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1、专题（三） 解直角三角形应用问题 题型解读 解直角三角形是中考必考的内容,考查的方式一般都以大题形式呈现,有时还结 合三角形相似,主要考查在一个直角三角形或两个共边的直角三角形之间进行 线段的求解与应用. 例1 2018安徽为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上 水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图Z3-1所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好 观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8 米.问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数,参考数据:tan39.30.8
2、2,tan84.310.02) 题型一俯角、仰角问题 题型一俯角、仰角问题 拓展1 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30,那么从乙处看甲处,甲在乙的() A.俯角30方向B.俯角60方向 C.仰角30方向D.仰角60方向 C 题型一俯角、仰角问题 拓展2 2018梧州随着人们生活水平的不断提高,旅游已成为人们的一种生活时尚.为开发新的旅游项 目,我市对某山区进行调查,发现一瀑布.为测量它的高度,测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶 端A点的仰角是30,测得瀑布底端B点的俯角是10,AB与水平面垂直(如图Z3-2).又在瀑布下的水平面测 得CG=27m,GF=17.6m(注:C,G,F三点在
3、同一直线上,CFAB于点F).斜坡CD=20m,坡角ECD=40.求 瀑布AB的高度.(参考数据:1.73,sin400.64,cos400.77,tan400.84,sin100.17,cos100. 98,tan100.18) 解:过点D作DMCE,交CE于点M,作DNAB,交AB于点N.在RtCMD中,CD=20m, DCM=40,CMD=90,CM=CDcos4015.4m,DM=CDsin4012.8m. DN=MF=CM+CG+GF=60m.在RtBD中,BDN=10,BND=90,DN=60m, BN=DNtan1010.8m.在RtADN中,ADN=30,AND=90,DN=6
4、0m, AN=DNtan3034.6m.AB=AN+BN=45.4m. 答:瀑布AB的高度约为45.4米. 题型二坡角问题 例2 2017海南为做好防汛工作,防汛指挥部决定对 某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是:如 图Z3-3,水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度 i=11(即DBEB=11).已知AE=4米,EAC=130,求 水坝原来的高度BC. (参考数据:sin500.77,cos500.64,tan501.2) 图Z3-3 题型二坡角问题 【分层分析】 设BC=x米,则在RtABC中,根据三角函数的性质,可以用x表示出AB的长;利用坡度的定义得到BD=BE,根 据C
5、D+BC=AE+AB,从而列出方程即可求出x的值. 【方法点析】利用坡度、坡角解直角三角形,关键要利用坡角去添辅助线,构造出直角三角形. 题型二坡角问题 A C 题型二坡角问题 拓展3 2018安顺如图Z3-6,是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面AC的倾斜角 CAB=45,在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡 面DC的倾斜角BDC=30.若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道,问该建筑物是否需 要拆除?(计算最后结果保留一位小数,参考数据:1.414,1.732) 题型三方位角问题 例3 2017连云港如图
6、Z3-7,湿地景区岸边有三个观景台A,B,C.已知AB=1400米,AC=1000米,B点位于A 点的南偏西60.7方向,C点位于A点的南偏东66.1方向. (1)求ABC的面积; (2)景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭,并修建观景栈道AD,试求A,D间的距离.(结果精确到 0.1米,参考数据:sin53.20.80,cos53.20.60,sin60.70.87,cos60.70.49,sin66.10.91,cos66. 10.41,1.414) 题型三方位角问题 例3 2017连云港如图Z3-7,湿地景区岸边有三个观景台A,B,C.已知AB=1400米,AC=1000米,B点位
7、于A 点的南偏西60.7方向,C点位于A点的南偏东66.1方向. (2)景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭,并修建观景栈道AD,试求A,D间的距离.(结果精确到 0.1米,参考数据:sin53.20.80,cos53.20.60,sin60.70.87,cos60.70.49,sin66.10.91,cos66. 10.41,1.414) 题型三方位角问题 题型三方位角问题 【分层分析】 (1)过点C作CEAB,交BA的延长线于点E,然后根据平角的定义求出CAE,再根据AC求出CE的长,从而得 到ABC的面积; (2)连接AD,过点D作DFAB,垂足为点F,则DFCE,然后求出AE,B
