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1、高考总复习：复数编稿：孙永钊 审稿：张林娟【考纲要求】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.【知识网络】 【考点梳理】考点一、复数的有关概念1.虚数单位:（1）它的平方等于，即；（2）与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（4）的周期性：，（）.2. 概念形如（）的数叫复数，叫复数的
2、实部，叫复数的虚部。说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系：4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数（），当且仅当时，复数是实数；当且仅当时，复数叫做虚数；当且仅当且时，复数叫做纯虚数；当且仅当时，复数就是实数0.所以复数的分类如下:（）5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果，那么.特别地: .应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
3、一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。6.共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：复数和（）互为共轭复数。考点二：复数的代数表示法及其四则运算1.复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。2.四则运算；复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。考点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点
4、都表示实数。 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。2.复数的几何表示（1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.向量的长度叫做复数的模，记作.即.要点诠释:（1）向量与点以及复数有一一对应；（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但
5、它们的模可以比较大小。3.复数加法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量。4.复数减法的几何意义：两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。要点诠释:1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。【典型例题】类型一：复数的有关概念【例1】为何实数时，复数分别是(1) 实数； (2) 纯虚数； (3)零.【
6、思路点拨】利用复数的有关概念易求得。【答案】： (1)当即或时，复数是实数； (2) 当即当时，复数是纯虚数； (3)当即时，复数是零。【总结升华】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：()；是纯虚数（）； 举一反三：【变式1】设,（）,且是纯虚数，求、应满足的条件。【答案】设()，则即即,消去参数即得：.【例2】设复数满足（i是虚数单位），则的实部是_【思路点拨】利用待定系数法，结合复数运算可求。【答案】1.【解析】设，则，所以，复数的实部是1.【总结升华】本题考查的是复数的运算，解题
7、的关键是设出复数的代数形式，然后运算求得复数，找出实部.举一反三：【变式】已知复数满足且,则复数（ ）A.必为纯虚数 B.是虚数但不一定是纯虚数C.必为实数 D.可能是实数也可能是虚数【答案】法1 设（），有,.则，故应选C。法2 ,.法3 ， .类型二：复数相等【例3】复数z1(10-a2)i，z2若是实数，求实数a的值.【思路点拨】是实数，将化简成a+bi形式可得。【解析】是实数，a22a-150，解得a-5或a3.又(a5)(a-1)0，a-5且a1，故a3.【总结升华】两个复数相等，a+bi=c+di.举一反三：【变式】若(xi)iy2i，x、yR，则复数xyi()A2i B2iC12
8、i D12i【答案】B【解析】由题意得，xi1y2i，故x2，y1，即xyi2i.【例4】已知集合M=（a+3）+（b2-1）i,8,集合N=3，（a2-1）+(b+2)同时满足MNM，MN，求整数a,b【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。【解答】或或由得a=-3,b=2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。a=-3，b=2由得a=3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，a=3,b=-2;由得,此方程组无整数解。综合得a=-3，b=2或a=3,b=-2。【总结升华】利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数
9、化为标准的代数形式。举一反三：【变式】已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.【解析】设z2=a+2i(aR)，由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i.【例5】实数m分别取什么数值时？复数z(m25m6)(m22m15)i(1)与复数212i相等；(2)与复数1216i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方【思路点拨】利用复数相等定义。【解析】(1)根据复数相等的充要条件得解之
10、得m1.(2)根据共轭复数的定义得解之得m1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m22m150，解之得m3或m5.【总结升华】利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,bR)。举一反三：【变式】若a、bR，i为纯虚数单位，且(ai)ibi，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1【答案】C【解析】由(ai)ibi，得1aibi，根据两复数相等的充要条件得a1，b1.类型三：复数的代数形式的四则运算【例6】计算：计算【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。【解析】【总
11、结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算。举一反三：【变式】【答案】：原式= 【例7】【解析】原式= 【总结升华】复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.举一反三：【变式高清视频复数例题3】已知复数z1，满足(z12)(1i)1i，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.【思路点拨】利用复数的乘除运算求z1，再设z2a2i(aR)，利用z1z2是实数，求a.【解析】由(z12)(1i)1i，得z12i，即z12i.设z2a2i(aR)，z1z2(2i)(
12、a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R. a4. z242i.【例8】已知z1，z2为复数，(3i)z1为实数，且|z2|求z2.【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.z1z2(2i)，(3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)R，|z2|z2(55i)|50，z2(55i)50，【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)2=2i；i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(nN).2、复数的四则运算类似于多项式的四则运
13、算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。举一反三：【变式1】复数z的共轭复数是（ ） （A）2+i （B）2i （C）1+i （D）1i【解析】选D ，故的共轭复数为.【变式2】若复数满足（为虚数单位），则为（A） （B） （C） （D）【解析】选.A 因为，所以.类型三：复数的几何意义【例9】已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.【思路点拨】 在复平面内以点表示复数（），所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。【解析】 ，解得.的取值范围为.【总
14、结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。举一反三：【变式1】已知是复数，和均为实数，且复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围。【答案】：设()，由题意得，由题意得，根据已知条件有，解得，实数的取值范围是.【变式2】集合，为虚数单位，R，则为 （ ）（A）（0，1） （B）， （C）， （D），【解析】选C.，所以；因为，所以，即，又因为，R，所以，即；所以，故选C.类型四：化复数问题为实数问题【例10】设，求满足且的复数.【思路点拨】设（）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得、的两个方程。【解析】设（），则即，或（1）当时，
15、或当不合题意舍去，时（2）当时，又，由，解得，综上，或【总结升华】复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。举一反三：【变式1】设复数满足则（ ）。 A、0 B、1 C、 D、2【答案】：设（），则即 ，解得,， ，故选C。【变式2】已知复数，求实数使【答案】：, , ，解得或【变式3】令,求使方程成立的复数.【答案】：令()，则原方程化为:即， ，解之有或(舍去）当时，复数.【例11】求使关于的方程至少有一个实根的实数.【思路点拨】 根的判别式
16、只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。【解析】设为方程的一个实根，则有即，解得.【总结升华】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。 举一反三：【变式】已知方程有实根，求实数.【答案】：设实根为, 则,即 ，解得 为所求.【变式2】已知，方程的两根为、，求.【答案】：， 方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。 (1)当，即时，方程的根、为实数根， 由韦达定理 又 当时，, 当时，. (2)当,即时，方程的根、为虚根。 【例12】已知，对于任意均有成立，试求实数的取值范围。【思路点拨】求出及，利用问题转化为时不等式恒成立问题。【解析】，对恒成立。当，即时，不等式成立；当时，解得综上，实数的取值范围：.【总结升华】本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围。举一反三：【变式1】已知, (), 且，求的取值范围.【答案】：,., 解之得.【变式2】已知：。求实数.【答案】： 即 或.【变式3】设是虚数，是实数，且.（1）求的值及的实部的取值范围；（2）设，求证：为纯虚数；（3）求的最小值。【答案】：（1）解：设（，)，则是实数， ，即， 即的实部的取值范围是：.（2）证明：， 为纯虚数.（3）解：， （当且仅当即时，上式取等号）的最小值1.15 / 15精品DOC