《河南省2019年中考数学专题复习专题七 类比探究题训练(含答案).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河南省2019年中考数学专题复习专题七 类比探究题训练(含答案).docx（58页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题七类比探究题类型一 线段数量关系问题(2018河南)(1)问题发现如图，在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD40，连接 AC，BD 交于点 M.填空：AC的值为_； BDAMB 的度数为_；(2)类比探究如图，在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30，连接 AC 交 BD 的延长线于 AC点 M.请判断 的值及AMB 的度数，并说明理由；BD(3)拓展延伸在(2)的条件下，将OCD 绕点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点 M，若 OD1，OB 7，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长【分析】 (1)证明COADOB(SAS)，得
2、 ACBD，比值为 1；由COADOB，得CAODBO，根据三角形的内角和定理，得AMB180(DBOOAB ABD)18014040；AC OC(2)根据两边的比相等且夹角相等可得AOCBOD，则 3，由全等三角形的性质得AMB 的BD OD度数；(3)正确画出图形，当点 C 与点 M 重合时，有两种情况：如解图和，同理可 AOCBOD，则ACAMB90， 3，可得 AC 的长BD【自主解答】解：(1)问题发现1【解法提示】AOBCOD40，COADOB.OCOD，OAOB，COADOB(SAS)，ACBD，AC1.BD40【解法提示 COADOB，CAODBO.AOB40，OABABO14
3、0，在 AMB 中， AMB 180 ( CAO OAB ABD) 180 ( DBO OAB ABD) 180 14040.(2)类比探究AABB 3，AMB90，理由如下：在 OCD 中，DCO30，DOC90，OD 3 tan 30 ，OC 3OB 3 同理，得 tan 30 ，OA 3AOBCOD90，AOCBOD，AOCBOD，AC OC 3，CAODBO. BD ODAMB180CAOOABMBA180(DABMBAOBD)1809090. (3)拓展延伸点 C 与点 M 重合时，如解图，同理得AOCBOD，ACAMB90， 3，BD设 BDx，则 AC 3x，在 COD 中，OC
4、D30，OD1，CD2，BCx2.在 AOB 中，OAB30，OB 7.AB2OB2 7，在 AMB 中，由勾股定理，得 AC2BC2AB2，即( 3 x)2(x2)2(2 7)2，解得 x 3，x 2(舍去)，1 2AC3 3；AC点 C 与点 M 重合时，如解图，同理得：AMB90， 3，BD设 BDx，则 AC 3x，在 AMB 中，由勾股定理，得 AC2BC2AB2，即( 3x)2(x2)2(2 7) 2解得 x 3，解得 x 2(舍去)1 2AC2 3.综上所述，AC 的长为 3 3或 2 3.图图例 1 题解图1(2016河南)(1)发现如图，点 A 为线段 BC 外一动点，且 B
5、Ca，ABb.填空：当点 A 位于_时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为_(用含 a，b 的式子表示)(2)应用点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC3，AB1，如图所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和 等边三角形 ACE，连接 CD，BE.1 请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由；2 直接写出线段 BE 长的最大值(3)拓展如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)，点 P 为线段 AB 外一动点， 且 PA2，PMPB，BPM90，请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标2(2015河南)如图，在 ABC
6、中，B90，BC2AB8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点， 连接 DE.将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为.(1)问题发现AE 5当0时， _ _；BD 2AE 5当180时， _ _；BD 2(2)拓展探究AE试判断：当 0360时， 的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明BD(3)解决问题当EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长3(2014河南)(1)问题发现如图，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE.填空：1 AEB 的度数为_；2 线段 AD，BE 之间的数量关系为_(2)拓展探究如图，ACB 和D
