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1、xxx y x y，a b a3b基本不等式训练题一、题点全面练x21已知 f(x)2x1 1 ，则 f(x)在，32 上的最小值为( )A.1 4B.2 3C1 D0x2解析：选 D f(x)2x1 1x 2220， x x1 1 当且仅当 x ，即 x1 时取等号又 1，32 ，1所以 f(x)在，3上的最小值是 0.2 2(2018哈尔滨二模)若 2x2y1，则 xy 的取值范围是( )A0,2C2，)B2,0 D(，2解析：选 D 由 12 2 2 2 2 ，变形为 2时取等号则 xy 的取值范围是(，21xy ，即 xy2，当且仅当 xy 41 23若实数 a，b 满足 ab，则 a
2、b 的最小值为( )a bA. 2C2 2B2D41 2解析：选 C 因为 ab，所以 a0，b0，a b1 2 1 2 由 ab 2 2a b a b2ab所以 ab2 2(当且仅当 b2a 时取等号)，所以 ab 的最小值为 2 2.3 1 m4已知 a0，b0，若不等式 恒成立，则 m 的最大值为( )a b a3bA9C183 1 m解析：选 B 由 ，B12D24a ba ba b当且仅当 a b时等号成立a ba bx x y3 1 9b a得 m(a3b) 6. 9b a又 62 9612， 9b a ，即 3 ，m12，m 的最大值为 12.1 95正数 a，b 满足 1，若不
3、等式 abx24x18m 对任意实数 x 恒成立，a b则实数 m 的取值范围是( )A3，) C(，6B(，3 D6，)1 9解析：选 D 因为 a0，b0， 1，a b1 9所以 ab(ab) b 9a b 9a10 102 916，当且仅当 ，即 a4，b a b a b12 时，等号成立由题意，得 16x24x18m，即 x24x2m 对任意实数 x 恒成立，令 f(x)x24x2(x2)26，所以 f(x)的最小值为6，所以6m，即 m6.1 16(2019青岛模拟)已知 x0，y0，(lg 2)x(lg 8)ylg 2，则 的最小值x 3y是_1 1 1 1 解析：因为(lg 2)
4、x(lg 8)ylg 2，所以 x3y1，则 3y 3(x3y)23y x 3y x 1 1 1 1 4，当且仅当 ，即 x ，y 时取等号，故 的最小值为 4. x 3y x 3y 2 6 x 3y答案：47若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值为_解析：304x29y23xy2 36x2y23xy，即 3015xy，所以 xy2，2 3当且仅当 4x29y2，即 x 3，y 时等号成立3故 xy 的最大值为 2.答案：28 2 x yy xy x8规定：“”表示一种运算，即 ab abab(a，b 为正实数)若 1k3，则 kkx的值为_，此时函数 f(x) 的最
5、小值为_x解析：由题意得 1k k1k3，即 k k20，解得 k1 或 k2(舍去)，所以 k1，故 k 的值为 1.1x xx1 1又 f(x) 1 x 123，x x x当且仅当 x1，即 x1 时取等号， x故函数 f(x)的最小值为 3.答案：1 39已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求： (1)xy 的最小值；(2)xy 的最小值8 2解：(1)由 2x8yxy0，得 1.x y又 x0，y0，8 2 8 2 8则 1 2 ，得 xy64， x y x y xy8 2当且仅当 ，即 x16 且 y4 时，等号成立 x y所以 xy 的最小值为 64.8 2(2)由 2x8yxy
6、0，得 1，x y则 xy (xy)2x 8y10 1022x 8y 18.2x 8y当且仅当 ，即 x12 且 y6 时等号成立， y x所以 xy 的最小值为 18.3 810(1)当 x 时，求函数 yx 的最大值；2 2x3(2)设 0x2，求函数 y x1 8 3 解：(1)y (2x3) 2 2x3 22x 的最大值 2 x 22 xabaabaa1a1 b2 a1 2a a1 2232x 8 3 .32 23当 x 时，有 32x0， 232x 8 2 32x32x 8 4，3232x 8 1当且仅当 ，即 x 时取等号2 32x 23 5 5于是 y4 ，故函数的最大值为 .2
