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1、b.阿里巴巴全球数学竞赛预选赛试题本次竞赛有三道题。每道题有 a, b, c 共 3 小题。 第一题：在下面所有小题中，我们不考虑退货。a.“双一期间，一家电商店铺 A 有满 60 返 5 块的优惠券，可叠加使用（比 如，买 120 块的东 西，用两张优惠券，只需付 120-5X 2 = 110 块）。此 外，电商平台全场提供满 299 返 60 的优惠 券（可凑单），每单限用一张， 可与店铺的优惠券叠加使用（比如，原价 299 块的一单，最 终价格是 299 5 x 4 60 = 219。原价不满 299 则不能减去全场折扣 60。不足 299 时，用户可 以在别家商店凑单。）请问：小明打算
2、在这家店铺买一款 250 块的耳机和一款 600 块的音箱，怎么买最划算？现在您开了一家电商店铺，卖与 A 店同款的耳机和音箱，标价相同。您计 划提供满 99 返 x 的优惠券，x 为大于 0、小于 99 的整数。与 A 店不同的是，您的优惠券每单 限用一张（比如，买 250 块, 需付 250 x 块，而不是 250 2x 块）。 “双一”期间，电商平台全场满 299 返 60 仍然适用。请问：x 至少等于多少时，小明在您的店铺买耳机和音箱其中一种会更便 宜（至少 1 元）？又 请问：x 至少等于多少时，小明在您的店铺既买耳 机又买音箱总和会更便宜（至少 1 元）？c.建模题。对比单卖和捆绑
3、销售下的利润期望。假设耳机（产品 1）和音箱 （产品 2）的单件销 售的单位成本分别是 Ci 和 C2 （包含生产、储存、运 输、促销等所有成本）。一个访问店铺的 客户对两件产品的心理价值分别 是均匀分布在0, Ui 和0, U2 的区间上随机变量，和，。假设，和， 相互独立。本题有三小问。1.2.3.如何分别设定产品价格 Pi 和 P2,以最大化每个到访客户带来的利润期 望。这里假设 Ci !；当且仅当 Pi Si 时，客户会购买一件产品 1;用 户不买的话不计损失。对产品 2 做 类似假设。请以公式形式给出最优 价格泌和龙以及对应的最大利润期望仃和 r2。现在假设产品 1 和 2 捆绑销售
4、，成本是 Ci = t（Ci + C2）。因为节省2了包装和运输成本，所 以假设 0 t 1。其余的条件不变。请以公式形 式给出捆绑下的最优价衍 。2单卖和捆绑销售，哪个利润更优，还是不一定？为什么？第二题：a.附图中有一个无向图，其中圈内数字代表一个地点，边 e 上数字代表长度1Le （双向相同）。 一位外卖小哥在起点 A,要去 3 个商家（Bi, B2, B3）取餐，送到 3 个对应的地方（Ci, C2, C 3），即 Bi 至 Ci，B2 至 C2， B3 至 C3。小哥的电动助力车的箱子同时最多装下 2 份外卖。2b.eA Bi1 2 2B3请问：小哥该怎么走最短路径？这个最短路径的长
5、度是多少？这里，A 是 出发点，最后一餐 （不限次序）送达地为终点。为了简化问题，假设商家 已经备好了外卖，小哥取餐送餐不用 等。又假设每份外卖重量大小一样。此题与上图无关，而是考虑一个一般的图，图中有很多点和边。外卖小哥 刚刚取了一份外卖，计划经过图上的边送给目的地。途中经过每条边 e 的时候，以概率 R 0,1会 收到至送相同地址的另一单外卖。（一个条边上收到另两单及以上的概率小，暂忽略不计。）假设对应边 e , e2,., em 的概率为 Pi, P2,. ,Px m请问：送一次外卖，小哥平均能收到几个送去相同地址的新单（不考虑电 动车的箱子容量）？ 小哥收到至少一个去相同地址的新单的概
6、率是多 少？c.此题延续上题，但不再固定路径，而是对路线进行优化。假设小哥每送一 单外卖有固定收 益 r,但是总路径长度,（途中经过的每边 e 的长度 之和） 是成本。总收益是 r 0。（为了简 化，这里设成本系数为 1）。现在小 哥刚刚出发，车上只有一份外卖，箱子最大容量仍设为两 份外卖，请问怎 么走能够最大化收益？（提示：这里不但要考虑路径长短，还要考虑可能 收 到送至相同地址的另一单外卖而带来的无额外成本的收益 r。假设 0 Pe min0e/r,1）。3第三题：a.b.c.马教授的领域内有 n 个不同但是等价的逻辑陈述，AI,A2,.,A，”现在需要 证明它们是等价 的。每个学期，马教
7、授选两个不同的陈述&和 Aj，以今 Aj ” 的证明作为研究课题，指 导一位本科生完成。假设每个学期只完成一个证 明。要注意的是，在n Aj”和“Aj n A被证明之后，n Ak”也已经被（自 动地）证明了，因此不能再作为一个新的课题 让学生去完成。总之，如果 一个课题是之前若干学生已经完成课题的直接推论，则不能作 为新课题再 发给另一个学生。随着越来越多的推出关系被证明，剩下可选的课题也越 来越 少。请问，马教授可以最多依次指导多少个学生呢？为什么？H 是一个 n X n 的方阵，其第 i 行第 j 列的元素是 hj，所有 hj E 1, -1，并 且 H 的任意不同的 两行看作向量是相互垂直的(即，它们的标准内积为 0)。假设 H 有一个 a X b 的子矩阵(1 a,b n)，子矩阵内的元素均为 1。请证明：ab 1 使得 hm = e。假设集合 F 内的元素是有限多个的。证明：存在一个自然数 n 1 使得对 所有 g e G 和 h e F,我们都有gnh = hgn。4