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1、9.3抛物线典例精析题型一抛物线定义的运用【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.(1)抛物线过点P(2，4)；(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.【解析】(1)设方程为y2mx或x2ny.将点P坐标代入得y28x或x2y.(2)设A(m，3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y22px(p0)，由定义得5|AF|m|，又(3)22pm，所以p1或9，所求方程为y22x或y218x.【变式训练1】已知P是抛物线y22x上的一点，另一点A(a,0) (a0)满足|PA|d，试求d的最小值.【解析】设P(x0，y0) (x00)，则y2x0，所以d|PA|.因为a0，x0
2、0，所以当0a1时，此时有x00，dmina；来源:当a1时，此时有x0a1，dmin.来源:题型二直线与抛物线位置讨论 【例2】(2013湖北模拟)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：x1(x0).化简得y24x(x0).(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).设l
3、的方程为xtym，由得y24ty4m0，来源:16(t2m)0，于是 又(x11，y1)，(x21，y2).0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是不等式等价于 y1y2()10y1y2(y1y2)22y1y210.由式，不等式等价于m26m14t2.对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，即32m32.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0，且m的取值范围是(32，32).来源:数理化网【变式训练2】已知抛物线y24x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所
4、在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则.【解析】y24my8m0，所以.题型三有关抛物线的综合问题【例3】已知抛物线C：y2x2，直线ykx2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行； (2)是否存在实数k使0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x)，B(x2,2x)，把ykx2代入y2x2，得2x2kx20，由韦达定理得x1x2，x1x21，所以xNxM，所以点N的坐标为(，).设抛物线在点N处的切线l的方程为ym(x)，将y2x2代入上式，得2x2mx0，来源:因为直线l与抛物
5、线C相切，所以m28()m22mkk2(mk)20，所以mk，即lAB.(2)假设存在实数k，使0，则NANB，又因为M是AB的中点，所以|MN|AB|.由(1)知yM(y1y2)(kx12kx22)k(x1x2)4(4)2.因为MNx轴，所以|MN|yMyN|2.又|AB|x1x2|.来源:所以，解得k2.即存在k2，使0.【点拨】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须使用一般弦长公式.【变式训练3】已知P是抛物线y22x上的一个动点，过点P作圆(x3)2y21的切线，
6、切点分别为M、N，则|MN|的最小值是.【解析】.总结提高1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为p；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|x1x2p或|AB|(为AB的倾斜角)，y1y2p2，x1x2等. 3 / 3精品DOC