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1、第一节 布洛赫定理 5.1.1 布洛赫定理 5.1.3 布里渊区 5.1.2 波矢的取值和范围 本节主要内容: 穴 捆 濒 蟹 蛛 鹏 邮 售 赛 狼 畸 掷 远 吹 乌 鲍 闲 雨 采 芬 帘 誉 澄 语 歪 啪 昏 留 揣 淀 县 寐 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 5.1 布洛赫定理 5.1.1 布洛赫定理 1.晶格的周期性势场 (3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具 有周期性； (1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之 和；
2、 (2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势 能与距离成反比)； (4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶 格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。 稳 趁 启 撇 萧 撰 颤 荷 胶 莽 插 绚 场 漱 幻 宛 艘 罐 恳 厚 德 呐 辖 挟 袖 滦 慈 护 铅 徽 刚 匀 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 其中 为任意格点的位矢。 电子在一个具有晶格周期性的势场中运动 2. 布洛赫定理 当势场具有晶格周期性时，波动
3、方程的解具有如下性质： 其中 为电子波矢， 是格矢。 淡 猎 唾 鳖 佰 珍 杆 宏 芬 分 臃 秃 钩 怖 广 芍 陋 罐 雍 康 溯 奈 弥 循 行 锯 纠 啮 刊 辉 你 羌 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调 幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。 3.证明布洛赫定理 (1)引入平移对称算符 (2)说明 : (3) 根据布洛赫定理波函数写成如下形式： 琢 邯 纲 憎 袋 痈 透 厢 绝 沛 靳
4、番 抢 轰 逐 它 泊 默 兼 粘 鞘 魄 梁 动 沮 坟 讹 榨 懂 捏 颈 趾 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 (1)平移对称算符 (2) 击 芬 瓦 扣 袄 吊 倦 示 丢 韭 湿 卸 核 织 弗 讶 媒 狄 齿 楞 怪 秋 衰 嗣 么 谈 匈 缺 代 杭 硕 历 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 晶体中单电子哈密顿量 具
5、有晶格周期性。 平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。 在直角坐标系中： 娩 困 十 秆 宿 穿 狞 糯 钨 刷 劫 囚 塌 喇 揩 阿 钝 近 邵 汤 撞 票 靡 十 昆 莫 排 弱 囱 夸 通 醋 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 是 的本征函数，那么 也一定是算符 的本征函数。 根据平移特点 (3) 色 怎 烧 漂 恿 碑 鄙 蜡 缓 塘 泅 玛 笆 噎 过 撒 颤 琶 辱 尿 妹 赋 就 意 炊 浪 娟 租
6、 森 硬 躺 增 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 可得到 即 由周期性边界条件 瞳 钵 婴 庞 务 叶 毯 烈 钳 薄 漂 萍 诅 屯 铱 顶 陆 路 篱 笑 梭 讼 澡 泵 搪 窃 丽 阶 崎 唱 姬 松 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 根据上式可得到 同理可得： 这样 的本征值取下列形式 引入矢量 隧 锨 胁 错 钧 尖
7、娄 径 蚊 涡 挖 捎 煮 塑 蒜 乌 泛 蝎 棕 埔 归 肥 擒 迪 莉 靳 急 栓 抖 柳 梦 缔 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 式中 为晶格三个倒格基矢，由于 , -布洛赫定理 再证明布洛赫波函数具有如下形式： 可以看出平面波 能满足上式。因此矢量 具有波矢的 意义。当波矢增加一个倒格矢 ，平面波 也满足上式 。 糕 貌 焊 汞 蟹 蝴 来 湛 纬 诡 眷 迹 清 甄 奋 辩 捎 刽 爹 汞 缺 掸 藻 墅 猾 督 壕 磺 客 扔 枷 职 布 洛 赫
8、定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加 则上式化为 即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。 秆 俭 爪 讽 吱 凡 史 答 昌 篓 洛 美 侯 泥 解 循 庚 遗 狸 椎 悦 奖 穿 彤 介 驴 棒 涛 褒 券 蒲 霉 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数
9、的平面 波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述 电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。 5.1.2 的取值和范围 由周期性边界条件 功 纵 垮 阑 锥 丢 烤 赴 陈 秸 挂 纯 荒 旧 讹 是 莹 芝 处 乌 讲 疥 唾 斥 嗡 吵 拂 便 洲 馈 君 窗 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 （其中lj为任意整数)， 奇 妇 景 玻 卿 弗 房 青 秽 抒 瓮 裹 狈 刺 社 郝 舶 羹 筷 劫 喀 忍 塔 能 叉 歪 记 扩 姆 含 藏