7、CE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点 A，D，E 在同一直线上，CM为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB 的度数及线段 CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理 由(3)解决问题如图，在正方形 ABCD 中，CD 2，若点 P 满足 PD1，且BPD90，请直接写出点 A 到 BP 的距 离4(2018南阳二模)在ABC 中，ACB 是锐角，点 D 在射线 BC 上运动，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90，得到 AE，连接 EC.(1)操作发现若 ABAC，BAC90，当 D 在线段 BC 上时(不与点 B 重合)，如图所示，请你直接写出线段 C
8、E 和 BD 的位置关系和数量关系是_，_ ；(2)猜想论证在(1)的条件下，当 D 在线段 BC 的延长线上时，如图所示，请你判断(1)中结论是否成立，并证明你 的判断(3)拓展延伸如图，若 ABAC，BAC90，点 D 在线段 BC 上运动，试探究：当锐角ACB 等于_度时，线段 CE 和 BD 之间的位置关系仍成立(点 C，E 重合除外)？此时若作 DFAD 交线段 CE 于点 F，且当 AC 3 2时，请直接写出线段 CF 的长的最大值是_5已知，如图，ABC，AED 是两个全等的等腰直角三角形(其顶点 B，E 重合)，BACAED 90，O 为 BC 的中点，F 为 AD 的中点，连
9、接 OF.(1)问题发现OF如图， _；ECOF将AED 绕点 A 逆时针旋转 45，如图， _；EC(2)类比延伸OF将图中AED 绕点 A 逆时针旋转到如图所示的位置，请计算出 的值，并说明理由EC(3)拓展探究将图中AED 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为，090，AD 2，AED 在旋转过程中，存 在ACD 为直角三角形，请直接写出线段 CD 的长类型二 图形面积关系问题(2017河南)如图，在 ABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连 接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点(1)观察猜想图中，线段 PM 与 PN 的数量关系是
10、_，位置关系是_；(2)探究证明把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸把ADE 绕 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出PMN 面积的最大值图图例 2 题图1 1【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出 PM CE，PN BD，进而判断出 BDCE，即可得出结论，2 2再利用三角形的中位线定理得出 PMCE，继而得出DPMDCA，最后用互余即可得出结论；1 1(2)先判断出ABDACE，得出 BDCE，同(1)的方法得出 PM BD，PN BD，即可得出 PMPN，同2 2(1)的方法即可得出结
11、论；(3)先判断出 MN 最大时，PMN 的面积最大，进而求出 AN，AM，即可得出 MN 最大AMAN，最后用面 积公式即可得出结论【自主解答】解：(1)点 P，N 是 BC，CD 的中点，1PNBD，PN BD.2点 P，M 是 CD，DE 的中点，1PMCE，PM CE.2ABAC，ADAE，BDCE，PMPN.PNBD，DPNADC，PMCE，DPMDCA.BAC90，ADCACD90，MPNDPMDPNDCAADC90，PMPN，(2)由旋转知，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE(SAS)，ABDACE，BDCE.1同(1)的方法，利用三角形的中位线定理，得 PN BD，
12、21PM CE，2PMPN，PMN 是等腰三角形，同(1)的方法得，PMCE，DPMDCE，同(1)的方法得，PNBD，PNCDBC.DPNDCBPNCDCBDBC，MPNDPMDPNDCEDCBDBCBCEDBCACBACEDBCACB ABDDBCACBABC.BAC90，ACBABC90，MPN90，PMN 是等腰直角三角形，例 2 题解图(3)如解图，同(2)的方法得 PMN 是等腰直角三角形， 当 MN 最大时，PMN 的面积最大，DEBC 且 DE 在顶点 A 上面，MN 最大AMAN，连接 AM，AN，在ADE 中，ADAE4，DAE90，AM2 2，在 ABC 中，ABAC10
13、，AN5 2，PMN 最大MN 2 25 27 2，最大1 1 1 1 49 PM2 MN2 (7 2)2 .2 2 2 4 21(2013河南)如图，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C90，B E30.(1)操作发现如图，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：1 线段 DE 与 AC 的位置关系是_ ；2 设BDC 的面积为 S ，AEC 的面积为 S ，则 S 与 S 的数量关系是_1 2 1 2(2)猜想论证当DEC 绕点 C 旋转到如图所示的位置时，小明猜想(1)中 S 与 S 的数量关系仍然成立，并尝试分别1 2作