8、E的长,再根据中位线定理及勾股定理 求解即可. 【方法点析】利用方位角解题步骤:(1)利用方位构造直角三角形;(2)利用方位角转移角;(3)解直角三角 形. 题型三方位角问题 拓展 2018十堰如图Z3-8,一艘海轮位于灯塔C 的北偏东45方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正 南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东 30方向上的B处.求此时船距灯塔的距离.(参考 数据:1.414,1.732,结果取整数) 题型四夹角问题 例4 2018资阳如图Z3-9,是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图,她在A处时的风筝线(整个过程中 风筝线近似地看作直线)与水平线构成30角,线段AA1表示小红的
9、身高1.5米. (1)当风筝的水平距离AC=18米时,求此时风筝线AD的长度; (2)当她从点A跑动9米到达点B处时,风筝线与水平线构成45角,此时风筝 到达点E处,风筝的水平移动距离CF=10米,这一过程中风筝线的长度保持 不变,求风筝原来的高度C1D. 题型四夹角问题 例4 2018资阳如图Z3-9,是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图,她在A处时的风筝线(整个过程中 风筝线近似地看作直线)与水平线构成30角,线段AA1表示小红的身高1.5米. (2)当她从点A跑动9米到达点B处时,风筝线与水平线构成45角,此时风筝 到达点E处,风筝的水平移动距离CF=10米,这一过程中风筝线的长度保持
10、 不变,求风筝原来的高度C1D. 题型四夹角问题 题型四夹角问题 题型四夹角问题 拓展1 如图Z3-10,要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD与灯柱BC成120角,灯罩的 轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线(即O为AB的中点)时照明效果最佳.若 CD=米,则路灯的灯柱BC高度应该设计为米(计算结果保留根号). 图Z3-10 题型四夹角问题 拓展2 根据爱因斯坦的相对论可知,任何物体的运动速度不 能超过光速(3105km/s),因为一个物体达到光速需要无穷 多的能量,并且时光会倒流,这在现实中是不可能的.但我们 可让一个虚拟物超光速运动,例如:直线l
11、,m表示两根木棒,相 交成的锐角的度数为10,它们分别以与自身垂直的方向向 两侧平移时,它们的交点A也随着移动(如图Z3-11中箭头所 示).若两条直线的移动速度都是光速的0.2倍,则交点A的移 动速度是光速的倍.(结果精确到0.1) 图Z3-11 【答案】2.3 【解析】如图,根据题意,设光速为tm/s, 则1秒内m与l移动的距离为0.2tm,过点A 作ACAC于点C,在RtACA中, AAC=102=5,AC=0.2tm, AA=CAsin52.3t. A移动的距离约为2.3tm.故交点A的移 动速度是光速的2.3倍. 题型五其他问题 例5 2018绍兴如图Z3-12,窗框和窗扇用“滑块铰
12、链”连接.图是图中“滑块铰链”的平面示意图,滑 轨MN安装在窗框上,托悬臂DE安装在窗扇上,交点A处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点B,C,D始终在一 直线上,延长DE,交MN于点F.已知AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,BD=40cm. (1)窗扇完全打开,张角CAB=85,求此时窗扇与窗框的夹角DFB的度数; (2)窗扇部分打开,张角CAB=60,求此时点A,B之间的距离(精确到0.1cm).(参考数据:1.732, 2.449) 解:(1)AC=DE,AE=CD,四边形ACDE是平行四边形. CADE.DFB=CAB=85. 题型五其他问题 例5 2018绍兴如图Z3-12,窗
13、框和窗扇用“滑块铰链”连接.图是图中“滑块铰链”的平面示意图,滑 轨MN安装在窗框上,托悬臂DE安装在窗扇上,交点A处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点B,C,D始终在一 直线上,延长DE,交MN于点F.已知AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,BD=40cm. (2)窗扇部分打开,张角CAB=60,求此时点A,B之间的距离(精确到0.1cm).(参考数据:1.732,2.449) 题型五其他问题 拓展1 如图Z3-13是一种阳台户外伸缩晾衣架,侧面示意图如图所示,其支架AB,CD,EF,GH,BE,DG,FK 的长度都为40cm(支架的宽度忽略不计),四边形BQCP、DMEQ、FNGM是
14、互相全等的菱形,当晾衣架的 A端拉伸到距离墙壁最远时,B=D=F=80,这时A端到墙壁的距离约为多少cm? (sin400.643,cos400.766,tan400.839) 题型五其他问题 拓展2 2017台州如图Z3-14是一辆小汽车与墙 平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧OB与墙 MN平行且距离为0.8米.已知小汽车车门宽AO 为1.2米,当车门打开角度AOB为40时,车门是 否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin400. 64,cos400.77,tan400.84) 图Z3-14 解:过点A作ACOB,垂足为点C. 在RtACO中,AOC=40,AO=1.2米, AC=AOsinAOC1.20.64= 0.768. 汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离 为0.8米,0.80.768, 车门不会碰到墙.