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1、巧解数学题，体验数学美 数学从数量关系和空间形式反映着客观世界，刻划着自然，充分地反映客观世界的和谐和统一。因此，数学必然是美的统一体。什么是数学美呢？有人认为，数学美可以说是带一定主观色彩的精致的直觉；也有人认为，数学美是人的本质力量通过宜人的数学思维所呈现的。更有人说：数学是一种理性的美。英国数学家哈代说：“现在也许难以找到一个受过教育的人，对于数学美的魅力全然无动于衷。数学美可能很难定义，但它确是一种真实的美，和任何其它的美一样。”数学中的简洁性、和谐性、奇异性、对称性等诸多方面均展现着数学自身的美。在数学教学中，如果教师能够充分挖掘教材之中的美学因素，把数学组织成为发现、鉴赏和创造数学
2、美的过程，引导学生在数学美的海洋里去遨游、去欣赏、去发现、去感受，学生就会在潜移默化中受到美的熏陶，逐渐形成数学美感。特别是数学解题教学时，解题的简与繁的对比、命题的非常规解法以及对称解法等都能给人以美的体验。因而，数学美的观念是指数学解题的重要思想，是数学思维的重要策略。在解题过程中，充分展示数学的简洁、和谐、奇异和对称等数学美，可使学生对数学产生好奇心，从中去认识数学美的作用。所以，“美的观点一旦与数学问题的条件与结论的特点相结合，思维主体就能凭借已有的知识经验产生审美直觉，从而确定解题的总体思路或入手方向。” 一、 通过繁与简的解法对比，体现简洁美简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于
3、它的简洁，数学中人们对于简洁的追求是永无止境的；建立公理体系，人们试图找出最少的几条公理，命题的证明人们力求完整、简练，计算方法尽量简捷、明快，因而人们不断追求、探索计算方法的改进。法国哲学家狄德说道：数学中所谓美的解答，是对于困难而复杂的问题的简单回答。有许多数学题，其表面形式很复杂，但其本质总是存在简单性的一面，在解题过程中，只要我们引导学生认真观察问题、分析问题，找到问题的本质，寻求简洁解法，就能体验出数学的简洁美。例1 已知方程（a2-2b2）x2+(2b2-2c2)x+2c2-a2=0有两个相等的实数根。求证：a2=b2+c2分析 这类题的常规思路是运用判别式定理证明，但那样运算繁冗
4、，所以寻求别的更为简洁的方法，经过观察可发现各项系数和为零，从而知方程必有一根为1，又因为已知方程两根相等，故两根均为1，由韦达定理可得：a2-2b2=2c2-a2,即a2=b2+c2。这种证法抓住了问题的要害，达到了“一变道破”、“一针见血”的境地，证题过程流畅、明快、简洁，给人一种美的享受。再看：例2 若xy-x-y-4=0，求（xy-1）2-2x2y-2xy2+x2+y2+6xy-2x-2y的值分析 无论是由已知式得到xy=x+y+4还是用x表示y后代入化简，都相当复杂，是否有比较简单的解法？经过观察，有简单的解法，因为x+y=xy-4，将原式进行恰当的变形，立即可得原式等于25，当然还
5、有更简洁的方法，我们可以发现，在一般情况下成立的结论，在特殊情况下必然成立。所以，可在已知条件下取特殊值，如取x=0，得y=-4，代入愿式，立即可得原式=y2-2y+1=25那些冗长的、复杂的、拖泥带水的解法总不会令人满意,但简洁、明快的解法总能给人心旷神怡的美好感觉,给人以愉快的享受。二、 利用和谐美,启迪解题思路美必然是和谐的.和谐美也是数学美的重要特征之一。和谐是雅致、严谨和无矛盾的。数学的严谨性自然流露出它的和谐性。为了追求严谨性， 追求和谐，数学家们一直在努力，以消除数学中不和谐的东西，从而达到数学的协调性，同时也促进了数学的发展。在数学教学中，我们知道，解数学题的关键在于把原问题转