14、出了BDC 和AEC 中 BC，CE 边上的高，请你证明小明的猜想(3)拓展探究已知ABC60，点 D 是角平分线上一点，BDCD4，DEAB 交 BC 于点 E(如图)若在射线 BA 上存在点 F，使 ，请直接写出相应的 BF 的长DCF BDE22已知 ABC 中，BCAC，C90，D 为 AB 边的中点，EDF90，将EDF 绕点 D 旋转，它的两边分别交 AC，CB(或它们的延长线)于 E，F.当EDF 绕点 D 旋转到 DEAC 于 E 时，如图所示，1试证明 .DEF CEF ABC(1) 当EDF 绕点 D 旋转到 DE 和 AC 不垂直时，如图所示，上述结论是否成立？若成立，请
15、说明理由； 若不成立，试说明理由(2) 直接写出图中， ， 与 之间的数量关系DEF CEF ABC3(2018郑州模拟)如图所示，将两个正方形 ABCD 和正方形 CGFE 如图所示放置，连接 DE，BG.(1)图中DCEBCG_；设DCE 的面积为 S ，BCG 的面积为 S ，则 S 与 S 的数量关1 2 1 2系为_；猜想论证：(2)如图所示，将矩形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转后得到矩形 FECG，连接 DE，BG， DCE 的面 积为 S ，BCG 的面积为 S ，猜想 S 和 S 的数量关系，并加以证明；1 2 1 2(3)如图所示，在ABC 中，ABAC10 cm，B
16、30， ABC 沿 AC 翻折得 AEC，过点 A 作AD 平行 CE 交 BC 于点 D，在线段 CE 上存在点 P，使ABP 的面积等 ACD 的面积，请写出 CP 的长4(2018驻马店一模)如图 ABC 与CDE 都是等腰直角三角形，直角边 AC，CD 在同一条直线上， 点 M，N 分别是斜边 AB，DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE，BD，PM，PN，MN.(1)观察猜想图中，PM 与 PN 的数量关系是_，位置关系是_ ；(2)探究证明将图中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转(090)，得到图，AE 与 MP，BD 分别交于点 G，H， 判断PMN 的形状，并说明理由
17、；(3)拓展延伸把CDE 绕点 C 任意旋转，若 AC4，CD2，请直接写出PMN 面积的最大值参考答案类型一针对训练1解：(1)点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa，ABb，当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 BCABab. (2)CDBE，理由：ABD 与ACE 是等边三角形，ADAB，ACAE，BADCAE60，BADBACCAEBAC，即CADEAB.ADAB在CAD 和EAB 中，CADEAB，ACAECADEAB，CDBE.线段 BE 长的最大值等于线段 CD 的最大值，由(1)知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延
18、长线上，线段 BE 长的最大值为 BDBCABBC4；(3)将APM 绕着点 P 顺时针旋转 90得到PBN，连接 AN，如解图，则APN 是等腰直角三角形，PNPA2，BNAM.点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)， OA2，OB5，AB3，线段 AM 长的最大值等于线段 BN 长的最大值，当点 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值， 最大值为 ABAN.AN 2AP2 2，线段 AM 的长最大值为 2 23.如解图，过点 P 作 PEx 轴于点 E.APN 是等腰直角三角形，PEAE 2，OEBOABAE53 22 2，P(2 2， 2)图图第 1 题解图
19、2解：(1)当0时，在 ABC 中，B90，AC AB2BC2 （82）2824 5.点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，AE4 522 5，BD824，AE 2 5 5 .BD 4 2如解图，当180时，得可得 ABDE，AC BC ，AE BDAAAA 4 5 5 .BBBB 8 2AE(2)当 0360时， 的大小没有变化BDECDACB，ECADCB.EC AC 5又 ，DC BC 2ECADCB，AE EC 5 .BD DC 2图图图第 2 题解图(3)如解图，AC4 5，CD4，CDAD，AD AC2CD2 （4 5）242 80168.ADBC，ABDC，B90，四边形 A
20、BCD 是矩形，BDAC4 5.如解图，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P，5AC4 5，CD4，CDAD，AD AC2CD2 （4 5）242 80168， 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，1 1 1DE AB (82) 42，2 2 2AEADDE826，AE 5由(2)，可得 ，BD 26 12 5BD .52综上所述，BD 的长为 4 5或12 55.3解：(1)ACB 和DCE 均为等边三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60， ACDBCE.在ACD 和BCE 中，ACBCACDBCE，CDCEACD
21、BCE(SAS)，ADCBEC.DCE 为等边三角形，CDECED60.点 A，D，E 在同一直线上，ADC120， BEC120，AEBBECCED60.ACDBCE，ADBE.(2)AEB90，AEBE2CM.理由如下：ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90.ACDBCE.在ACD 和BCE 中，CACBACDBCE，CDCEACDBCE(SAS)，ADBE，ADCBEC.DCE 为等腰直角三角形，CDECED45. 点 A，D，E 在同一直线上，ADC135，BEC135，AEBBECCED90.CDCE，CMDE，DMME.DCE90，DMMECM，