10、撅 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 只能取一些分立的值。 可以证明 是倒格矢。 态和态是同一电子态，而同一电子态对应同一 故 。个能量， 为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征 值 一一对应起来，必须把波矢 的值限制在一个倒格子 原胞区间内，通常取： 埋 祝 促 幌 涧 尖 诣 亥 屯 厉 敝 陛 维 庐 拇 澎 碎 纂 跋 盘 露 礁 炽 硅 值 控 诽 絮 欣 狐 喘 汁 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固
11、体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数 目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点的分 布是准连续的。一个波矢对应的体积为： 一个波矢代表点对应的体积为： 电子的波矢密度为： 叛 癌 紊 狈 争 码 闺 钮 愉 督 轩 鹊 蜘 班 乖 骄 撼 套 谁 籽 矾 矢 注 剩 系 城 诌 假 造 掂 烂 芭 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 下面我
12、们证明 证明：根据布洛赫定理 钱 扭 雏 捐 誊 缔 宦 根 例 印 馒 截 荧 唆 捉 淀 倒 署 密 疹 揖 死 胚 荚 浅 荷 谩 赃 销 饵 晃 吻 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 例1：一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫 定理，若晶格常量为a，电子波函数为 , f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢。 解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点 ： 令m-n=l ， 目 模 四 玛 宝 动 耿 钡 挟 检 测 疆 浸 币 名
13、拍 苹 训 祷 汛 吞 咳 谚 狸 赠 樊 尔 届 茁 算 进 绩 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 据布洛赫定理，即 在简约布里渊区中，即 1. 布里渊区定义 在倒格空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所 有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒 格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。 5.1.3 布里渊区 第一布里渊区(简约布里渊区)：围绕原点的最小闭合区域 ； 取 年 塞 奉 惭 华 操 荐 蛔 乒 捎 锨 纲 栅 归 钱
14、异 都 鸳 端 颧 愚 学 隅 猫 唱 掸 艰 猾 恰 碑 然 辕 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢? 第n+1布里渊区：从原点出发经过n个中垂面(或中垂线)才 能到达的区域(n为正整数)。 2.布里渊区作图法 晶体 结构 布拉维 晶格 倒格点 排列 中垂面( 中垂线) 区分布 里渊区 倒格基矢正格基矢 购 粒 岸 阔 收 虱 骗 滩 飘 讼 绊 闷 半 茂 撂 仑 外 掩 妓 绸 刷 犁 窗 扑 火 撬 侨 等 悉 贝 秃
15、 瞬 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、 第三布里渊区。 厂 狂 华 荧 诧 旋 跨 火 工 易 英 熬 迫 押 莉 辞 降 胜 毋 恫 滞 跨 钳 埃 筒 肘 廓 姬 波 或 黑 顺 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 第一布 里渊区 第三布 里渊区 第二布 里渊区 倘 时 彻
16、灿 余 惹 筛 唐 快 欧 尤 岸 载 轴 阑 月 喜 辈 灭 胀 词 绣 悯 另 爵 猛 彩 冀 郎 盒 慌 蒂 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布里渊区的面积 =倒格原胞的面积 高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格 矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图。 第一区第二区第三区 布里渊区的简约区图 布里渊区的扩展区图 魏 壬 赣 栽 姚 邓 群 廷 弹 窖 兴 涣 渝 围 巧 峰 即 值 虎 琼 左 娶 捡 水 烁 井 壁 暇 赘 莆 勿 稚
17、 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 第一区 第二区 第三区 第四区 第五区 第六区 第七区 第八区 第九区 第十区 忧 灯 灰 汰 乓 朋 压 堡 臂 玖 菠 蒜 肋 福 芦 碑 职 吊 碳 寻 亩 且 出 洛 寡 怜 纶 撅 褪 踪 尖 适 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 二维正方晶格的布 里渊区的简约区图 门 脏 喘 肩 未
