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1、两点间的距离（一）教学目标1 知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2 过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。； 3情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。（二）教学重点、难点重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。 （三）教学方法启发引导式教学环节教学内容复习数轴上两点的距离公式.师生互动设问一：设计意图同学们能否用以前所学知设置情境导入复习引入识解决以下问题：新课过 P 、P 分别向 x 轴和 y 轴作垂 1 2已知两点 P (x ，y )，P (x ，1 1 1 2 2y )求|P
2、P |2 1 2在教学过程中，可以提出线，垂足分别为 N (0，y)，M (x ， 问题让学生自己思考，教1 2 2通过提问思考0)直线 P N 与 P M 相交于点 Q.1 1 2 2师提示，根据勾股定理，教师引导，使概念形成在直角ABC 中，|P P |1 22= |P Q| 12不难得到.学生体会两点+ |QP |22，为了计算其长度，过点间距离公式形P 向 x 轴作垂线，垂足为 M (x ，1 1 1 0)过点 P 向 y 轴作垂线，垂足为2成的过程.N (0，y )，于是有|P Q|2 2 12= |M M |2 12= |x x |2 12，|QP |22= |N N |1 22=
3、 |y y |2 12.由此得到两点间的距离公式| PP |= ( x -x ) 1 2 2 12+( y -y ) 2 12例 1 已知点 A (1，2)，B (2, 7)教师讲解思路，学生上台通过例题讲在 x 轴上求一点，使|PA| = |PB|， 板书.解，使学生掌并求|PA|的值.教师提问：还有其它的解握两点间的距解：设所求点 P (x，0)，于是有 法，由学生思考，再讨论提出离公式及其应 用.( x +1)2 +(0 -2) 2 = ( x -2) 2 +(0 - 7)2解法二：由已知得，线段x2+ 2x + 5 = x2 4x + 11AB 的中点为1 2 +M ( ,2 27)，
4、解得 x = 1直线 AB 的斜率为应用举例所求点 P (1，0)且k =7 -2 2 + 7 3 1= (x - ) | PA |3 2 2 - 7 2| PA |= (1+1)2 +(0 -2) 2 =2 2同步练习，书本 112 页第 1、2= (1+2) 2 +(0 -2) 2 =2 27 -23题.线段 AB 的垂直平分线的方 程是y -2 + 7 3 1 = (x - )2 2 - 7 2在上述式子中，令 y = 0， 解得 x = 1.所以所求点 P 的坐标为(1， 0).因此| PA |= (1 +2)2+(0 -2)2=2 2例 2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线
5、的平方 和.此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问 题的基本步骤：让学生深刻体会数形之间的关系和转化，分析：首先要建立直角坐标系，第一步：建立直角坐标系， 并从中归纳出用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻 译”成几何关系.证明：如图所示，以顶点 A 为坐用坐标表示有关的量.第二步：进行有关代数运 算.第三步：把代数结果“翻应用代数问题解决几何问题的基本步骤.标原点，AB 边所在的直线为 x 轴， 译”成几何关系.建立直角坐标系，有 A(0，0).思考：同学们是否还有其设 B (a，0)，D (b，c)，由平行 它的解决办法？四边形的性质的点 C 的坐标为(a 还可用综
6、合几何的方法证+ b，c)，因为|AB|2= a2，|CD|2明这道题.= a2，|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2|AC|2 = (a + b)2 + c2，|BD|2= (b a)2+ c2所以，|AB|2+ |CD|2+ |AD|2+|BC|2=2 (a2+ b2+ c2)|AC|2 |BD|2= 2(a2+ b2+ c2)所以，解 得 |AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 =|AC|2+ |BD|2因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.主要讲述了两点间距离公式的推让学生更进一导，以及应用，要懂得用代数的归纳总结师生共同总结步体会知识形方
7、法解决几何问题，建立直角坐成过程标系的重要性.布置作业课后作业由学生独立完成巩固深化见习案 3.3 的第二课时.备选例题例 1 已知点 A(3，6)，在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 10，求点 P 的坐标 【解析】设点 P 的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：( x -3) 2 +(0 -6) 2 =10解得：x = 11 或 x = 5.所以点 P 的坐标为(5，0)或(11，0).例 2 在直线 l：3x y 1 = 0 上求一点 P，使得：（1）P 到 A(4，1)和 B(0，4)的距离之差最大； （2）P 到 A(4，1)和 C(3，4)的距离之和最小.【解析】
8、（1）如图，B 关于 l 的对称点 B(3，3). AB：2x + y 9 = 0由2x +y -9 =0 x =2 3x -y -1 =0 y =5P(2，5).（2）C 关于 l 对称点3 24 C ( , )5 5a -0 a =-3由图象可知：|PA| + |PC|AC|当 P 是 AC与 l 的交点 11 26.P ( , )7 711 26P ( ,7 7)时“=”成立，例 3 如图，一束光线经过 P (2，1)射到直线 l：x + y + 1 = 0，反射后穿过点 Q (0， 2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从 P 到 Q 的长度.【解析】（1）设点 Q(
9、a，b)是 Q 关于直线 l 的对称点因为 QQl，k1= 1，所以kQQ =1,b -2a -0=1又因为 QQ 的中点在直线 l 上，所以a +0 b +2+ +1 =0 2 2b -2=1所以 得 ，所以a b +2 b =-1+ +1 =02 2Q(3，1)因为 Q在入射光线所在直线 l 上，设其斜率为 k，1所以k =1 -( -1) 2 =2 -( -3) 5l ：1y -1 =25( x -2)即 2x 5y + 1 = 0（2）设 PQ与 l 的交点 M，由（1）知|QM| = |QM|所以|PM| + |MQ| = |PM| + |MQ| = |PQ| = 所以沿这光线从 P 到 Q 的长度为 29 .入射光所在直线方程为 2x 5y + 1 = 0.29