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1、均值不等式应用（技巧）v1.0 可编辑可修改一均值不等式1.（1）若 a , b R ，则 a 2 +b 2 2 ab(2)若 a, b R ，则ab a2+b22（当且仅当 a =b 时取“=”）2. (1)若a , b R*，则a +b2 ab(2)若a , b R*，则a +b 2 ab（当且仅当a =b时取“=”）(3)若a , b R*，则ab a +b 2 2(当且仅当a =b时取“=”）3.若 x 0 ，则 x +1 12 (当且仅当 x =1 时取“=”）;若 x 0 ，则a b+ 2b a(当且仅当 a =b 时取“=”）若ab 0aaaaaa ，则 + 2即 + 2或 +
2、-2bbbbbb(当且仅当a =b时取“=”）4.若a, b R，则(a +b a 2 +b ) 2 2 22（当且仅当a =b时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最 小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值例 1：求下列函数的值域1 1（1）y3x 2 （2）yx2x 2 x1解：（1）y3x 2 22x 213x 2 6 值域为 6 ，+） 2x 211（2）当 x0 时，
3、yx 2x 2；xx1 1当 x0 时， yx = （ x ）2x x值域为（，22，+） 解题技巧：技巧一：凑项11xx=2，25例 1：已知 x ，求函数4y =4 x -2 +14 x -5的最大值。v1.0 可编辑可修改解：因4x -5 0，所以首先要“调整”符号，又(4 x -2)14 x -5不是常数，所以对4x -2要进行拆、凑项，5x 0 41 1 y =4 x -2 + =- 5 -4 x + +34 x -5 5 -4 x -2+3 =1当且仅当5 -4 x =15 -4 x，即x =1时，上式等号成立，故当x =1时，y =1max。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项
4、的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数例 1. 当时，求y =x (8 -2 x)的最大值。解析：由知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2 x +(8 -2 x) =8为定值，故只需将y =x (8 -2 x)凑上一个系数即可。当 ，即 x2 时取等号 当 x2 时，y =x (8 -2 x)的最大值为 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0 x 32，求函数y =4 x(3 -2 x)的最大值。解：0 x 02x +3 -2 x y =4 x (3 -2 x
5、) =2 2x (3 -2 x ) 2 = 2 92当且仅当2 x =3 -2 x , 即 x =34 3 0, 时等号成立。 2 技巧三： 分离例 3. 求y =x 2 +7 x +10 x +1( x -1)的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当 ,即时,y 2 （x +1) 4x +1+5 =9（当且仅当 x1 时取“”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。y =2(t -1)2+7( t -1）+10 t 2 +5t +4 4= =t + +5t t t )当 ,即 t
6、=时,y 2 t 4t+5 =9（当 t=2 即 x1 时取“”号）。v1.0 可编辑可修改评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y =mg ( x ) +Ag ( x )+B ( A 0, B 0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x) =x +ax的单调性。例：求函数y =x 2 +5x 2 +4的值域。解：令x 2 +4 =t (t 2)，则y =x 2 +5x 2 +4=x2+4 +x12+41=t + (t 2) t因1
7、1t 0, t =1 ，但 t = 解得 t =1不在区间 2, +t t，故等号不成立，考虑单调性。因为y =t +1t在区间1,+)单调递增，所以在其子区间2,+)为单调递增函数，故y 52。所以，所求函数的值域为52, +。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）y =x2+3 x +1 x,( x 0)（2）y =2 x +1x -3, x 3(3)y=2sin x +1sin x, x (0, p )2已知0 x 1，求函数y =x(1-x)的最大值.；30 x 0, y 0，且1 9+ =1 ，求 x +y 的最小值。 x y3( ) ( ) +错解：x 0, y
8、 01 9，且 +x y=1 ，1 9 9x +y = + x +y 2 2 xy =12x y xy故(x+y)min=12v1.0 可编辑可修改 。错因：解法中两次连用均值不等式，在x +y 2 xy等号成立条件是x =y，在1 9 9+ 2x y xy等号成立条件是1 9= 即 y =9 x x y,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。1 9正解： x 0, y 0, + =1x y1 9 y 9 x， x +y = x +y + = + +10 6 +10 =16x y x y当且仅当y
9、9 x=x y1 9时，上式等号成立，又 + =1 ，可得x yx =4, y =12时，(x +y)min=16。变式： （1）若x, y R+且2 x +y=1 ，求 1 1 的最小值x y(2)已知a , b , x , y R+且a b+ =1x y，求x +y的最小值y 2技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2 1，求 x 1y22的最大值.a 2b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab 。2同时还应化简 1y2 中 y2前面的系数为12，x 1y 2 x1 y 22 2 x21 y2 22下面将 x，1 y 2 分别看成两个因式： 2 2x1 y 2 2 2x
10、 2(1 y 2 y 2 1 )2 x 2 2 2 2 2 3 2 2 4即 x 1y 2 2 x1 y 2 3 22 2 4技巧八：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。302b 302b 2 b 230b法一：a ， ab bb1 b1 b1由 a0 得，0b152t 234t3
11、1 16 16令 tb+1，1t16，ab 2（t ）34t 2t t t16tt8 ab18 y118当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab 4令 u ab则 u22 2 u300， 5 2 u3 2v1.0 可编辑可修改1 ab 3 2 ，ab18，y18点评：本题考查不等式a +b2 ab（a , b R +）的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式ab =a +2b +30（a , b R +）出发求得ab的范围，关键是寻找到a +b与ab之间的关系，由此想到不等式a +b2 ab（a , b R+
12、），这样将已知条件转换为含 ab 的不等式，进而解得 ab 的范围.变式：1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 W 3x 2y 的最值.ab a 2b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ，本题很简单2 23x 2y 2 （ 3x ）2（ 2y ）2 2 3x2y 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值” 条件靠拢。W0，W23x2y2 3x 2y 102 3x 2y 10( 3x )
13、2( 2y )2 10(3x2y)20 W 20 2 5变式: 求函数1 5y = 2 x -1 + 5 -2 x ( x 0，所以0 ab +bc +ca1）正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 5 -1 -1 -1 abca b c(v1.0 可编辑可修改例 6：已知 a、b、cR+，且a +b +c =1。求证：1 1 1 -1 -1 -1 8a b c 分 析 ： 不 等 式 右 边 数 字 8 ， 使 我 们 联 想 到 左 边 因 式 分 别 使 用 均 值 不 等 式 可 得 三 个 “ 2 ” 连 乘 ， 又1 1 -a b +c 2 bc
14、-1 = = a a a a，可由此变形入手。解： a、b、cR+，a +b +c =1。1 1 -a b +c 2 bc -1 = = a a a a1 2 ac 1 2 ab。同理 -1 ， -1 。上述 b b c c三个不等式两边均为正，分别相乘，得1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab =8 。当且仅当a =b =c =13时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知x 0, y 0且1 9+ =1x y，求使不等式x +y m恒成立的实数m的取值范围。解：令x +y =k , x 0, y 0,1 9 x +y 9 x +9 y 10 y 9 x + =1 ， + =1. + + =1x y kx ky k kx ky10 3 1 - 2 k k。k 16 ， m -,16应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若a b 1, P =lg a lg b , Q =1 a +b (lg a +lg b), R =lg( )2 2，则P, Q, R的大小关系是 .分析：a b 1 lg a 0, lg b 01Q = （ lg a +lg b) lg a lgb = p 2R =lg(a +b 1) lg ab = lg ab =Q 2 2RQP。6