22、AEADDEBE2CM.(3)PD1，点 P 在以点 D 为圆心，1 为半径的圆上BPD90，点 P 在以 BD 为直径的圆上， 点 P 是这两圆的交点当点 P 在如解图所示位置时，连接 PD，PB，PA，作 AHBP，垂足为 H，过点 A 作 AEAP，交 BP 于点 E.四边形 ABCD 是正方形，ADB45，ABADDCBC 2，BAD90， BD2.DP1，BP 3.BPDBAD90，点 A、P、D、B 在以 BD 为直径的圆上，APBADB45.PAE 是等腰直角三角形又BAD 是等腰直角三角形，点 B，E，P 共线，AHBP， 由(2)中的结论可得：BP2AHPD， 32AH1，A
23、H31；2当点 P 在如解图所示位置时，连接 PD、PB、PA、作 AHBP，垂足为 H，过点 A 作 AEAP，交 PB 的延长线于点 E， 同理可得：BP2AHPD， 32AH1，AH31.2综上所述，点 A 到 BP 的距离为31 31 或 .2 2图图第 3 题解图4解：(1)ABAC，BAC90，线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，ADAE，BADCAE，BADCAE，CEBD，ACEB，BCEBCAACE90，线段 CE，BD 之间的位置关系和数量关系为 CEBD，CEBD；(2)(1)中的结论仍然成立证明如下：如解图，线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE
24、，AEAD，DAE90.ABAC，BAC90，CAEBAD，ACEABD，CEBD，ACEB，BCE90，线段 CE，BD 之间的位置关系和数量关系为 CEBD，CEBD； 3(3)45； .4过 A 作 AMBC 于 M，过点 E 作 ENMA 交 MA 的延长线于 N，如解图. 线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，DAE90，ADAE，NAEADM，易证得 AMD ENA，NEAM.CEBD，即 CEMC，MCE90，四边形 MCEN 为矩形，NEMC，AMMC，ACB45.四边形 MCEN 为矩形， AMD DCF，MD AM ，设 DCx， CF DC在 AMC 中，AC
25、B45，AC3 2，3x 3AMCM3，MD3x， ，CF x1 1 3 3CF x2x (x )2 ， 3 3 2 43 3 当 x 时，CF 有最大值，最大值为 .2 43故答案为 45， ；4图图第 4 题解图5解：(1)ABC，AED 是两个全等的等腰直角三角形， ADBC.O 为 BC 的中点，F 为 AD 的中点，AFOC.BACAED90，ABAC，AEDE，DAECBA45，ADBC，四边形 AFOC 是平行四边形，OFAC2 OF 2 EC， ；2 EC 2故答案：AO2222；AC，BAOCAO45，DAE45，DAECAO.AEAC，AFAO，AF AO ，AE ACAF
26、OAEC，OF AO 2 ；EC AC 2故答案：22.(2)OF22EC.理由：在等腰直角ADE 中，F 为 AD 的中点， 1 2AF AD AE.2 2在等腰直角ABC 中，O 为 BC 的中点， 如解图，连接 AO，AO22AC，BAOCAO45.DAE45，DAECAO，即DAOCAE. AEAC，AFAO，AF AO ，AE ACAFOAEC，OF AO 2 ；EC AC 2(3)ABC 和AED 是两个全等的等腰直角三角形， ADBC 2，EDAEABAC1，当ACD 为直角三角形时，分两种情况：图图图第 5 题解图当 AD 与 AB 重合时，如解图，连接 CD.当ACD 为直角
27、三角形时，ADAC，即将ADE 绕点 A 逆时针旋转 45. AD 2，AC1，由勾股定理可得 CD （ 2）212 3；当 AE 与 AC 重合时，如解图，当ACD 为直角三角形时，ACCD，即将ADE 绕点 A 逆时针旋转 90，此时 CDAC1. 综上所述，CD 的长为 3或 1.类型二针对训练1解：(1)DEC 绕点 C 旋转到点 D 恰好落在 AB 边上， ACCD.BAC90B903060.ACD 是等边三角形，ACD60，又CDEBAC60，ACDCDE，DEAC；1 BDE2B30，C90，1CDAC AB，2BDADAC，根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC，AD 上的高
28、相等，BDC 的面积和AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即 S S ；1 2(2)DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到，BCCE，ACCD，DCEACB90，ACNACE180，ACNDCM.ACNDCM，在ACN 和DCM 中，NCMD90，ACCDACNDCM(AAS)，ANDM，BDC 的面积和AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即 S S ；1 2第 1 题解图(3)如解图，过点 D 作 DF BE 交 BA 于点 F ，易求得四边形 BEDF 是菱形，BEDF ，且 BE，DF 边上1 1 1 1 1的高相等，此时 DCF ；过点 D 作 DF BD.
