《八年级数学下册 第1章 直角三角形1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）第1课时习题课件 （新版）湘教版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学下册 第1章 直角三角形1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）第1课时习题课件 （新版）湘教版.ppt（44页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.2直角三角形的性质和判定() 第1课时,1.掌握勾股定理,知道直角三角形三边之间的关系. 2.会运用勾股定理进行有关计算.(重点、难点),一、勾股定理 1.借助方格纸画一个直角三角形,使其两直角边分别是3cm,4cm, 通过测量,其斜边为_cm. 2.如图,四边形均是正方形(小正方形网格边长均为1),SA=_, SB=_,SC=25,则它们的面积之间满足:_.,5,16,9,SA+SB=SC,【总结】勾股定理:直角三角形两直角边a,b的_,等于斜 边c的_,即_.,平方和,平方,a2+b2=c2,二、勾股定理的拼图验证 如图,将4个非等腰的直角三角形拼成一个 大的正方形. 1.拼得大正方形
2、的边长为_,则它的面积 是: _;大正方形的面积还可以表示为_+4_. 2.由它们的面积关系可得_=_+4_,整理得_.,a+b,(a+b)2,c2,(a+b)2,c2,a2+b2=c2,(打“”或“”) (1)一个直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为5. ( ) (2)如果ABC中,C=90,那么AB2+BC2=AC2.( ) (3)勾股定理适用于任意的直角三角形.( ) (4)在直角三角形中,任意两边的平方和等于第三边的平方. ( ),知识点 1 勾股定理的证明 【例1】利用四个如图1所示的直角三角形,拼出如图2所示的图形,验证勾股定理. 【思路点拨】利用图形间的数量关系“大正方形
3、面积=四个直角三角形面积+小正方形面积”来验证.,【自主解答】如题干图所示,在图2中,利用图1边长为a,b,c的 四个直角三角形拼成一个以c为边长的正方形,则图2中的小正 方形的边长为(b-a),面积为(b-a)2,四个直角三角形的面积为 4 ab=2ab.由图2可知,大正方形的面积=四个直角三角形的 面积+小正方形的面积,即c2=(b-a)2+2ab,则a2+b2=c2问题得证.,【总结提升】勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明,也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用面积方法证明.,知识点 2 勾股定理的应用 【例2】
4、如图,在ABC中,ACB=90, CDAB,D为垂足,AC=2.1,AB=3.5. 求:(1)BC的长. (2)ABC的面积. (3)斜边AB上的高CD的长. (4)斜边被分成的两部分AD和BD的长.,【思路点拨】(1)勾股定理BC2=AB2-AC2BC. (2)两直角边的积的一半ABC的面积. (3)ABC面积的两种表示方法 ACBC= ABCDCD. (4)勾股定理AD2=AC2-CD2BD=AB-AD.,【自主解答】(1)BC2=AB2-AC2=3.52-2.12=2.82,所以BC=2.8. (2)SABC= ACBC= 2.12.8=2.94. (3)由三角形的面积公式得 ACBC=
5、 ABCD, 所以 2.12.8= 3.5CD,解得CD=1.68.,(4)在RtACD中,由勾股定理得:AD2+CD2=AC2, 所以AD2=AC2-CD2=2.12-1.682 =(2.1+1.68)(2.1-1.68) =3.780.42 =21.8920.21 =2290.210.21, 所以AD=230.21=1.26. 所以BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.,【总结提升】运用勾股定理求解线段长度问题的“四步法” 1.找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形. 2.定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系. 3.计算:根据勾股定理计算相关线段的平方. 4.
