《2020春八年级数学下册 第19章 全等三角形 19.4逆命题与逆定理 4线段的垂直平分线习题课件 华东师大版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020春八年级数学下册 第19章 全等三角形 19.4逆命题与逆定理 4线段的垂直平分线习题课件 华东师大版.ppt（32页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、4.线段的垂直平分线,1.线段的垂直平分线 (1)性质定理 定理描述:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的 _. 几何语言:如图,MNAB,垂足为点C,AC=BC,_.,距离相等,PA=PB,(2)判定定理 定理描述:到一条线段的两个_的_相等的点,在这条 线段的垂直平分线上. 几何语言:如图,QA=QB,点Q在AB的垂直平分线上.,端点,距离,【归纳】线段的垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理.,2.三角形三边垂直平分线的性质定理 (1)定理描述:三角形三条边的垂直平分线相交于_,并且该 点到三个顶点的_. (2)几何语言:如图,直线l，m，n分别是三角形三边的垂直平 分线,OA
2、=OB=OC.,一点,距离相等,【点拨】三角形三条边的垂直平分线的交点和三角形三内角平 分线的交点不同.,【预习思考】 1.一条线段及线段的垂直平分线是轴对称图形吗? 提示：是. 2.是否存在一种三角形,有一点到三角形各边的距离和到三角 形各顶点的距离都相等? 提示：等边三角形内有一点到三角形各边的距离和到三角形各 顶点的距离都相等.,线段垂直平分线的性质和判定的应用 【例1】如图,点B，C在SAT的两边上,且AB=AC. (1)请按下列语句用尺规画出图形 (不写画法,保留作图痕迹). ANBC,垂足为N； SBC的平分线交AN延长线于M； 连结CM. (2)该图中有_对全等三角形.,【解题探
3、究】 1.(1)根据已知条件,ABC是什么三 角形?过A点作的BC的垂线有什么特点? 答:AB=AC,ABC是等腰三角形,根 据等腰三角形的三线合一, 过A点作的BC的垂线是线段BC的垂直 平分线. (2)SBC的平分线交AN延长线的交点M有什么特点? 答:因为点M既在线段BC的垂直平分线上,又在SBC的平分线上, 所以点M到B，C两点的距离相等,到直线AS，BC，AT的距离相等.,2.(1)连结CM后,BMC是什么三角形? 答:BMC是等腰三角形. (2)寻找图中全等三角形,说出全等的依据: 答:ABNACN(H.L.)；MBNMCN(H.L.)；ABMACM(S.A.S.). (3)答案：
4、3,【规律总结】 线段垂直平分线口诀 遇见垂直平分线,引向两端把线连； 两条连线定相等,一般思路要记清. 要证线段倍与半，延长缩短可试验.,【跟踪训练】 1.如图,在ABC中,BC=8 cm,AB的垂直 平分线交AB于点D,交AC于点E,EBC的 周长等于18 cm,则AC的长等于( ) (A)6 cm (B)8 cm (C)10 cm (D)12 cm 【解析】选C.因为DE是AB的垂直平分线,所以EA=EB.所以 AC=AE+EC=EB+EC.又因为EB+EC+BC=18,BC=8,所以EB+EC= 18-8=10，即AC=10.故应选C.,2.如图,AC=AD,BC=BD,AB与CD相交
5、于O， 则AB与CD的关系是_. 【解析】因为AC=AD,BC=BD,所以,AB是线段CD的垂直平分线,即 AB垂直平分CD. 答案：AB垂直平分CD,【变式备选】 如图,已知AE=CE,BDAC.求证:AB+CD=AD+BC. 【证明】AE=CE,BDAC, BD是AC的垂直平分线, 即DA=DC,BA=BC, AB+CD=AD+BC.,3.ABC中,ABC=80, BAC=40, AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点 D，E.用圆规和直尺在图中作出AB的 垂直平分线DE. 【解析】如图所示:,线段垂直平分线的性质和判定的实际应用 【例2】(6分)为进一步打造“宜居重庆”,某区拟在新竣工的
