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1、1FFE54 OF1圆与三角函数的有关计算和证明【学习目标】1、 熟练掌握圆中有关的证明与计算；2、 能熟练运用三角函数；3、 能从复杂图形中识别常用的基本图形。【典例分析】一、以等腰三角形的腰为直径作圆，过底边中点作另一腰的垂线构切线例 1、如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于 D，交 CA 的延长线于 F，DEAC 于E.C（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若 AB5，AF3，求 tanC 的值.练习 1、如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于 D 点，DEAC 于点 E.D（1） 求证：DE 是O 的切线；（2） 连接 OE 交O
2、 于 F，连接 DF，若 tanEDF= ，求 cosDEF 的值.EAAOB2 O练习 2、在 Rt ABC 中， ACB =90，D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的 O 与边 AC 相切于点 E ，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F （1）求证： BD =BF ；（2）若 BC =6，AD =4 ，求 sinCEFAB D CD练习 3、如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 AC，BC 于点 D，E，点 F 在 AC 的延长线上，且CBF=12CAB.O E（1）求证：直线 BF 是O 的切线；（2）若 AB=5，sinCBF= ，求线段 BF
3、 的B长.5CF变式 1、如图, AB 为O 的直径, AC 为O 的弦, BAC 的平分线交O 于点 D, DEAC 于点 E. （1）求证: DE 为O 的切线;（2）连接 OE 交 AD 于点 F, 连接 BD, 若 cosBAC=, 求 的值. 5 BD变式 2、如图 1，AB 是O 的直径，AD 是弦，点 E 是弧 BD 上一点，EFAD 于点 F，且 EF 是O 的 切线.（1）求证：弧 DE=弧 BE；（2）连接 BE，若 tanDAB=125，求 tanB 的值.二、（圆中的三个二分之一）已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，点 E 是半圆 O 上一动点（不与 A、B 重合），
4、点 C 是弧 BE 的中点，连接 BE、AC 交于点 G，过点 C 作 CDAB 于点 D，交 BE 于 F 点。求证： (1)CD=BE；(2)CF=BG；(3)DF=EG。例 2、如图， ABCK ，ACD=90，以 AB 为直径作O，F 是O 上一点， 于点 D，连 AF 分别交 CD、BC 于 E、G 两点，连接 CF。1 CG（1）求证：ACEAFC （2）若 sinDAE=，求 。3 BG AC FC，CDAB练习 1、如图，AB 是O 的直径，C 是弧 BD 的中点，CEAB，垂足为 E，BD 交 CE 于点 F（1）求证：CF=BF；（2）若 cosBAD= ,，O 的半径为
5、3，求 BC 的长3DCAFO EB= .OECDE练习 2、如图， DABC 内接于O， AB 为直径，弦 CE AB 于 F ， C 是 AD 的中点，连结 BD 并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q。（1）求证： P 是 DACQ 的外心；（2）若 tan ABC =34, CF =8 ,求 CQ 的长。三、切割线型：从圆外一点同时引圆的切线和过圆心的割线例3、如图，AC为O的直径, PAAC，BC是O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，DB DCDP DO（1）求证：直线 PB 是O 的切线；（2）若 ACCD2, 求 cosBCA 的值.练习 1、如图，四
