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1、小学奥数之容斥原理知识点容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理包含与排除原理，也 叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复 计数，应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对 n 个事物，如果采用不同的分类标准，按 性质 a 分类与性质 b 分类（如图），那么具有性质 a 或性质 b 的事物的个数=Na NbNab。例 1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作 业？请举手！”有 37 人举手。又问：“谁做完数学作业？请 举手！”有 42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有 做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人 数。分析与解答：完成语文作业的有 37 人
2、，完成数学作业 的有 42 人，一共有 3742=79 人，多于全班人数。这是因 为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数 时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这 样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：7948=31 人。例 2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的有 23 人，两题都答对的有 15 人。问多少 个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有 25 人，两题都答对 的有 15 人，可以求出只答对第一题的有 2515=10 人。又 已知答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的
3、人数就得到至少有一题答对的人数： 23=33 人。所以，两题都答得不对的有 3633=3 人。10 例 3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞 赛的有 27 人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参 加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出 至少参加一科竞赛的人数： 5625=31 人，再求两科竞赛同 时参加的人数：282731=24 人。例 4：在 1 到 100 的自然数中，既不是 5 的倍数也不是 6 的 倍数的数有多少个？分析与解答：从 1 到 100 的自然数中，减去 5 或 6 的倍 数的个数。从 1 到 100
4、 的自然数中，5 的倍数有 100 5=20个，6 的倍数有 16 个（1006=16 4），其中既是 5 的倍 数又是 6 的倍数（即 5 和 6 的公倍数）的数有 3 个（100 30=310 ）。因此，是 6 或 5 的倍数的个数是 16203=33 个，既不是 5 的倍数又不是 6 的倍数的数的个数是：100 33=67 个。例 5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每 个年级学生的书法作品，其中有 24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅， 其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析与解答：由题意知，24 幅作品是一、二、三、四、 六年级参展作品的总数，22 幅是一、二、三、四、五年级参 展作品的总数。2422=46 幅，这是一个五、六年级和两个 一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个 年级共参展的 10 幅作品，即得到两个一、二、三、四年级 参展作品的总数，再除以 2，即可求出其他年级参展作品的 总数。（242210）2=18（幅）