相似矩阵的判定及其应用.doc

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1、相似矩阵的判定及其应用 摘要： 相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字： 相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。并通过一些具体的例子加以说明。下面我们首先

2、介绍相关的概念和性质。定义1 设，为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得=，就说相似于，记过渡矩阵矩阵等价特征矩阵行列式因子不变因子初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质：反身性: 对称性：如果，那么传递性：如果，那么在此基础上，定理 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。我们从下面的例1来看这个定理的应用。例1例2 设的线性变换将基=（-1，0，-2），=（0，1，2）=（1，2，5）变成（）=（2，0，-1），（）=（0，0，1），（）=（0，1，2）求在基，下的矩阵，其中=（-1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，2）.解题步骤：（1）先求出在基，下

3、的矩阵； （2）求出由基，到，的过渡矩阵； （3）求出在基，下的矩阵=.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1）为中介，若令 ， = ， =则（，）=（，） （，）=（，） （，）=（，），故在基，下的矩阵，并且由基，到基，的过渡矩阵，从而在基，下的矩阵定理 设A，为数域P上两个nn矩阵，它们的特征矩阵和等价则可得A与相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。证明： 和等价就是有可逆的矩阵和，使 =（）. （1）则存在矩阵和以及数字矩阵和使=（）+ （2）=（）+ （3）成立，把（1）改写成（）=（），式中的用（3）

4、代入，再移项，得 （）（）=（）右端次数等于1或=，因此（）是一个数字矩阵（后一情形下是零矩阵），记作，即 =（） （）=（） （4）现在我们来证明是可逆的.（4）的第一式可得 =+（） =+（） = +（）+等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少为1，由于 和都是数字矩阵，等式不可能成立.此 这就是说，是可逆的.由（4）的第二式可得 =（）因为（）= = =则可得和相似.定理 矩阵和相似和有相同的各级行列式因子；和有相同的不变因子；和有相同的初等因子一般我们用定理比用定理多，我们从两个例子看：例2 判断矩阵 ， 是否相似？解： 对，的特征矩阵，分别作初等变换可得： =故，有相同的初等因子

5、，所以，相似.例3 A是数领P上一个nn矩阵，证明A与相似.证明：设则=因为，即矩阵A与的特征矩阵互为转置矩阵，因而对应的K级子式相等，所以与有相同的各级行列式因子，则A与相似.也可以证明与等价来说明A与相似。这个例子可以作为定理1.2的应用。3.相似矩阵与矩阵对角化矩阵相似与矩阵对角化之间的关系，矩阵对角化的好处是？特征值和特征向量的概念：定义2：设A是n阶方阵，如果存在数和非零列向量x，满足关系式，则数称为A的 特征值，非零列向量x称为A的 对应的特征向量.易证：定义3(特征值与特征多项式)：称为n阶方阵A的特征多项式，它是的n次多项式.这样的特征多项式的根为的特征值.若阶方阵可与对角矩阵

6、相似，则称是可对角化的，简称可对角化. 设阶矩阵相似与对角矩阵，相似变换为：， 记的列向量为，的对角元素为，i=1，2，n，则上式为 （1）比较上式两端各列，得 i=1，2，n，这就是说为的特征值，为的对应于的特征向量.因为可逆，其列向量向量线性无关，所以可以得到结论：可以相似于对角矩阵的阶矩阵有个线性无关. 反之，阶矩阵有个线性无关的特征向量，设为，对应的特征值分别为，即 i=1，2，n. 矩阵以为列向量，以为对角线构成的对角矩阵，则，满足（1） ，则，因为线性无关，所以可逆，这样可得.所以又可得到结论：若阶矩阵有个线性无关，则相似与对角矩阵.由以上的讨论可得到如下的定理：定理 阶矩阵相似于

7、对角矩阵充分必要条件是此矩阵有个线性无关的特征向量.推论1 若一个矩阵的特征值互不相同，则此矩阵相似于对角矩阵.证明：阶矩阵必有个特征值，若它们互不相同，则它们对应的特征向量也线性无关，即此矩阵有个线性无关的特征向量.，由定理可得此矩阵相似于对角矩阵.证毕.注：若矩阵与一对角矩阵相似，的特征值未必互相相同.例1 对于矩阵=，我们判断其是否可对角化，若可对角化其特征值是否互不相同.解：特征多项式=的特征值1，1，-2对于其中=1，解方程（E-A）x=0，得到基础解系 ，对于其中=-2，解方程（-2E-A）x=0，得到基础解系故可得有三个线性无关的特征向量，由定理2.1可知与对角矩阵相似，但有两个

8、相同的特征值1，其特征值并非互不相同.设阶矩阵有个不同的特征值，它们的代数重数和几何重数分别为，i=1，2，h，的特征多项式为=，显然有.有个特征子空间，各个子空间的维数分别为，把各个子空间的基向量合在一起，得到一个个向量的向量组，称为的特征向量系.的每一个特征向量都可由的特征向量系表示出来.用证明“不同特征值所对应的特征向量线性无关”的方法，对特征子空间的个数运用数学归纳法，可证明：不同特征值的特征子空间的基，合在一起所得的向量组是线性无关的.因此，的特征向量系是线性无关的，而且是的所有特征向量构成的集合中最大线性无关组.这样，最多有个线性无关的特征向量.由于特征值的 几何重数不大于代数重数