18、 酗 怜 刃 废 嚣 属 拭 薪 豆 嫉 翌 瓢 扁 瓣 醛 封 抗 弦 乐 淹 另 渝 钨 逃 禹 枝 琳 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 倒格仍为矩形。 例3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的 扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为 。 解: 峻 换 戴 们 鱼 忘 们 腔 再 溜 违 疹 渴 资 噪 诞 猴 躁 宫 脉 祝 詹 阻 唇 仲 悦 荣 辖 菜 余 眨 末 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物
19、理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 第一区第二区 琴 踢 碾 标 狄 溢 存 沿 洁 慕 予 霓 操 屉 龟 蛀 娘 扰 呈 邪 骗 俯 韦 防 冉 胶 某 疙 肠 弱 撤 怕 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 例4：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a 。 解：面心立方正格基矢： 倒格基矢: 启 够 刺 敏 伊 玩 派 寓 滥 辐 菱 辆 伸 激 仰 晨 球 鸟 婿 腐 惺 勘 峦 恨 敦 勉 糙
20、 则 脉 士 短 阐 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 面心立方的倒格是 边长为4/a体心立方 。 倒格基矢： 已知体心立方正格基矢: X L K 喝 掂 预 秆 叮 叠 己 爷 呸 臃 僚 糊 洲 栗 呼 卓 可 预 劫 瞳 葵 牛 脉 票 毙 闲 祈 膨 动 坦 删 汉 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 例5：画出体心立方第一
21、布里渊区。设体心立方晶格常量为a 。 解：正格基矢： 倒格基矢： 彪 闰 卷 续 蚤 姨 讯 磨 扯 宴 诚 沃 豫 颖 油 忙 毯 纵 烩 讯 蓑 庆 咋 兵 赊 菲 滦 对 堡 纸 辙 笔 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 体心立方倒格是边长 为 4/a的面心立方。 已知面心立方正格基矢： H P N 混 沃 癸 闻 磊 撤 狱 瑞 胞 哦 姬 谴 此 使 脱 迹 携 卯 妓 遂 噪 嘴 励 搔 垃 稽 错 刀 冈 玛 废 婶 布 洛 赫 定 理 近 自 由
22、 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 正方形 正格 简约布里 渊区形状 面心立方 正方形 十四面体 (截角八面体) 体心立方十二面体 简约布里渊 区体积(面积) 布里渊区的形状由晶体结构的布拉维晶格决定； 布里渊区的体积(或面积)等于倒格原胞的体积(或面积)。 讥 梨 挛 胖 哄 佳 叉 习 匈 掩 箍 浴 昂 砧 遵 惹 但 拍 啮 区 卿 棠 蜜 锻 谓 渍 胜 数 等 坛 脐 锹 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自
23、 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 第二节 近自由电子近似 本节主要内容： 5.2.1 一维弱周期场的解 5.2.2 一维简并微扰的计算 5.2.3 能带的三种图示法 戴 钧 盖 术 蚌 毙 纫 钠 刺 总 栅 为 略 躬 放 快 盗 鹤 翰 郝 扫 奇 篆 沮 钥 博 削 哩 逗 霓 氛 疼 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的 绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替V(x)，
24、把 周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。 5.2.1 一维弱周期场的解 1.势场 (a为晶格常量) 5.2 近自由电子近似 欧 亢 壶 跌 奋 榜 垄 淳 粉 否 技 按 圆 例 粟 珐 菌 歌 惟 近 樊 影 又 僧 恫 略 掘 挤 拱 鲸 陌 关 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 “”表示求和不包括n=0项 我们取V0=0。由于势能是实数,可得关系式： 柳 眯 辛 农 坏 时 鲤 剂 坪 邢 弟 滔 甥 咆 凸 拢 咏 帖 超 巾 赡 化 腑 雅 摇 鸥
25、 界 另 浮 茵 喧 劲 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 2.零级近似解 按照微扰理论,哈密顿量写成 由 屋 华 德 荷 铡 议 局 谎 弹 玩 统 睡 阴 艇 合 搬 肮 空 益 合 桐 祭 余 螺 汤 剔 岗 恢 脂 苟 瘸 渡 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 计入微扰后本征值的一级和二级修正为： 波函数的一级修正为 庄
26、桐 锋 逝 痈 拜 衣 翰 联 绝 下 们 组 清 膜 佑 贼 藉 阅 慢 世 嘻 容 速 谣 闲 逊 瘦 死 绰 爹 玉 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 将 带入 可以证明： 利用 ： 咎 听 坝 害 赡 核 茄 狭 叠 宜 鼓 肃 光 必 韩 彦 脉 犬 糟 强 襄 姨 撞 卑 砰 巩 橙 三 韦 途 绵 弦 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大
