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1、aa21 15 83 3ababab高考不等式专题精练（教师专用） 高考不等式经典例题【例 1】已知 a0，a1，Plog (a3a1)，Qlog (a2a1)，试比较 P 与 Q 的大小.【解析】因为 a3a1(a2a1)a2(a1)，当 a1 时，a3a1 a2a1，PQ；当 0a1 时，a3a 1a2a1，PQ； 综上所述，a0，a1 时，PQ.【变式训练 1】已知 ma1 1(a2)，nx (x )，则 m，n 之间的大小关系为( ) a2 2A.mnB.mn C.mn D.mn【解析】选 C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.maa2 2224，而 nx2 a2 a
2、21( )224.【变式训练 2】已知函数 f(x)ax2c，且4f(1)1，1f(2)5，求 f(3)的取值范围.【解析】由已知4f(1)ac1，1f(2)4ac5. 令 f(3)9ac(ac)(4ac)， 5g=- ,g+4m=9, 3所以 -g-m=-1 8m= 3故 f(3) (ac) (4ac)1,20.题型三开放性问题c d【例 3】已知三个不等式：ab0； ；bcad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组a b成多少个正确命题？【解析】能组成 3 个正确命题.对不等式作等价变形:c d bcad a b ab0.bcad(1)由 ab0，bcad 0，即；bcad(2)由
3、ab0，0bcad0bcad，即；bcad(3)由 bcad0，0ab0，即.故可组成 3 个正确命题.【例 2】解关于 x 的不等式 mx2(m2)x20 (mR). 【解析】当 m0 时，原不等式可化为2x20，即 x1； 当 m0 时，可分为两种情况：12m122 12 12 12 122 12 11119227 3 3 74 8 4 2高考不等式专题精练（教师专用）(1)m0 时，方程 mx2(m2)x20 有两个根，x 1，x 2.m所以不等式的解集为x |x1 或 x2；(2 )m0 时，原不等式可化为mx2(2m)x20，2 2 m2其对应方程两根为 x 1，x ，x x (1)
4、m m m.m2 时，m20，m0，所以 x x 0，x x ， 不等式的解集为x|1x2m；2 m2 时，x x 1，原不等式可化为(x1)20，解集为；3 2m0 时，x x 0，即 x x ，不等式解集为x| x1.max1【变式训练 2】解关于 x 的不等式 0.x1【解析】原不等式等价于(ax1)(x1)0.当 a0 时，不等式的解集为x|x1；当 a0 时，不等式的解 集为x |x 或 x1；a当1a0 时，不等式的解集为x| x1；当 a1 时，不等式的解集为；a当 a1 时，不等式的解集为x |1x1.a【例 3】已知 ax2bxc0 的解集为x |1x3，求不等式 cx2bx
5、a0 的解集.【解析】由于 ax2bxc0 的解集为x |1x3，因此 a 0，解得 x 或 x1.3(1)zx2y4 的最大值；(2)zx2y22y110y25 的最小值； (3)z 的取值范围.x1【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线 x2y4z 过点 C 时，z 最大.所以 x7，y9 时，z 取最大值 21.(2)zx2(y5)2 表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的平方，过点 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是(|052| 2)22.1 y( )(3)z2x
6、(1)表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(1 ，1)连线斜率的 2 倍.因为 kQA ，kQB ，所以 z 的取值范围为 ， .【例 1】(1)设 x，yR ，且 xy(xy)1，则( )2，所以 abab541 11maxcd xy y x x cd x cd2 高考不等式专题精练（教师专用）A .xy2( 21) B . xy2( 21) C. xy2( 21)2D. xy( 21)2(2)已知 a，bR ，则 ab，ab，2a2b2 2ab， 的大小顺序是 2 ab.【解析】(1)选 A.由已知得 xy 1(xy)，又 xy(xy xy)2，所以(2 2)21(xy).解得 xy2(
7、 21)或 xy2(1 2).因为 xy0，所以 xy2( 21).ab(2)由 ab有 ab2 ab，即 ab2ab 2ab.ab ab又ab2a22abb422(a2b 42)，所以a2b2 ab ，2 2所以a2b2 ab 2ab ab .2 21 1 【变式训练 1】设 abc，不等式 恒成立，则 的取值范围是ab bc ac【解析】(，4).因为 abc，所以 ab0，bc0，ac0.而(ac)(1 1 1 1)(ab)(bc)(ab bc ab bc)4，所以 4.5 1【例 2】(1)已知 x ，则函数 y4x2 的最大值为 ；4 4x5【解析】(1)因为 x ，所以 54x0.
8、所以 y4x2 (54x )3231.4x5 54x当且仅当 54x ，即 x1 时，等号成立.54x所以 x1 时，y 1.【变式训练 2】已知 x，a，b，y 成等差数列， x，c，d，y 成等比数列，求 【解析】由等差数列、等比数列的性质得 abxy，(ab ) cd2的取值范围 .(ab)2 (xy)2 x y y (ab)2 y (ab)cdxy，所以 2 ，当 0 时， 4；当 0 时，20，故(ab) cd2的取值范围是(，04，).例已知x, y, 0,2 8+ =1x y，求xy的最小值。解：xy2 8 4 y 64 x 4 y 64 x=xy g12 =xy g + = +
9、 +32 2 g +32 =64x y x y x y。当且仅当2 8 1= = 时，即 x =4. y =16 x y 2，上式取“=”，故(xy) =64min。例已知0 x 14 1，求函数 y = + 的最小值。x 1 -x解： 因为0 x 0。( )() a高考不等式专题精练（教师专用）所以4 1y = +x 1 -x4 1 4 (1-x) x=x+1 -x + =5 + + 9x 1 -x x 1 -x。当且仅当4 (1-x) x =x 1 -x2时，即 x = ，上式取“=”，故 3y =9min。例已知x, y, z R +，且 x +y +z =1，求1 4 9+ +x y
10、z的最小值。解： 设l0 ，故有 l(x+y+z-1)=0。1 4 9 1 4 9 1 4 9 + + = + + +l x +y +z -1 = +lx + +ly + +lz -lx y z x y z x y z 2 l+4 l+6 l-l=12 l-l。当且仅当1 4 9=lx, =ly, =lz x y z同时成立时上述 不 等 式 取 “ = ”， 即x =1l, y =2l, z =3l， 代 入x +y +z =1， 解 得l=36， 此 时1 4 912 l-l=36 ，故 + +x y z的最小值为 36。例若正实数 x，y 满足xy=2 x +y +6，则 xy 的最小值
11、是 。（变式：求 2 x+y 的最小值为_）答案：18解：因为 x0，y0 ，所以xy=2 x +y +6 2 2 xy +6，xy -2 2xy -6 0，解得xy 3 2或 xy - （2舍）等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 xy 的最小值为 18。 变式答案：12解：因为 x0，y0 ，所以xy =2 x +1 2x +y y +6 ( )2 22整理得(2 x +y ) 2 -8(2 x +y ) -48 0 ，解得 2 x +y 12或2x +y -4(舍）等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 2x+y 的最小值为 12。例若对任意x0，x2x+3 x +1a恒成立，则 的取值范围是 。x + +3高考不等式专题精练（教师专用）答案：a 15解：因为x 0 ，所以 x +1x2（当且仅当 x=1 时取等号），所以有x2x 1 1 1= = x 1 1 +3 x +1 1 2 +3 5 ，即 的最大值为 ，故 a 。x 2 +3 x +1 5 5x