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1、第六节直接证明与间接证明直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点(2)了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点知识点一直接证明1综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法2分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫作分析法易误提醒用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分
2、析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立自测练习1要证明2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A综合法B分析法C反证法 D归纳法解析：要证明b，那么”假设内容应是()A. B.C.且 D.或的否定为.答案：D4设a，b，c(，0)，则a，b，c()A都不大于2 B都不小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析：因为abc6，所以三者不能都大于2.答案：C考点一综合法的应用|已知a，b，c为不全相等的正数，求证：3.证明因为a，b，c为不全相等的正数，所以3，22233，即3.综合法证题的思路1设数列an的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn
3、am，则称an是“H数列”(1)若数列an的前n项和Sn2n(nN*)，证明：an是“H数列”；(2)证明：对任意的等差数列an，总存在两个“H数列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立证明：(1)由已知，当n1时，an1Sn1Sn2n12n2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数mn1，使得Sn2nam.所以an是“H数列”(2)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令bnna1，cn(n1)(da1)，则anbncn(nN*)下面证bn是“H数列”设bn的前n项和为Tn，则Tna1(nN*)于是对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Tnbm，
4、所以bn是“H数列”同理可证cn也是“H数列”所以任意的等差数列an，总存在两个“H数列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立考点二分析法|已知a0，证明a2.证明要证a2，只需证(2)因为a0，所以(2)0，所以只需证22，即2(2)84，只需证a2.因为a0，a2显然成立，所以要证的不等式成立分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法2已知a，b，m都是正数，且a.证明：要证明，由于a，b，m都是正数，只需证a(bm)b(am)，只需证am0，所以只需
5、证ab.又已知a100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设错误所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.13.综合法与分析法证题中的易误点【典例】(1)设x1，y1，证明xyxy；(2)设1abc，证明loga blogb clogc alogb alogc bloga c.证明(1)由于x1，y1，所以xyxyxy(xy)1yx(xy)2.将上式中的右式减左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy
6、)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)既然x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立(2)设loga bx，logb cy，由对数的换底公式得logc a，logb a，logc b，loga cxy.于是，所要证明的不等式即为xyxy，其中xloga b1，ylogb c1.故由(1)可知所要证明的不等式成立易误点评(1)证明问题(1)有两处易误点：不能利用分析法将其正确转化，从而无法找到证明问题的切入口；不能灵活运用综合法将作差后的代数式变形，从而导致无法证明不等式成立(2)证明问题(2
7、)时常因忽视条件“1bc，且abc0，求证0Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析：ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案：C3设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定正负解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)ab，则a，b应满足的条件是_解析
8、：abab()2()0a0，b0且ab.答案：a0，b0且ab7若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是_解析：P22a722a72，Q22a722a72，P20，Q0，PQ.答案：PQ8某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|.那么他的反设应该是_答案：“存在x1，x20,1，使得|f(x1)f(x2)|0，2m10，所以m.10已知f(x)ax2bxc，若ac0，f(x)在1,1上的最大值为2，最小值为.求证：a0且2.证明：假设a0或2.(1)
9、当a0时，由ac0，得f(x)bx，显然b0.由题意得f(x)bx在1,1上是单调函数，所以f(x)的最大值为|b|，最小值为|b|.由已知条件，得|b|(|b|)2，这与|b|(|b|)0相矛盾，所以a0.(2)当2时，由二次函数的对称轴为x，知f(x)在1,1上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得所以或又ac0，则此时b无解，所以2.由(1)(2)，得a0且0，证明：d1，d2，dn1是等比数列解：(1)d12，d23，d36.(2)证明：因为a10，公比q1，所以a1，a2，an是递增数列因此，对i1,2，n1，Aiai，Biai1.于是对i1,2，n1，diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1,2，n2)，即d1，d2，dn1是等比数列10 / 10精品DOC