6、边形 ABCD 内接于O，AC 是O 的直径，ABBD，BD 交 AC 于 P，过 B 作 BEAD交 AC 和延长线于 E.（1）求证：BE 是O 的切线；（2）若 AC8，PC1，求 tanCBD 的值.B练习 2、已知：如图,在矩形 ABCD 中,点 O 在对角线 BD 上,以 OD 的长O为半径的 OAA EP C D与 AD , BD 分别交于点 E、点 F,且 ABE = DBC .DE（1）判断直线 BE与 O的位置关系,并证明你的结论；F（2）若 sin ABE =33,CD =2,求 O的半径.BC练习 3、如图，D 是O 的直径 CA 延长线上一点，点 B 在O 上，且 A
7、B=AD=AO。（1）求证：BD 是O 的切线；（2）若 E 是劣弧 BC 上一点，AE 与 BC 相交于点 F BEF 的面积为 8，且cos BFA =23，求ACF的面积。四、角平分线型：过圆周角的角平分线与圆的交点或弧的中点引圆的切线例 4、如图，在 ABC 中，C=90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，点 O 在 AB 上，经过 A、D两点的O 交 AB 于 E.求证：BC 是O 的切线；若tan B =34，求cos ADC.OA练习 1、如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上任意一点，点 D 是弧 BC 的中点， FEB D CDEAC，交 AC 的延长线于点 E，
8、I 是ABD 的内心，连结 DI 并延长交O 于点 F（1）求证：DE是O 的切线；（2）若tan BAD =12，CE2，求 DF 的长AOIB练习 2、如图，在ABC 中，C 为直角，BD 平分ABC 交 AC 于 D.在 AB 上取一FA点 D.在 AB 上取一点 O，以点 O 为圆心作经过 B、D 的圆，O 分别交 AB、BC 于 E、F，连 DE、EF，EF 交 BD 于 G.OGDB F CO C1求证：AC 与O 相切；若 DE=2，BG=3，求 sinA.五、切线长型 :从圆外一点引圆的两条切线，已知一条求证另一条例 5、如图，AB 是半圆（圆心为 O）的直径，OD 是半径，B
9、M 切半圆于 B，OC 与弦 AD 平行且交 BM 于 C。（1）求证：CD 是半圆的切线；（2）若 AB 长为 4，点 D 为弧 AE 的中点 求sinOCB。练习 1、如图，AB 是O 的直径，P 为 AB 的延长线上的点，PD 与O 相切于点 D，C 在O 上，E且 PC=PD.证明 PC 与O 相切；C过 A 作 AEPC 于 E.连 BC，若 sinEPA= 1 ，O 的半径为 3，求 BC 的长.AO BP练习 2、3已知：如图，O 是 ABC 的外接圆， AB 为 O 直径，且 PA AB 于点DA ， PO AC 于点 M PC(1)求证： PC是 O的切线；(2)当 OM=2
10、， cos B=2时，求 PC的长M练习 3、已知：如图，BE4A是O 的直径，CB 与O 相切于点 B，OCDE 交O 于点BD，CD 的延长线与 BE 的延长线交于 A 点. （1）求证：AC 是O 的切线；（2）若 AD4，CD6，求 tanADE 的值.DA E O B六、以直角三角形的一直角边为直径做圆，连接另一直角边的中点与圆和斜边的交点构切线例 6、如图，以 RtABC 的直角边 AC 为直径作O，交 AB 于 D 点，OEAB 交 BC于 E 点。（1）求证：DE 为O 的切线（2）若 cos OED =55，OA=5，求：SDBDE。C练习 1、如图 RtABE 中，ABAE
11、 以 AB 为直径作 O，交 BE 于 C，弦 CDAB,FOA为 AE 上一点，连 FC，则 FC = FECF 是O 的切线；（1）求证DEB（2）已知点 P 为O 上一点，且 tanAPD = , 连 CP，求 sinCPD 的值。2练习 2、已知:如图,AB是O 的直径,BC切 e O 于 B,AC交 于 P,D 为 BC边的AOOPB D CAO F中点，连结 DP(1) DP 是O 的切线；(2)若cos A35，O的半径为 5， 求 DP 的长.练习 3、以 ABC 的直角边 AB 为直径的 O 交斜边 AC 于点 D，点 E 是 BC 的中C点，连 DE.DE1 判断 DE 与O 的位置关系，并证明；2 连 AE，过 D 作 DFAB 于点 F，交 AE 于点 G.若 AC=10，tanC=43G 。求 DG 的长。B