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1、.因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。 左边 = 右边 多项式 整式整式（单项式或多项式）理解因式分解的要点：1 是对多项式进行因式分解；2 每个因式必须是整式；3 结果是积的形式；4 各因式要分解到不能再分解为止。因式分解和整式乘法的关系。5 因式分解的一般步骤第一步第二步123提取公因式法看项数两项式：平方差公式三项式：完全平方公式、十字相乘法多项式有因式乘积项 展开 重新整理 分解因式例 1、下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1） x 2 -y 2 +1 =(x+y)(x-y)+1；（2）(x-2)(x+1)=x2-x-2
2、；（3） 6 x 2 y 3 =3 xy 2xy 2 ； （4） (x-y)+(y-x)a2=(x-y)(1-a2)；（5）x 2 y +6 xy +9 y =xyx +6 +9x1.提公因式法形如ma +mb +mc =m(a +b +c)把下列各式分解因式（1）x2yzxy2zxyz2（2）14pq28pq2（3）4a2b8ab2（4）8x416x3y（5）3a2b6ab6b（6）x2xyxz（7）16y432y38y2（8）(2ab)(2a3b)3a(2a b)（9）x(xy)(xy)x(xy)2（10）(mn)(pq)(nm)(pq)（11）x(ab)y(ba)z(a b)2 2 2
3、21、2.运用公式法平方差公式： a 2 -b =( a +b )( a -b ) ，完全平方公式： a 2 ab +b =( a b )思想方法 （1）直接用公式。如：x24a2 +4 ab +4b 2 =( a +2b ) 2（2）提公因式后用公式。如：ab2aa（b21）a（b+1）（b1）（3）整体用公式。如：(2a +b )2 -( a -2b) 2=(2 a +b ) +( a -2b) (2 a +b ) -( a -2b ) =(3a -b )( a +3b )（4）连续用公式。如：( a 2 +b 2 -c 2 ) 2 -4 a 2 b 2（5） 化简后用公式。如：（ab）2
4、4ab（6） 变换成公式的模型用公式。如：x2 +2 xy +y 2 -2 x -2 y +1 =( x +y ) 2 -2( x +y) +1 =( x +y -1) 2式： x ( x +y )( x -y ) -x ( x +y)22.x4-16 y43.x3y -xy34.( x -3 y )2-4 x25.1 2 1 x 2 + xy + y3 3 32 (xy)26(xy)9 (ab)24(ab)c4c2 x3xy2 a32a2bab2 a28ab16b2 x2(mn)4x(nm)4(nm) 2x22x12 (x2y2)(xy)(x y)3 p4q43.十字相乘法2+3 x +2
5、= 1、 xx 2+( p+q ) x+pq=( x+2、p) ( xq)+x-7 x +6 = 23、x2-4 x -21 =4、 x 2 +2 x -15 =5、x 4 +6 x 2 +8 =6、( a +b ) 2 -4( a +b ) +3 =7、 x2-3 xy+2 y2=8、x4-3 x3-28 x2=9、3x2+11x+10 =10、2 x2-7 x +3 =( )( )2 ab -a 2b 2 -1 +c 2 ;( ) ( )11、6 x2-7 x-5 =12、5 x2 +6 xy -8 y 2=13、2 x2+15 x+7 =14、3a2-8a +4 =15、 5 x 2 +
6、7 x -6 =例 2、因式分解26、5a 2 b 2 +23ab -10 =(1)2 x3-8 x;(2) 4an -1b 2-16an +1(3)x4y2-6 x2y2+9 y2.(4)、 x +2 x -4 -7;1 1 1例 3、 设 a m1,b m2,c m3,求代数式 a22abb22ac22 2 2练习bcc2 的值1、a5a；2、3x312x236x；3、 9x212xy36y2；4、（a2b2）23（a2b2）18；5、a22abb2ab；6.（m23m）28（m23m）20；7、4a2bc3a2c28abc6ac2；8、（y23y）（2y6）2. 9、2xn24xn6xn
7、210、9m 2 -25n 4 ;11、 8a -4 a2-4;12、(x+y)4-(x-y)4;13、 14、ab c 2 +d 2 +cd a 2 +b 2 ;分解因式测试题一、选择题：1下列各多项式中,不能用平方差公式分解的是( )A. a2b21 B 4025a2Ca2b2Dx2+12 如果多项式 x2mx+9 是一个完全平方式,那么 m 的值为( ) A3 B 6 C3 D63 下列变形是分解因式的是( )A6x2y2=3xy2xy B a24ab+4b2=(a2b)2C(x+2)(x+1)=x2+3x+2 D x296x=(x+3)(x 3)6x 4下列多项式的分解因式，正确的是（
