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1、第十四章部分课后习题参考答案5、设无向图 G 有 10 条边，3 度与 4 度顶点各 2 个，其余顶点的度数均小于 3，问 G 至G、借鉴答案b少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、解：由握手定理图 G 的度数之和为： 2 10 = 20( ) (G) 。3 度与 4 度顶点各 2 个，这 4 个顶点的度数之和为 14 度。其余顶点的度数共有 6 度。其余顶点的度数均小于 3，欲使 G 的顶点最少，其余顶点的度数应都取 2,所以，G 至少有 7 个顶点, 出度数列为 3,3,4,4,2,2,2, () = 4 ,( ) = 2 .G G7、设有向图 D 的度数列为 2，3，2，3，出
2、度列为 1，2，1，1，求 D 的入度列，并求(D), (D) ，+ (D),+ ( ) , D( D),(D) .解：D 的度数列为 2，3，2，3，出度列为 1，2，1，1，D 的入度列为 1,1,1,2.( ) = 3, ( ) = 2 , +D D(D) = 2, + ( ) = 1, D( D) = 2,( D) = 18、设无向图中有 6 条边，3 度与 5 度顶点各 1 个，其余顶点都是 2 度点，问该图有多少个顶点？解：由握手定理图 G 的度数之和为： 2 6 = 12设 2 度点 x 个，则 3 1 + 5 1 + 2x = 12 ， x = 2 ，该图有 4 个顶点.14、
3、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出 3 种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。(1) 2,2,3,3,4,4,5(2)2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23是奇数，不可图化；(2)22+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化；18、设有 3 个 4 阶 4 条边的无向简单图 G1、G2、G3，证明它们至少有两个是同构的。证明：4 阶 4 条边的无向简单图的顶点的最大度数为 3，度数之和为 8，因而度数列1为 2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但 3，3，1，1 对应的图不是简单图。所以从同构的观点看，
4、4 阶 4 条边的无向简单图只有两个：所以，G1、G2、G3 至少有两个是同构的。20、已知 n 阶无向简单图 G 有 m 条边，试求 G 的补图 G 的边数 m 。 解： = n(n 1)m2m21、无向图 G 如下图(1)求 G 的全部点割集与边割集，指出其中的割点和桥；(2) 求 G 的点连通度 k (G) 与边连通度 (G) 。ae1e2debe5解：点割集: a,b,(d)e3e4c边割集e2,e3,e3,e4,e1,e2,e1,e4e1,e3,e2,e4,e5k( ) = (GG) =1k23、求 G 的点连通度 (G) 、边连通度 ( G) 与最小度数 ( ) 。 Gk解： (G
5、) = 2 、 (G) = 3、 ( ) = 4G28、设 n 阶无向简单图为 3-正则图，且边数 m 与 n 满足 2n-3=m 问这样的无向图有几种非同构的情况？3解： n = 2m得 n=6,m=9.2n 3 = m231、设图 G 和它的部图 G 的边数分别为 m 和 m ，试确定 G 的阶数。 解： m + m= n(n + 1)2 1 +得 n =1 + 8(m + m)245、有向图 D 如图(1)求 v2 到 v5 长度为 1，2，3，4 的通路数；(2)求 v5 到 v5 长度为 1，2，3，4 的回路数；(3)求 D 中长度为 4 的通路数；(4)求 D 中长度小于或等于
6、4 的回路数；(5)写出 D 的可达矩阵。v1v4v5v2v3解：有向图 D 的邻接矩阵为： 0000 10100 00002 02020 0 01011 1 ， A 01A = 000021013020 10100 00002 02020 = 0 20010 0 A020 20200 = 20 4 0000 00004 40400 4 = 00004 A 40400 0 04042A + A +3A + A 01 524 = 21 42 25215 522 215 522 425(1) v2 到 v5 长度为 1，2，3，4 的通路数为 0,2,0,0；(2) v5 到 v5 长度为 1，2