6、矩 形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M到广场的两个 入口A，B的距离相等,且到广场管理处C的距离等于A和B之间距 离的一半,A，B，C的位置如图所示.请在 答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M 的位置.(要求:不写已知、求作、作法和 结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图).,【规范解答】如图所示: (1)连结AB 1分 (2)作出AB的垂直平分线 3分 (3)找出M点的位置5分 (4)标出字母M 6分,特别提醒:作M点时要以C为圆心,AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于M.,【互动探究】 例题能否先以C为圆心,AB的一半为半径画弧,然后再作AB的垂直 平分线? 提示：不可.因为不先
7、作出AB的垂直平分线,就找不到AB的一半, 无法以C为圆心画弧.,【规律总结】 线段垂直平分线性质及判定的应用 (1)线段的垂直平分线是证明线段相等的重要依据之一，在应用 时要注意分清条件与结论，防止混淆. (2)线段垂直平分线的图形结构中含有全等三角形，但在应用 时，一般情况下不用三角形全等的方法来解决，以免给解题增加 麻烦.,【跟踪训练】 4.如图,A，B，C三个居民小区的位置 成三角形,现决定在三个小区之间修建 一个购物超市,使超市到三个小区的距 离相等,则超市应建在( ) (A)在AC，BC两边高线的交点处 (B)在AC，BC两边中线的交点处 (C)在AC，BC两边垂直平分线的交点处
8、(D)在A，B两内角平分线的交点处,【解析】选C.要使超市到三个小区的距离相等,即超市的位置在 以A，B，C三个居民小区的位置成三角形的三边垂直平分线上, 又因为三角形三边垂直平分线交于一点,所以选项C正确.,5.如图,ABC中,DE垂直平分AC,与AC交于点E,与BC交于点D, C=15,BAD=60,则ABC是_三角形. 【解析】因为DE垂直平分AC,即DA=DC,所以DAC=C=15, ADB=15+15=30.又因为BAD=60，所以B=180- BAD-ADB=90,即ABC是直角三角形. 答案：直角,6.如图,八年级(1)班与八年级(2)班这两个班的学生分别在M，N 两处参加劳动,
9、现要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应 点P,使P到两条道路的距离相等,且使PM=PN,你能找出符合条件 的点P,并简要说明理由吗?,【解析】作BAC的角平分线AD,作线段MN的垂直平分线EF,AD 与EF交于点P,如图所示: AD平分BAC,点P到两条道路AB，AC的距离相等,又点P 在线段MN的中垂线上,PM=PN.,1.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这 个三角形是( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定,【解析】选B.假设AB上的点D是两边 的垂直平分线的交点,那么DA=DC, DB=DC,即A=DCA,B=DCB,因为
10、A+DCA+B+DCB=180,所以 DCA+DCB=ACB=90,所以, ABC为直角三角形.,2.如图是一张直角三角形的纸片，直角边AC=6 cm，BC=8 cm， 现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为 ( ) (A)4 cm (B)5 cm (C)6 cm (D)10 cm 【解析】选B.由勾股定理AB2=AC2+BC2=62+82=100，得AB= 10 cm，由题意知,3.如图,ABC中,C=90,DE是AB的垂直平分线,且 BADCAD=41,则B=_. 【解析】因为DE是AB的垂直平分线,所以B=DAB. 由C=90,得B+BAC=90.根据BADCAD=4
11、1,设 DAC=x,则x+4x+4x=90,解得x=10,即B=40. 答案：40,4.如图,AB=AD,BC=CD,AC，BD相交于点E.由这些条件可以得出 若干结论,请你写出其中三个正确结论_(不 要添加字母和辅助线,不要求证明).,【解析】因为AB=AD,BC=CD,所以AC是线段BD的垂直平分线,即 ACBD,ABD是等腰三角形,AC平分BAD,ADCABC. 答案：ACBD,ABD是等腰三角形,AC平分BAD, ADCABC(答案不唯一),5.如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于 长为半径画 弧,两弧相交于点C，Q,连结CQ与AB相交于点D,连结AC,BC.那么: (1)ADC=_度； (2)当线段AB=4,ACB=60时,求ABC的面积.,【解析】(1)根据题意,得QC是线段AB的垂直平分线， ADC=90. (2)AC=BC,ACB=60, ABC是等边三角形.CDAB,根据勾股定理,得,