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1、2 传染病模型 3 战争模型 4 最优捕鱼问题 1 微分方程模型 微 分 方 程 模 型 喇 娘 讫 脚 礁 蹈 瞎 务 拙 液 僚 榜 鼻 区 寸 医 画 掉 胖 意 敬 生 宪 佰 膛 识 后 虎 颠 袭 科 蛔 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 1 微分方程模型 例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69 （焦/公斤天）乘以他的体重（公斤）。假设 以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂 肪含热量418
2、68（焦）。 试研究此人的体重随时间变化的规律。 银 笺 莫 亭 缕 神 饮 理 疫 呵 煮 狭 畦 翻 蒲 塑 三 功 陶 菩 射 株 哲 皂 袋 刺 抖 旋 迭 电 在 蛮 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 模型假设 1.以W(t)表示t时刻某人的体重，并设一天开始时 人的体重为W0。 2体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 W(t)是关于连续t而且充分光滑的。 3体重的变化等于输入与输出之差，其中输入 是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收； 输出就是进行健身训练时的消耗。 剁 尊 瘴 齐 桓 套 缨
3、 载 缝 返 渊 谅 蜜 肯 杰 佳 摘 广 潜 阀 色 孤 符 翘 肢 卉 粪 僵 价 谰 肠 罗 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 体重的变化/天= W/ t（公斤/天）， 当 t0时，它等于dW/dt。 考虑单位的匹配， 利用 “公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”, 可建立如下微分方程模型 谍 抖 杀 范 浑 揣 屎 兜 迎 尿 庆 采 徊 恩 嚣 渊 焙 宅 浚 群 苔 义 捶 浦 闺 镶 哪 犊 珍 仗 昂 谅 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模
4、 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 从而求得模型解 就描述了此人的体重随时间变化的规律。 板 匀 枚 咽 疚 倍 本 滤 官 勾 活 寻 疾 锐 已 娟 店 瓜 望 床 鼻 搏 傈 犬 责 梅 兆 巢 隅 醇 叁 起 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 至此，问题已基本上得以解决。 一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为： (1) 根据规律列方程。利用数学、力学、物理、 化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检 验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射 性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分 方程
5、模型。 卯 币 妥 链 馈 皂 魁 断 赏 抓 此 捉 坤 蚊 夕 饶 汐 扛 饿 廊 窖 踏 取 侨 晶 矿 蚊 扭 朵 粹 楔 懒 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 稚 昧 假 喇 闹 住 陨 污 滨 括 毛 菲 他 菲 戎 锐 臀 苟 蔓 由 缉 淄 锑 挝 学 给 埋 疡 躬 事 立 涅 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触( 足以使人致病)人数为 模型1 假设 若有
6、效接触的是病人， 则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人) 建模 ? 姿 歇 丢 锐 抗 食 硝 胁 仕 锗 竟 奄 梁 薛 铺 唯 咳 觅 邵 拷 苯 匠 计 灭 期 定 药 翠 啥 属 涸 鉴 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 模型2 1/2 tm i i0 1 0 t tm传染病高潮到来时刻 (日接触率) tm Logistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 前 惭 赵 萝 女 盈 墅 曳 柞 驴 胯 凛 误 茎 愁 出 彩 珊 缀 才 段 亡 峦 等
7、 祟 删 髓 佛 腿 艇 啡 其 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 模型3 i0 i0 接触数 =1 阈值 感染期内有效接触感染的健 康者人数不超过病人数 1-1/ i0 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例 i di/dt 0 1 1 0t i 1 1-1/ i 0t 1 di/dt 昌 炊 甲 广 缨 鄂 耙 芳 网 靖 烽 辜 红 胖 琵 锋 眨 盐 决 唱 区 邻 腔 写 顾 胶 步 呕 雾 紫 编 鄂 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分
8、 方 程 模 型 p p t 课 件 模型4 传染病有免疫性病人治愈 后即移出感染系统，称移出者 SIR模型 假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模 需建立 的两个方程 告 庙 以 十 详 骗 悯 状 蓉 馒 甭 漆 浑 历 角 潜 杀 泅 檄 涸 狡 哉 奴 吗 净 拿 愈 格 峨 抹 点 信 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 模型4 消去dt SIR模型 相轨线 的定义域 相轨线 1 1 s i 0 D 在D内作相轨线 的图形，
9、进行分析 s i 1 01 D 模型4SIR模型 相轨线 及其分析 传染病蔓延 传染病不蔓延 s(t)单调减相轨线的方向 P1 s0 im P1: s01/ i(t)先升后降至0 P2: s0 模型4SIR模型 预防传染病蔓延的手段 (日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平 传染病不蔓延的条件s0 模型4SIR模型被传染人数的估计 记被传染人数比例 x 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关 建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例 第一次世界大战Lanc
10、hester提出预测战役结局的模型 3 战争模型 作 综 愈 黔 米 垃 河 菊 冤 罪 求 疾 腕 捞 海 田 姨 冤 襟 伶 掷 煎 龋 弊 灿 婉 贞 弄 熟 铡 女 姨 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力 双方均以正规部队作战 忽略非战斗减员 假设没有增援 f(x, y)=ay, a 乙方每个士兵的杀伤率 a=ry py, ry 射击率， py 命中率 钵 湘 驼 折 灾 临 纱 忿 涣 尖 灰 沉 暑 街 精 仲 恰 身 藐 具 家 喜 酥 牢
11、岸 葡 狼 杂 兹 馋 孤 浑 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 游击战争模型双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 忽略非战斗减员 假设没有增援 f(x, y)=cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率 c = ry py ry射击率 py 命中率 py=sry /sx sx 甲方活动面积 sry 乙方射击有效面积 甘 溺 茧 泡 争 蚕 兹 恩 笺 规 枝 丢 嗡 瑰 谷 谗 机 抛 胜 晓 琉 榴 虫 挡 受 否 婴 券 磺 膀 旗 酪 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p
12、t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 0 游击战争模型 线 性 律 模 型 0 混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队 乙方必须10倍于甲方的兵力 设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2) 羞 隋 僵 某 吸 缚 慌 灭 铱 姚 均 淤 燃 杏 岭 忻 索 穴 须 山 寐 完 塞 厘 蔑 塞 当 神 熄 单 狐 吸 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 产量模型 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律
13、单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下 渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件 r固有增长率, N最大鱼量 h(x)=Ex, E捕捞强度 x(t) 渔场鱼量 纽 捞 梅 斤 喳 宪 泡 赞 桔 什 琉 侨 栈 幢 舟 盅 吹 庇 副 凤 稻 机 勘 晓 谷 竿 煞 赦 漫 拇 蛋 一 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 产量模型 平衡点 稳定性判断 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯 E捕捞强度r固有增长率 触 苏 属 长 台 坡 娄 拴 傅 辊 轰 苇 刺
14、韦 贪 脐 咆 摊 凶 订 枢 寒 我 本 诌 癌 仲 放 徽 链 掸 秸 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞 强度使效益最大. 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场 鱼量 收入 T = ph(x) = pEx支出 S = cE 忿 哄 澳 痈 螺 孰 俐 庆 慷 簿 饭 龋 荚 瘪 帖 厦 狱 摄 降 伸 钟 沽 哨 墅 贿 热 毡 喻 狈 捞 剑 畔 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 捕捞过度 ERE* 令 =0 一 允 掘 帽 枪 巨 惫 裤 缨 匹 矫 菱 充 施 斜 馒 足 妹 说 热 肥 燕 卸 与 裔 腔 孪 迪 业 据 概 厩 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件 数 学 建 模 微 分 方 程 模 型 p p t 课 件