6、化为一个更容易的问题，而实现转化的依据就在于原问题在其本质上是完全统一的，数学的和谐美能透露出这方面的信息，为我们实现这种统一指引了方向，为找到解题的途径奠定了基础。一个和谐的命题往往可以启迪我们的解题思路。例3 已知 求x2+y2+z2+ w2的值分析 已知的四个方程井然有序，给人以和谐的美感，于是凭直觉也能感受到，如果通过通分，分别求出x2，y2，z2，w2的值，就会破坏了这种美的形式，同时运算繁冗，这就启发我们要另览捷径。通过认真观察、对比，可以从方程有序的规律之中发现四个方程只有22，42，62，82，且是关于t的方程 的四个根，把这个方程去分母，整理得t4-（x2+y2+z2+w2+
7、12+32+52+72）t3+=0 由四次方程的韦达定理,得x2+y2+z2+w2+12+32+52+72=22+42+62+82容易求得 x2+y2+z2+w2=36.从命题的美感中得到启示，找到了美的解法，这绝非是偶然的巧合，而是在和谐美的指引下的必然结果。希腊数学家斐安说:“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。”用和谐美的观点看，解题过程就是一个和谐地协调各种关系，即沟通已知和未知、条件和结论、部分和整体等对立面之间的相互联系，使其转化统一而达到结论的过程。三、 构造对称美，简化解题过程对称美是数学中最普遍的一种美，著名德国数学家魏尔说过：“美和对称是紧密相
8、连的。”由于现实世界处处有对称，既有轴对称、中心对称和镜对称等对称形式，又有周期、节奏和旋律的时间对称，作为研究现实世界的空间形式与数量关系的数学，自然会渗透着圆满和自然的对称美。用对称的观点去处理问题，往往可以从问题的一部分自然联想另一部分。于是通过构造使问题转化为完美的对称问题，从而使问题化繁为简，化难为易。例4 已知三角形ABC的三边长为a、b、c，且CD，BE 分别是ACB，ABC的外角平分线，CDAD，AEBE，求DE的长。 从图形上来看，ED和BC可以是平行的，于是猜测DE是某个三角形的中位线，那么，是哪个三角形呢？已知中有对称的条件，由对称美不难想到把AEB沿BE翻转得到BEF，
9、把ADC沿DC翻转得到DGC，这样就得到一个完整的AFG，而且容易证明DE就是AFG的中位线。所以DE等于ABC三边和的一半。四、 发现奇异美，突破解题常规培根说：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异。”“美在于奇异而令人惊异”。数学中有许多变异现象。它们往往与人们预期的结果相反，令人失望之余，也给人探索的动力。奇异中蕴含着奥妙与魅力，奇异中也隐藏着道理与规律。数学题有一般的规律和一般的解题模式，但每个数学题都有各自特殊的性质，这些特殊的性质构成了数学的奇异美，根据数学的奇异美，在求解某些数学问题时，要打破常规，突破现成的思维模式，找到别开生面，出奇制胜的解法。利5 比较 的大小分析
10、这道题的常规方法是化成同分母后比较大小，但如此的运算量太大，通分太难，那么反过来统一分子又如何呢？往问题的反面思考，思路豁然开朗。数学解题，有常规解、巧解和妙解三种解法之分。利用数学基础知识、基础方法，按步就班解数学题，这是常规解法；灵活运用各种数学知识和方法，取巧解题，称之为巧解，巧解中最高境界者，称之为妙解。在解题实践中探求巧解和妙解，是对数学美的追求。从大的方面来讲，数学家在对数学美的追求中，不断发现新的结论和新的领域，从而不断推动数学向前发展；从小的方面来讲，学生们在对数学美的追求中，激发学生数学兴趣和求知欲望，培养学生的审美能力和创新能力。数学教师应该深入地挖掘和精心提练数学教材中美的因素，充分利用这些教材培养学生用数学美的思想指导解题，使学生从行之有效的数学方法和灵活巧妙的解题技巧中感受和发现数学美，并通过优化自己的解题方法来表现和创造数学美。