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1、选修 2-2 3 章末综合训练一、选择题1复数 i3(1i)2( )A2 B2C2i D2i答案 A解析 考查复数代数形式的运算i3(1i)2i(2i)2.2对于下列四个命题：1 任何复数的绝对值都是非负数2 如果复数 z 5i，z 2 3i，z 5i，z 2i，那么这些复数的对应点共圆1 2 3 43 |cosisin|的最大值是 2，最小值为 0.4 x 轴是复平面的实轴，y 轴是虚轴其中正确的有( )A0 个C2 个B1 个D3 个答案 D解析 正确因为若 zR，则|z|0，若 zabi(b0，a，bR)，则|z| a2b20.正确因为|z | 5，|z | ( 2)2( 3)2 5，|
2、z | 5，|z | 5，这些复数的对应点均在以原点为圆心， 1 2 3 45为半径的圆上错误因为|cosisin| cos 是 1.正确故应选 D.2sin21 为定值，最大、最小值相等都阿i3(2010陕西理，2)复数 z 在复平面上对应的点位于( )1iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 Ai 1 1解析 z i，对应点在第一象限1i 2 24设复数 z(ai)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数 a 的值是( )A1C. 2B1D 3答案 A解析 z(ai)2(a21)2ai，据条件有 a210 2a0，a1.5若(x21)(x23x2)i 是纯虚数，则实数 x 的
3、值为( )A1C1B1D2答案 A解析 解法 1：由 x210 得，x1，当 x1 时，x23x20，不合题意，当 x1 时，满 足，故选 A.解法 2：检验法：x1 时，原复数为 6i 满足，排除 C、D；x1 时，原复数为 0 不满足，排除 B，故选 A.二、填空题6若 z 1i，z 35i，在复平面上与 z ，z 对应的点分别为 Z ，Z ，则 Z ，Z 的距离为_1 2 1 2 1 2 1 2答案 2 5解析 由 z 1i，z 35i 知1 2Z (1，1)，Z (3，5)，由两点间的距离公式得：d (31)2(51)22 5.1 27已知复数 z 满足 z(12i)103i，则 z_
4、.答案 95i解析 z(12i)103iz103i(12i)(101)(32)i95i.8已知复数 z cosi，z sini，则 z z 的实部最大值为_，虚部最大值为_1 2 1 2答案322解析 z z (cosi)(sini)1 2(cossin1)i(cossin)1 3 3实部 cossin11 sin2 ，最大值为 ，2 2 2虚部 cossin 2cos 2，最大值为 2. 4 三、解答题9设存在复数 z 同时满足下列条件：(1) 复数 z 在复平面内对应点位于第二象限；(2) z z 2iz8ai (aR)，试求 a 的取值范围 解析 设 zxyi (x、yR)，由(1)得
5、x0.由(2)得 x2y22i(xyi)8ai. ab2222ba11 即 x2y22y2xi8ai.x2y22y8，由复数相等得，2xa.解得6a0.110设 z 是虚数，z 是实数，且12.z(1)求 z 的实部的取值范围；1z(2)设 u ，求证：u 是纯虚数1z(3)求 u2 的最小值分析 本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用，考查学生解综合题的能力 解析 (1)设 zabi(a，bR，且 b0)，1 1则 z abiz abia b a b a b i.R，ba2b0.2b0，a2b21.此时 2a，又12，112a2 a1.21z 的实部的取值范围是 ，1 2 .1z 1abi 1a2b22bi(2)证明：u 1z 1abi (1a)2b2 b i.a ，1 2 ，b0，a，bR，u 为纯虚数b2 1a2(3)u22a 2a(a1)2 (a1)2a1 22a 2a1a1 a112(a1) a13.1 a0. 212(a1) a13221(a1) 31. a11当且仅当 a1 ，即 a0 时取“”号，a1故 u2的最小值为 1.点评 本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力，考查均 值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力是高考改革的方向