6、求值:估算所求数值是哪个数的平方,然后确定线段长度.,知识点 3 利用勾股定理解决实际问题 【例3】如图,在公路AB旁有一座山, 现有一C处需要爆破,已知点C与公路 上的停靠站A距离为300m,与公路上 另一停靠站B的距离为400m,且CACB,为了安全起见,爆破点C周围半径250m范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁?,【思路点拨】要判断公路AB段是否需要封锁需要计算点C到AB的距离与250m的大小关系借助勾股定理和三角形的面积计算点C到AB的距离.,【自主解答】过点C作CDAB于D. 因为BC=400m,AC=300m,ACB=90, 根据勾股定理,得AC2
7、+BC2=AB2,即3002 +4002=AB2,所以AB=500m. 由三角形的面积可知: ABCD= BCAC,所以500CD= 400300,所以CD=240m. 因为240250,即点C到AB的距离小于250m,所以有危险,公路AB 段需要暂时封锁.,【总结提升】应用勾股定理解决实际问题的步骤 1.读懂题意,建立数学模型. 2.分析数量关系,数形结合,正确标图,将已知条件体现到图形中,充分利用图形的功能和性质. 3.应用勾股定理进行计算或建立等量关系,构建方程求解. 4.解决实际问题.,题组一:勾股定理的证明 1.历史上对勾股定理的一种证法采用了右面 图形:其中两个全等的直角三角形边A
8、E,EB在 一条直线上,证明中用到的面积相等关系是() A.SEDA=SCEB B.SEDA+SCEB=SCDE C.S四边形CDAE=S四边形CDEB D.SEDA+SCDE+SCEB=S四边形ABCD,【解析】选D.由SEDA+SCDE+SCEB=S四边形ABCD, 可知 ab+ c2+ ab= (a+b)2, 所以c2+2ab=a2+2ab+b2,整理得a2+b2=c2, 所以证明中用到的面积相等关系是: SEDA+SCDE+SCEB=S四边形ABCD.,2.勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国古算书周髀算 经中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相 等的小正方形和直角三
9、角形构成的,可以用其面积关系验证勾股 定理.图2是由图1放入矩形内得到的,BAC=90,AB=3,AC=4, 点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为 (),A.90B.100C.110D.121,【解析】选C.延长AB与KL相交于N,延长AC与ML相交于Q,根据勾股定理中的赵爽弦图知:ABCQCGLGFNFB,根据全等三角形对应边相等,得ML=3+4+4=11,KL=3+4+3=10,所以矩形KLMJ的面积为110.,3.如图,将RtABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90得到RtADE,连接BE,延长DE,BC相交于点F,则有BFE=90,且四边形ACFD是一个正方
10、形. (1)判断ABE的形状,并说出理由. (2)用含b的代数式表示四边形ABFE的面积. (3)说明:a2+b2=c2.,【解析】(1)ABE是等腰直角三角形. 理由:因为RtABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90得到RtADE, 所以BAC=DAE,所以BAE=BAC+CAE=CAE+DAE=90, 又因为AB=AE,所以ABE是等腰直角三角形. (2)因为四边形ABFE的面积等于正方形ACFD的面积, 所以四边形ABFE的面积等于b2.,(3)因为S正方形ACFD=SBAE+SBFE, 即:b2= c2+ (b+a)(b-a), 整理:2b2=c2+(b+a)(b-a),所以a2+b2=c2
11、.,题组二:勾股定理的应用 1.(2013佛山中考)如图,若A=60,AC=20m,则BC大约是(结果精确到0.1m)() A.34.64 m B.34.6 m C.28.3 m D.17.3 m,【解析】选BA=60，C=90， B=30，AB=2AC， AC=20 m，AB=40 m， ,2.(2013滨州中考)在ABC中，C=90，AB=7，BC=5，则边AC的长为_ 【解析】在ABC中，C=90，AB=7，BC=5， AC= 答案：,3.(2013张家界中考)如图，OP=1，过P作PP1OP且PP1=1， 得OP1= 再过P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2= 又过P2作 P2
12、P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得 OP2 012=_.,【解析】由勾股定理可得：OP1= OP2= OP3=2= ， 所以OP2 012= 答案：,4.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为.,【解析】如图,因为a,b,c都是正方形,所以AC=CD,ACD=90. ACB+DCE=ACB+BAC=90, 即BAC=DCE,ABC=CED=90, AC=CD, ACBCDE,AB=CE,BC=ED. 在RtABC中,由勾股定理得:AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,即Sb=Sa+Sc=5+11=16. 答案:16,5.小明
13、将一副三角板如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,求AC的长.,【解析】BDCD2，BC 设ABx，则AC2x， ,题组三:利用勾股定理解决实际问题 1.(2013济南中考)如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为() A.12 mB.13 mC.16 mD.17 m,【解析】选D.如图所示,作BCAE于点C,则BC=DE=8m,设AE=xm,则AB=xm,AC=(x-2)m,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2
14、)2+82=x2,解得x=17.,2.如图,在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A.在水塔的东南 方向24m处有一建筑工地B,若在AB间建一直水管,则水管的长为 () A.45m B.40m C.50m D.56m,【解析】选B.由题意知AOB为直角三角形,因为OA=32 m, OB=24 m, 所以AB= =40(m).,3.在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,他搬来了一架高为2.5m的梯子,要想把拉花挂在高2.4m的墙上,小虎应把梯子的底端放在距离墙m处. 【解析】由勾股定理得，梯子的底端到墙的距离为 =0.7(m). 答案：0.7,4.如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B 200m,结果他在水中实际游了520m,则该河流的宽度为m.,【解析】由勾股定理得， AB= =480(m). 答案：480,5.如图,在一个高为6m,长为10m的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少为多少米? 【解析】在RtABC中,AB2=AC2-BC2=102-62=82,所以AB=8m,则AB+BC=8+6=14(m), 所以地毯的长度至少为14m.,【想一想错在哪？】已知直角三角形的两条边长分别为5和12,则其第三条边的长为. 提示:长度分别为5和12的两条边不一定都是直角边,应分两种情况讨论!,