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1、3.2.3利用向量解决平行与垂直问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行.【教学目标】：（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。（3）情感态度与价值观：体会
2、把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【教学重点】：向量法与坐标法.【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.2 平行与垂直关系的向量表示。为学习新知识做准备.二、探究新知一、用向量处理平行问题ADCBEFNM 分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量用向量线性表示出来。评注：向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。 （图略） 分析：面面平行线面平行线线平行。评
3、注：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。思考：一般应如何建立空间直角坐标系？二、用向量处理垂直问题 （图略）分析：线面垂直线线垂直。评注：本题若用一般法证明，容易证AF垂直于BD，而证AF垂直于DE，或证AF垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。例4， 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）ABCDO已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，A为垂足，求证：证明：例1是一道线面平
4、行问题，需要利用共面向量定理来证明。同时介绍解决问题的向量法。联系共线向量来理解。例2是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。同时介绍解决问题的坐标法。例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标法。让学生体会坐标法的优势。用向量法证明三垂线定理。三、练习巩固分别用向量法和坐标法解决以下问题：向量法：所以，结论成立。坐标法：证明：（图略）巩固知识，培养技能.四、小结利用向量解决平行与垂直问题1 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。2 坐标法：利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。反思归纳五、作业1，直三棱柱中，角ACB是直角，AC1，CB，侧棱=1，侧面
5、的两条对角线交点为D，的中点为M，求证CD平面BDM。 2，课本p111第1、3题。练习与测试：（基础题）1，直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 则 （ ） A+ B+ C+ D+答：D2，若向量、 （ ） A B C D以上三种情况都可能答：B3，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直证明： . 又，即. . 又，即. 由+得：即.4，如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点 （1）求证：EF平面PAD； （2）求证：EFCD；证：如图，建立空间直角坐标系Axyz，设AB2a，BC2b，PA2
6、c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)， D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) E为AB的中点，F为PC的中点 E (a, 0, 0)，F (a, b, c)(1) (0, b, c)，(0, 0, 2c)，(0, 2b, 0) () 与、共面 又 E 平面PAD EF平面PAD(2) (-2a, 0, 0 ) (-2a, 0, 0)(0, b, c)0 CDEF（较难题）5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。 分析 要证明EF、BC、AD平行于同一平面 D F （E、F分别为AB、CD的中点），只要
7、证明相应 A E C向量EF与AD、BC共面即可。 B证明：如图，利用多边形加法法则可得， =+，=+。又E、F分别是AB、CD的中点，故有=-，=-将代入后，两式相加得2=+， =+即与、共面，EF与AD、BC平行于同一平面。注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。6，如图，已知a,ab,b,求证b。证明：在内作不共线向量m,n ba、m、n不共面，b=xa+ym+zn。 a两边同乘a得ab=xaa+yam+zan mab,am,an,ab=0,am=0,an=0 n 得xaa=0而a0,x=0,即b=ym+zn b、m、n为共面向量，又b,b。7，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E=2EB，CF=2AF，求证：EF平面A1B1CD。 D1 C1证明： = + +（1）=1+ +（2） A1 B1（1）2+（2）并注意到=-2， D C=-2，=-， F E得 =- A B而EF平面A1B1CD，EF平面A1B1CD。，、为共面向量。 7 / 7精品DOC