7、，3，4 的回路数为 0,0,4,0；(3)D 中长度为 4 的通路数为 32；(4)D 中长度小于或等于 4 的回路数 10；311(4)出 D 的可达矩阵= 1P111 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 111 1 1第十六章部分课后习题参考答案1、画出所有 5 阶和 7 阶非同构的无向树.2、一棵无向树 T 有 5 片树叶，3 个 2 度分支点，其余的分支点都是 3 度顶点，问 T 有几个顶点?解：设 3 度分支点 x 个，则5 1 + 3 2 + 3x = 2 (5 + 3 + x 1) ，解得 x = 3T 有 11 个顶点3、无向树 T 有 8 个树叶，2 个 3
8、度分支点，其余的分支点都是 4 度顶点，问 T 有几个 4度分支点？根据 T 的度数列，请至少画出 4 棵非同构的无向树。 解：设 4 度分支点 x 个，则8 1 + 2 3 + 4x = 2 (8 + 2 + x 1) ，解得 x = 2度数列 11111111334444、棵无向树 T 有ni几片树叶?(i=2，3，k )个 i 度分支点，其余顶点都是树叶，问 T 应该有解：设树叶片，则xini i + x 1 = 2 (ni+ x 1) ，解得 x = ( 2)ni + 2评论：2，3，4 题都是用了两个结论,一是握手定理，二是 m = n 1至5、n(n3)阶无向树 T 的最大度 少为
9、几？最多为几？解：2，n-16、若 n(n3)阶无向树 T 的最大度 =2，问 T 中最长的路径长度为几？解：n-17、证明：n(n2) 阶无向树不是欧拉图. 证明：无向树没有回路，因而不是欧拉图。8、证明：n(n2) 阶无向树不是哈密顿图. 证明：无向树没有回路，因而不是哈密顿图。9、证明：任何无向树 T 都是二部图.证明：无向树没有回路，因而不存在技术长度的圈，是二部图。10、什么样的无向树 T 既是欧拉图，又是哈密顿图? 解：一阶无向树14、设 e 为无向连通图 G 中的一条边， e 在 G 的任何生成树中，问 e 应有什么性质?解：e 是桥15、设 e 为无向连通图 G 中的一条边，
10、e 不在 G 的任何生成树中， 问 e 应有什么性质?解：e 是环23、已知 n 阶 m 条的无向图 G 是 k(k2)棵树组成的森林，证明：m = n-k.； 证明：数学归纳法。k=1 时, m = n-1，结论成立；设 k=t-1(t-1 1 )时，结论成立，当 k=t 时, 无向图 G 是 t 棵树组成的森林,任取两棵树，每棵树任取一个顶点，这两个顶点连线。则所得新图有 t-1 棵树，所以 m = n -（k-1）.所以原图中 m = n-k得证。24、在图 16.6 所示 2 图中，实边所示的生成子图 T 是该图的生成树.(1)指出 T 的弦，及每条弦对应的基本回路和对应 T 的基本回
11、路系统.5(2) 指出 T 的所有树枝， 及每条树枝对应的基本割集和对应 T 的基本割集系统.(a)(b)图 16.16解：(a)T 的弦：c,d,g,hT 的基本回路系统: S=a,c,b,a,b,f,d,e,a,b,h,e,a,b,f,gT 的所有树枝: e,a,b,fT 的基本割集系统: S=e,g,h,a,c,d,g,h,b,c,d,g,h,f,d,g(b)有关问题仿照给出25、求图 16.17 所示带权图中的最小生成树.(a)(b)图 16.17解：注：答案不唯一。37、画一棵权为 3，4，5，6，7，8，9 的最优 2 叉树，并计算出它的权.638.下面给出的各符号串集合哪些是前缀
12、码?A1=0，10，110，1111是前缀码 A2=1，01，001，000 是前缀码 A3=1，11，101，001，0011不是前缀码 A4=b，c，aa，ac，aba，abb，abc是前缀码 A5= b，c，a，aa，ac，abc，abb，aba不是前缀码41.设 7 个字母在通信中出现的频率如下:a: 35%b: 20% c: 15%d: 10% e: 10%f: 5%g: 5%用 Huffman 算法求传输它们的前缀码.要求画出最优树，指出每个字母对应的编码.并指出传输 10n(n2)个按上述频率出现的字母，需要多少个二进制数字.解：a:01b:10c:000d:110e:001f:1111g:1110W(T)=5*4+5*4+10*3+10*3+15*3+20*2+35*2=255传输 10n(n2)个按上述频率出现的字母，需要 255*10n-2 个二进制数字.7