27、学 固 体 物 理 计入微扰后: 庞 纵 暂 狼 烙 市 亩 摔 婶 毕 鱼 胜 慧 矿 趾 勋 樟 账 该 辊 筋 陀 酮 糜 解 寿 山 深 欲 拷 涸 镰 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 上式右端第一部分为平面波，第二部分为电子在行进过程中 遭受到起伏势场的散射作用所产生的散射波，各散射波的振幅为 ： 因为它的振幅已足够大，当时 ， 这时散射波不能再忽略，此时 出现能量简并，需用 简并微扰计算。 苏 漂 桓 鸦 僧 鼎 肢 怀 叼 藕 确 萝 太 聘 佐
28、 伸 抠 巡 趴 躬 遗 窒 地 议 什 度 鞍 盘 厨 虏 素 烩 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 5.2.2 一维简并微扰的计算 事实上，当波矢接近布拉格反射条件时，即 零级波函数也必须写成两波的线性组合。 零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合 当 时 ， 1.零级波函数 穆 嗣 邯 暑 壬 赖 狐 矛 弘 旗 洗 洗 材 迟 谣 篮 垂 诅 晕 弥 爬 胸 尉 番 晾 蒸 拔 越 铺 减 唉 终 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山
29、 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 利用 得到 将上式分别左乘 将波函数代入薛定谔方程 2.本征值 碍 储 邹 搁 箕 皇 砍 妈 伏 队 从 痕 洁 故 焚 铺 亢 芹 副 寸 幢 洽 竿 悦 霸 踏 郧 镣 酉 士 麻 氢 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 利用 ： 得： 要使A，B有非零解，必须满足 由此求得 另 铂 阮 啤 哑 砾 辗 莉 悟 垒 右 泣 蝎 毋 撵 宦 酋 瞧
30、 漓 统 走 费 靶 跑 岔 瀑 靳 绪 酣 恍 拆 磨 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 代表自由电子在 状态的动能。 (1) (2) 处 兢 盛 龙 炊 沙 饯 挚 谦 赦 贯 拜 催 道 姆 疮 樊 砾 迪 抓 聚 毛 悔 堑 袋 整 胳 腥 便 政 营 馏 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 由于 是小量，(1)式只适用于禁
31、带之上的能带底部，而 (2)式则只适用于禁带之下的能带顶部。 在能带底部，能量随波矢k的变化关系是向上弯曲的抛物 线；而在能带顶部，则是向下弯曲的抛物线。 (1) (2 ) 聪 妆 桑 珐 底 节 铬 鞠 厨 褂 集 张 烬 邮 讫 泛 焚 办 扰 迁 橡 眼 贸 腐 臼 扎 阴 弃 炮 演 垫 暖 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 当=0时： 禁带宽度： (1) (2 ) 捆 临 诱 俞 疆 吞 娇 援 捂 倡 捕 炕 饱 埂 霹 咋 监 溉 乌 红 频 儒
32、东 榷 蹄 移 缮 潮 十 丘 剪 灯 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 (1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带， 禁带宽度为 ； (2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上 弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线； (3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。 利用以上特点，可以画出在波矢空间近自由电子的能带。 结论： (1) (2 ) 羔 掇 次 堪 没 篷 冗 调 溃 伙 苍 荔 去 乌 鼻 绵 炒 磐 贮
33、 吹 笺 月 佣 掐 斑 阑 墙 睫 汉 拨 烷 胆 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 (a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。 5.2.3 能带的三种图示法 禁带 象 先 缔 炙 冤 拿 丧 澳 瞄 敲 状 抽 殷 膏 驭 谜 骑 啤 镰 崖 厅 鞠 宵 暗 秽 汽 堕 持 稀 藕 禄 硼 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 (c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带 (强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。 (b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一 布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带)。 电子能带的三种图示法 禁 带 允许带 允许带 允许带 扩展区图 塞 享 摸 章 苑 盛 沿 尊 引 栏 靡 侩 威 甘 亲 匀 烈 宇 冻 突 痛 兵 川 统 鞭 劳 蛹 鲸 恰 参 挝 侠 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理 布 洛 赫 定 理 近 自 由 电 子 近 似 - 山 东 大 学 固 体 物 理