8、 ）（A） 12 xyz -9 x 2 y 2 =3 xyz (4 -3 xyz )（C） -x 2 +xy -xz =-x( x 2 +y -z )（B） 3a 2 y -3ay +6 y =3 y ( a 2 -a +2)（D） a 2 b +5ab -b =b ( a 2 +5a )5满足m2+n2+2m -6n +10=0的是（ ）（A） m =1, n =3 （B ） m =1, n =-3（C） m =-1,n =3 （D） m =-1,n =-3 6把多项式 m 2 ( a -2) +m (2 -a ) 分解因式等于（ ）A( a -2)( m2+m )B( a -2)( m2-
9、m )C、m(a-2)(m-1)D、m(a-2)(m+1)7下列多项式中，含有因式 ( y +1) 的多项式是（ ）A、 y 2 -2 xy -3 x2B、 ( y +1) 2 -( y -1)2C、( y +1)2-( y2-1)D、( y +1) 2 +2( y +1) +18已知多项式 2 x2+bx +c 分解因式为 2( x -3)( x +1) ，则 b, c 的值为（ ）A、 b =3, c =-1B、 b =-6, c =2C、 b =-6, c =-4D、 b =-4, c =-69 a、b、c是ABC 的三边，且 a 2 +b2 +c2 =ab +ac +bc，那么ABC
10、的形状是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形10、在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（ab）。把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）。通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A、 a 2 -b 2 =( a +b )( a -b )B、 ( a +b ) 2 =a 2 +2 ab +b2C、 ( a -b )2=a2-2 ab +b2D、 a2-ab =a ( a -b )二、填空题： 11多项式2x212xy2+8xy3 的公因式是_12 利用分解因式计算:32003+6320023 2004=_13 _+49x2+y2=(
11、_y)214 请将分解因式的过程补充完整: a32a2b+ab2=a (_)=a (_) 2 15已知 a26a+9 与|b1|互为相反数,计算 a3b3+2a2b2+ab 的结果是_16x 216+（）+1 =( ) 2 ，1 1x 2 -( ) 2 = x +( )( ) -2y 4 217若x2+ px +q =( x +2)( x -4)，则 p= ，q= 。18已知 a +1 1=3 ，则 a 2 + 的值是 。 a a 219若 x2+mx +n是一个完全平方式，则 m 、 n 的关系是 。20已知正方形的面积是 9 x2+6 xy +y2（x0，y0）,利用分解因式，写出表示该正
12、方形的边长的代数式 。三、解答题：21：分解因式（1）(x2+2x)2+2(x2+2x)+1 （2） ( xy +1)( x +1)( y +1) +xy（3） 2 x 2 +2 x +12（4） ( a -b )(3a +b ) 2 +( a +3b ) 2 (b -a )22已知 x22(m3)x+25 是完全平方式,你能确定 m 的值吗?不妨试一试23先分解因式,再求值：（1）25x(0.4y)210y(y0.4)2,其中 x=0.04,y=2.4（2）已知 a +b =2， ab =2 ，求1 1 a 3 b +a 2 b 2 + ab2 23的值。24利用简便方法计算（1） 2022
13、+1982（2）200520042004- 20042005200525若二次多项式 x 2 +2 kx -3k 2 能被 x-1 整除，试求 k 的值。2x +y =626不解方程组 ，求x -3 y =17 y ( x -3 y ) 2 -2(3 y -x ) 3 的值。27已知 a、b、c 是ABC 的三边的长，且满足 a2+2b2+c2-2b ( a +c ) =0 ，试判断此三角形的形状。28读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1) =(1+x)2(1+x) =(1+x)3(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了次.(2) 若分解 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ + x (x+1)2004，则需应用上述方法次，结果是.(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ x(x+1)n(n 为正整数).