29、2ABC60，F DBE 交 BA 于点 F ，1 2F F DABC60.2 11BF DF ，F BD ABC30，F DB90，1 1 1 2F DF ABC601 2DF F 是等边三角形，1 212 1 1 2ABC正方形 CEDFDEF CEF ABCDF DF .1 2BDCD，ABC60，点 D 是角平分线上一点，1DBCDCB 6030，2CDF 180BCD18030150， 1CDF 36015060150，2CDF CDF .1 2在CDF 和CDF 中，1 2DFDF1 2CDF CDF1CDCD，2CDF CDF (SAS)，点 F 也是所求的点1 2 2ABC60
30、，点 D 是角平分线上一点，DEAB，1DBCBDEABD 6030.2又BD4，1 3 4 3BE 4cos 302 ，2 2 34 3 4 3 4 3 8 3BF ，BF BF F F .3 3 3 34 3 8 3故 BF 的长为 或 .3 32解：当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 时，四边形 CEDF 是正方形；设ABC 的边长 ACBCa，则正方1形 CEDF 的边长为 a，21 1 1 1 a2，S ( a)2 a2，即 ；2 2 4 2(1)上述结论成立；理由如下：连接 CD，如解图所示ACBC，ACB90，D 为 AB 中点，222221 1B45，DCE ACB45，CD
31、AB，CD ABBD，2 2DCEB，CDB90EDF90，12，在CDE 和BDF 中，12 CDBD，DCEBCDEBDF(ASA)，1 ； DEF CEF ADE BDF ABC图图第 2 题解图1(2) ；理由如下：DEF CEF ABC连接 CD，如解图所示，同(1)得：DECDFB，DCEDBF135， S ，DEF 五边形 DBFEC ，CFE DBC1 ，CFE ABC1 .DEF CFE ABC1 、 、 的关系是 .DEF CEF ABC DEF CEF ABC3解：(1)如解图中，四边形 ABCD、EFGC 都是正方形，12BCDECG90.BCGBCDDCEECG360
32、， BCGECD180.图图图第 3 题解图如解图，过点 E 作 EMDC 于点 M，过点 G 作 GNBN 交 BN 的延长线于点 N， EMCN90.四边形 ABCD 和四边形 ECGF 均为正方形，BCDDCNECG90，CBCD，CECG，1902，3902，13.在CME 和CNG 中，EMCGNC13 ，ECCGCMECNG(ASA)，EMGN.1 1又S CDEM，S CBGN，2 2S S ；1 2故答案为 180，S S ；1 2(2)猜想：S S ，1 212证明：如解图，过点 E 作 EMDC 于点 M，过点 B 作 BNGC 交 GC 的延长线于点 N， EMCN90.
33、矩形 CGFE 由矩形 ABCD 旋转得到的，CECB，CGCD，ECGECNBCD90，1902，3902，13.在CME 和CNB 中，EMCBNC13 ，ECCBCMECNB(AAS)EMBN.1 1又S CDEM，S CGBN，2 2S S1 2;(3)如解图，作 DMAC 于 M，延长 BA，交 EC 于 N，ABAC10 cm，B30，ACBABC30，BAC120，根据翻折的性质，得ACEACB30，ADCE，DACACE30，1BAD90，DM AD，2BNEC.ADtanABDAB，AB10 cm，10ADtan 3010 3 (cm)，3ABPADCABP ADC1 10 5