9、，故，而且，只要有一个特征值的几何重数严格地小于代数重数，就有，结合定理2.1，可得如下结论：定理2.2 矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是其每一个特征值的几何重数都等于代数重数.由于矩阵特征值的代数重数和几何重数都至少为1，因此在运用定理2.2来判别一个矩阵是否相似于对角矩阵时，只要检查代数重数大于1的特征值 的几何重数即可.用相似变换化对角矩阵的求法：设是一个阶矩阵，1) 计算的特征多项式=.2) 求出的全部的根，这就是的全部的特征值（在求时要注意给定的数域）.3) 对于每个特征值，求出齐次线性方程组的 的一个基础解系，设其为， ，那么+（， 是指定数域中任意个不全为零的数）就是的属于特征

10、值的全部特征向量.这样我们求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.4）若有个线性无关的特征向量它们对应特征值分别为设P=（），则=这类问题关键在去特征值和特征向量，在此基础上写出相似变换矩阵及对角矩阵，它们分别由的线性无关的特征向量和对应特征值构成.例2 下列矩阵是否相似于对角矩阵：（1）= ； （2）=解：（1） =. 的特征值互不相同，故相似于对角矩阵. （2）=，=1，. 对于=1方程组的基础解系为；对于，方程组的基础解系为.3阶矩阵有3个线性无关的特征向量，故相似于对角矩阵.例3 设为阶方阵，是的n个特征值，试求行列式的值.解：由题设知由n个互异的特征值，所以可与对角矩阵相似，即

11、存在可逆矩阵P,使得由此可得： =，从而：=3相似矩阵与矩阵的标准形相似矩阵与矩阵标准型之间的关系？标准型的好处是？定理3.1每个级复数矩阵都与一个若而当形矩阵相似，这个若而当形矩阵除去其中若而当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为的若而当标准形. 证明：设级矩阵的的初等因子是 （其中可能有相同的，指数也可能有相同的）.每一个初等因子对应于一个若而当块这些若而当块构成一若而当形矩阵.根据以上的计算，的初等因子也是（1）.因为与有相同的初等因子，所以它们相似. 如果另一若而当形矩阵与相似，那么与就有相同的初等因子，因此与除了其中若而当块排列的次序外是相同的，由此即得唯一性.这个定理告诉了我们

12、，如何将一个矩阵化成与相似的标准形，其步骤是：（1）写出的特征矩阵；（2）求出的全部的初等因子；（3）写出每个初等因子对应的块；（4）写出标准形.例1 求出的标准形.解：1）（2） 的初等因子是，（3）对应的块是对应的块是（4）例2 令是复数域上一个级方阵，（1） 证明：相似于一个下三角形矩阵（2） 令（1）级复数矩阵都于一个若而当形矩阵相似，设的若而当标准形为其中 ，由于是下三角形矩阵则为下三角形矩阵.则（3） 设为的特征多项式，且=(其中)=由(1)可得=推论1 方阵可对角化的充分条件是矩阵的特征矩阵的初等因子的都是一次的.我们知道了对于矩阵，要将其化为对角矩阵，我们要求存在可逆，使得为对

13、角形，进一步可将过渡矩阵加强为酉矩阵.我们看下面的定理：定理3.2 （舒尔（Schur）设为阶矩阵，其特征值为，则存在酉矩阵U，使得，其中T为上三角矩阵，其对角元素为，.证明：设为A的对应于的单位特征向量，把它扩充为的一组标准正交基，并用他们构成酉矩阵=，于是有由于相似矩阵同的特征值，因此可以推得-1阶矩阵的特征值为，.对可作同样的处理，即有-1阶酉矩阵，使得，其中-2阶矩阵的特征值为，令，社会阶酉矩阵，则 其中是对角元素为，上的三角矩阵，假设对于正整数（），可以找到个酉矩阵，使得 ，其中是对角元素为的上三角阵，为阶矩阵，其特征值为，如果，可按照前面的做法，找到阶酉矩阵，使得其中阶矩阵阶矩阵的

14、特征值为.令阶酉矩阵则其中是对角元素为的上三角矩阵.这个过程可继续进行下去，知道找到，使，其中为对角元素为的上三角矩阵，由于也是酉矩阵，把它记为，再把记为，即得.证毕.4相似矩阵的实际应用例4.1 某公司对职工进行分批脱产培训，现有在岗职工8000人，脱产培训2000人，计划每年从在岗职工中抽调30%的人参加脱产培训，而在培训人员中让60%的人结业回到工作岗位上，设年后在岗职工于脱产培训人数分别为，记为向量，若职工总人数不变.（1） 求与的关系式，并写成矩阵形式=；（2） 求，且当充分大时，求在岗职工人数与脱产培训人数之比.解 （1）得=. （*）（2）由（*）式可得=，其中，为计算，先求.由

15、，对于=0.1，解（0.1-）x=0，得基础解系.对于解，得基础解系，令P=，则，. 当充分大时，.例4.2 某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明，已经使用本公司的产品客户中有60%表示仍回继续购买该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中，25%的客户表示将购买该产品，目前该产品在市场的占有率为 60%，能否预测年后该产品市场占有状况？ 解： 设第年购买该公司产品的客户为，不购买该公司产品的客户为，则有，写成矩阵的形式其中，令，则有由，得的特征值分别解得到相应的特征向量为，则，于是，则，当时，计算.这说明该产品市场占有率将由0.6下降到0.385，因此该公司应根据这份预测报告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市产场占有率.第 14 页 共 14 页