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1、1111111O专题 3搞定空间几何体的外接球与内切球一、基本方法：（1）定心：确定球心，构造直角三角形利用正余弦定理及勾股定理求解（R2 =r 2 +d 2）；该方法是解决外接球问题的主要的通法，但对空间想象能力、作图能力要求较高；所以熟悉 以下的几种模型才能准确快速的解决外接球问题。（2）补形：补成长方体，利用长方体对角线求解（4 R2 =a 2 +b 2 +c 2）；有些几何体比较难确定球心，而几何体刚好是长方体的一部分，其外接球与长方体的外接球是同一个球，故 可利用长方体模型求解。另外有些不规则的几何体还可以选择建系，设球心，利用球心到各顶点的距离相等求出球心坐标求解。但该方法计算量大
2、，高考一般不会考查。高考中以模型一、二、三、四为主。P类型一：锥体模型（P的射影是DABC的外心即侧棱长相等）第一步：确定球心 O 的位置，取 DABC 的外心 O ，则 P , O , O1 1三点共线；O第二步：先算出小圆 O 的半径 AO =r1 1，再算出棱锥的高PO =h1；CA O1D第三步：勾股定理：OA 2 =O A 2 +O O 2 R 2 =( h -R ) 2 +r 21 1类型二：柱体模型（直棱柱、圆柱），解出R图5-4B第一步：确定球心 O 的位置，O 是 DABC 的外心，则 OO 平面 ABC ；1 11 1第二步：算出小圆 O 的半径 AO =r ， OO =
3、AA = h ；2 2h2OA 2 =O A 2 +O O 2 R 2 =( ) 2 +r第三步：勾股定理：2h2R R = r 2 +( )，解出2A1O2OA O1图3-1B1BC1CFE类型三：线面垂直模型（一条直线垂直于一个平面，柱体也可以归于该模型） 第一步：将 DABC 画在小圆面上， D 为小圆上任意的一点，；第二步：O1为DABC的外心，所以OO 1平面ABC，算出小圆O1的半POO D =r径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 1a b c 1= = =2 r ）， d =OO = PA；sin A sin B sin C 2R2 =r 2 +d 2第三步：利用勾股定
4、理求三棱锥的外接球半径：.AB图51CD图1-1类型四：长方体模型1.三条棱两两垂直，可补形为长方体PPPcccBAabCAa BbCAaBbC图1-2方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式( 2 R )2=a2+b2+c2图1-3，求出 R2.三棱锥（即四面体）中，三组对棱分别相等，亦可补形为长方体 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a, b, c，AD =BC =x，AxDAB =CD =y，AC =BD =z，yzxzycCBab第三步：由2 R =a2 +b 2 +c 2=x2+y 22+z2，求出 R .图2-1类型五：二面角模型（两
5、个三角形拼在一起，一般为两等腰三角形或直角三角形） 1.当两等腰三角形由公共底边折叠时，第一步：先画出如图所示的图形，将 DBCD 画在小圆上，找出 DBCD 和ADABD的外心H1和H2；O第二步：过 H 和 H 分别作其所在平面的垂线，两垂线的交点即为1 2AH2EDH1C球心O，连接OE , OC；B图6第三步：解DOEH1，算出OH1，再由勾股定理：OH2 +CH 2 =OC 2 1 1，求出球的半径R。2. 当两直角三角形由公共斜边折叠时，其公共斜边就是外接球的直径。 类型六：内切球问题1正棱锥的内切球.P第一步：先现出内切球的截面图，E , H分别是两个三角形的外心；第二步：由DPOE相似于DPDH，建立等式：OE PO=DH PD，解出rAEOC2任意多面体的内切球：等体积法，DH第一步：先求出多面体的表面积和体积；第二步：解出r =3VS表B图8-1