】G36【复印期号】2010年02期【原文出处】高中数理化(京)2009年10期第3739页【作者简介】陈宏奎，江苏省海安县曲塘高级中学。物理解题中运用的数学方法，通常包括几何图形法（函数图象）、三角函数方程法、比例法、数列递推求和法、数学数列极限法与不等式及微积分法等。其中，微积分是新编中学数学教材中增加的内容。最近几年，以物理试题为载体渗透考查数学能力是高考命题的热点主题，特别是利用微分思想求解物理题在各地高考中频频出现，近几年更是“年年上榜”，所以，对此加以重视是必要的。利用微分思想实现从部分到整体的分析方法叫微元法。当
2、物理学中遇到整体难以解决的复杂问题时，常运用微分概念合理选取微分元（将研究对象进行无穷细分，其中的一份微小单元即微分元，如力学中的长度元dl，体积元dV，质量元dm，电磁学中的电荷元dq，电流元dI等），对微元模型运用相关的物理规律和数学方法处理，然后再对微元结果叠加而过渡到对整体的积分求解。微元法充分体现了数学微积分的基本思想和物理实质。许多学生只会数学上抽象的微积分运算，而面对具体的物理问题，不知如何寻找微分元，进而无法用微积分来求解实际问题，造成物理解题时的障碍。一、微分思想在动力学问题中的应用例1从地面上以初速度竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，
3、球运动的速率随时间变化规律如图1所示，时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为，且落地前球已经做匀速运动。求：图1(1)球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；(2)球抛出瞬间的加速度大小；(3)球上升的最大高度H。解析(1)全过程对小球运用动能定理点评在这道动力学的问题中，第3问用常规方法很难求解，即使有些物理思维比较活跃的学生通过研图知晓了在图象中从开始到这段时间内图线与坐标轴所围的面积大小即为题中要求的H（其实就是微元的思想，图中把时间无穷细分，每一时间元内由于时间极短可认为速度不变对应的面积即为对应的位移），但由于图线为曲线不会求解而放弃。面对具体的物理问题，不知如何寻找微分元造成物
4、理解题时的障碍，一旦知道选取极短的一小段时间t为微分元，利用微元法不难求出结果。二、微分思想在天体运动问题中的应用例2某行星围绕太阳C沿椭圆轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点A时的速度为，行星的远日点B离开太阳的距离为b，如图2所示，求它经过远日点B时的速度的大小。图2解析此题可根据万有引力提供行星的向心力求解（求解略）。也可根据开普勒第二定律，用微元法求解。设行星在近日点A时又向前运动了极短的时间t，由于时间极短可以认为行星在t时间内做匀速圆周运动，线速度为，半径为a，可以得到行星在t时间内扫过的面积：。同理，设行星在经过远日点B时也运动了相同的极短时间微元t，则也有：。
5、由开普勒第二定律（面积定律）可知：。即得：。三、微分思想在求解机械功（机械功率）问题中的应用例3如图3所示，某个F=10N的力作用于半径R=1 m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周，这个力F做的总功为多少？图3解析由于力F的方向与作用点的速度方向一致，因此力F做功肯定不为零，考虑到此力大小不变但不是恒力，无法用恒力做功公式直接求解。可以考虑把圆周划分为无限多“微元”来研究。把整个运动过程划分成很多个微元，整个过程中变力做功就等效于每个微元中恒力做功之和。当各小段的弧长s足够小（s0）时，在这s内F的方向几乎与该小段的位移重合，则F做的总功为：
6、点评对整体无穷细分后隔离选择恰当的微元作为研究对象，微分元可以是一小段圆弧、一小块面积、一个小质量、一小段时间但微分元应该具备整体对象的基本特征，对微分元模型化，运用相关物理规律结合微积分的知识可以很快捷地处理问题。四、微分思想在静电场问题中的应用例4电荷量Q均匀分布在半径为R的圆环上（如图4所示），求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度。图4解析带电圆环产生的电场不能看作点电荷产生的电场，故采用微元法，利用求解点电荷形成的电场的方法结合对称性求解。选电荷元，它在P点产生的电场场强的x分量为：在轴线上P点产生的场强方向是沿轴线的方向。五、微分思想在电路问颗中的应用例5如图5中甲图所示是
7、一种测量电容的实验电路图，实验是通过对高阻值电阻放电的方法测出电容器充电至电压U时所带的电荷量Q，从而再求出待测电容器的电容C，某同学在一次实验时的情况如下：图5a.按图甲所示的电路图接好电路；b.接通开关S，调节电阻箱R的阻值，使小量程电流表的指针偏转接近满刻度，记下此时电流表的示数=490A，电压表的示数分别是电容器放电时的初始电流和电压；c.断开开关S，同时开始计时，每隔5 s或10 s测读一次电流i的值，将测得数据填入表格，并标示在图乙的坐标纸上（时间t为横坐标，电流i为纵坐标），结果如图中小黑点所示。(1)在图乙中画出i-t图线。(2)图乙中图线与坐标轴所围成面积的物理意义是_。(3
8、)该电容器的电容为_F。解析(1)利用描出的各点连成平滑的曲线即为i-t图线（作图略）。(2)利用微元的思想，在图乙中把时间无穷细分，每一时间元内由于时间极短可认为电流不变对应的面积即为对应的放电的电荷量，再对微元结果叠加可知图乙中图线与坐标轴所围成面积的物理意义是电容器充电完毕时储存的电荷量，即放电的总电荷量。(3)根据近似处理的物理思想，图线与坐标轴所围部分的格数（边缘部分大于半格的算一格，小于半格的可忽略）乘以每一格所占面积，估算出整个过程中电容器所释放的总电荷量，六、微分思想在动量问题中的应用例6如图6所示，长为L的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m，船的质量为，不计水的阻力，
9、人从船头走到船尾的过程中，问船的位移为多大？图6七、微分思想在电磁感应问题中的应用例7如图8所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面。现给金属杆一个水平向右的初速度，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？图8解析对杆在运动过程中受力分析可知竖直方向重力和支持力平衡，水平方向始终受一水平向左的且大小不断变化的安培力。这是一个典型的在变力作用下求位移的问题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要采用的方法得当仍然可以求解。取水平向右为正方向，设杆在减速中
10、的某一时刻速度为v，加速度为a，则点评题中涉及的物理量是非线性变化量，无法用初等数学知识解决，但如果有了微积分的思想，化整为零、化曲为直，再结合物理规律则可以做到化繁为简，解题的同时拓宽了我们的思维。本文通过分析物理解题中的微分思想充分说明了数学是研究和学习物理学的重要工具。物理理论本身的建立、发展和推理论证的过程，离不开数学；物理概念及物理量间关系的表达，要借助于数学公式或图象等手段；应用物理知识分析求解具体物理问题时，数学更是有力的计算工具。只有具备良好的数学知识，掌握物理学中的数学方法，才能更好地掌握物理概念、规律及应用，因此中学阶段物理知识的学习必须适度渗透微积分等数学思想方法，进一步强化学生数理结合能力的培养，增强学习效益。NU1DA20100416