7、 2 2(2)0x2，2x0，y x2x 2 xx2xx 2 2，2当且仅当 x2x，即 x1 时取等号，当 x1 时，函数 y x2x 的最大值为 2.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分11已知 ab1，且 2log b3log a7，则 a 的最小值为( )b21A3C2B. 3D. 23 1解析：选 A 令 log bt，由 ab1 得 0t1,2log b3log a2t 7，得 t ，t 21 1 1即 log b ，ab2，所以 a a1 12 2 b21 a11当 a2 时取等号故 a的最小值为 3.b21a113，当且仅1 2 2 12若正数 a，b 满足： 1，则 的最小
8、值为( )a b a1 b2A23 2B.2C.523 2D141 2 2a解析：选 A 由 a，b 为正数，且 1，得 b 0，所以 a10，a b a12 1 2 1 2 a1所以 a1a1 2a1 2 a ba1 b2xxm n 2m 2n2m 2nm n22 a1 2，2 a1 1 2当且仅当 和 1 同时成立， 即 ab3 时等号成立，2 1所以 的最小值为 2.33函数 y12x (x0)的值域为_x3 3解析： x 0 ，y1 2x 1 ( 2x) 1 2 2x3x1 2 6，当且仅当 x6 3时取等号，故函数 y12x (x0)的值域为12 6，) 2 x答案：12 6，)(二
9、)交汇专练融会巧迁移4与函数交汇已知函数 f(x)log (x4)1(a0 且 a1)的图象恒过定点 A，若ax y直线 2(m0，n0)也经过点 A，则 3mn 的最小值为( )m nA16C12B8D14解析：选 B 由题意，函数 f(x)log (x4)1(a0 且 a1)，a令 x41，可得 x3，代入可得 y1，图象恒过定点 A(3，1)x y直线 2(m0，n0)也经过点 A，m n3 1 3 1 2，即 1.3 1 9 1 3n 3m3mn(3mn) 22 2 2m 2n时，取等号)3mn 的最小值为 8.3n 3m 5 8(当且仅当 nm2 2m 2n5与数列交汇已知首项与公比
10、相等的等比数列a 中，若 m，nN*，满足 a a2a2n m n 4，2 1则 的最小值为( )A13B.2 2m nm nm n m n m n m nC29D.2解析：选 A 根据题意，设a 的公比为 q，n则 a qm，a qn，a q4.m n 4由 a a2a2得 qm2nq8，m n 4m2nm2n8， 1.82 1又 m，nN*， m nm2n m2n 1 n m 1 1 8m 8n 4 2m 8n 4 211，16n m当且仅当 ，即 m2n4 时取“”，2m 8n2 1 的最小值为 1.6与解析几何交汇若直线 mxny20(m0，n0)被圆(x3)2(y1)21 所截1 3
11、得的弦长为 2，则 的最小值为( )A4C12B6D16解析：选 B 圆心坐标为(3，1)，半径为 1，又直线被圆截得的弦长为 2，所以直1 3 1 1 3 1 n 9m线过圆心，所以 3mn20，3mn2，所以 (3mn) 6 m n 2 21262n 9m m n n 9m 1 36，当且仅当 时取等号，因此 的最小值为 6，故选 B.x2y30， 7与线性规划交汇已知 x，y 满足x3y30，y1，1 4正数 a，b 满足 abm，则 的最小值为_a bz2xy 的最大值为 m，若解析：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z2xy 的几何意义为直线 2xyz0 在 y 轴上的截距，由图可知，当直线过点 M 时，直线 2x yz0 在 y 轴上的截距最大，即目标函数 z2x y 取得最大值，由x2y30， x3y30，解得 M(3,0)，所以 z 的最大值为 2306，即 m6，所以 ab6，a b a b a b 6a b1 4 11 4 1 b 4a 1故 (ab) 5 526 6a2 时等号成立3答案：2b 4a 3 b 4a ，当且仅当 ，即 b4， a b 2