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1、课时 18 三角形与等腰三角形 第四单元 三角形 课前考点过关 中考对接 命题点一三角形的内角和与外角 1. 2017株洲如图18-1,在ABC中,BAC=x,B=2x,C=3x,则BAD的度数是() A.145B.150C.155D.160 2. 2018永州一副透明的三角尺如图18-2叠放,直角三角尺的斜边AB,CE相交于点D,则BDC= . B 75 课前考点过关 命题点二三角形的分类 3. 2017长沙若一个三角形的三个内角的度数之比为123,则这个三角形一定是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形 B 课前考点过关 命题点三三角形三边的构成 4. 201
2、8长沙下列长度的三条线段,能组成三角形的是() A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm,10cmD.6cm,7cm,14cm B 课前考点过关 命题点四等腰三角形的性质与判定 5. 2018湘潭如图18-3,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则BAD=. 图18-3 30 课前考点过关 6. 2018娄底如图18-4,在ABC中,AB=AC,ADBC于D点, DEAB于点E,BFAC于点F,DE=3cm,则BF=cm. 图18-4 【答案】6 【解析】如图,过点D作DHAC于H, 对ABC用等面积法,得到 BF=DE+DH,再根据“三线合一”得到 A
3、D是角平分线,进一步得到DE=DH,故 答案为6. 课前考点过关 命题点五三角形中的重要线段 7. 2017长沙过ABC的顶点A作BC边上的高,以下作法正确的是( ) 图18-5 A 课前考点过关 考点自查 考点一三角形的分类 课前考点过关 考点二与三角形有关的重要线段 三边 课前考点过关 内 （续表） 直角顶点 外 课前考点过关 考点三三角形三边的关系 定理: (1)三角形的任意两边之和第三边;三角形的任意两边之差第三边. (2)在直角三角形中,斜边任何一条直角边. 大于小于 大于 课前考点过关 考点四三角形的内角和与外角 定理三角形的内角和等于 推论 (1)三角形的一个外角等于和它的和 (
4、2)三角形的一个外角大于任何一个和它的内角 (3)直角三角形的两个锐角 (4)三角形的外角和等于 拓展 在任意一个三角形中,最多有三个锐角,最少有两个锐角,最多有一个钝角,最多有一个 直角 180 不相邻的两个内角 不相邻 互余 360 课前考点过关 考点五等腰三角形的概念与性质 1. 定义:的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰,另外一边叫做底边. 2. 等腰三角形的性质: (1)定理:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). (2)对称性:等腰三角形是轴对称图形,有条对称轴. (3)三线合一:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线、底
5、边上的高互相重合. 两条边相等 1 课前考点过关 考点六等腰三角形的判定 定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,简称 拓展 (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形 (2)一边上的高与这边所对的角平分线重合的三角形是等腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对的角平分线重合的三角形是等腰三角形 等角对等边 课前考点过关 考点七等边三角形 1. 定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形. 2. 性质:等边三角形的各角都,并且每一个角都等于;等边三角形是轴对称图形, 有条对称轴. 3. 判定:(1)三个角都相等的三角形是等边三角形; (2)有一个角等于60的等腰三角形
6、是等边三角形. 相等60 3 课前考点过关 易错警示 【失分点】1.在运用三角形三边解题的问题中,我们要针对实际进行分析,有些可以不构成三角形,但可 以构成直线,我们不能忽视. 2.在等腰三角形中,不明确三角形哪两边或哪两角相等的情况下,要分情况进行讨论. 1. 甲地离学校4km,乙地离学校1km,记甲、乙两地之 间的距离为dkm,则d的取值范围为. 【答案】3d5 【解析】(1)若甲、乙都在学校同侧, 则d4-1=3;(2)若甲、乙在学校两侧,则 d4+1=5.故d的取值范围为3d5. 课前考点过关 2. 如果等腰三角形的两内角度数相差45,那么它的 顶角度数为. 【答案】90或30 【解析
7、】设顶角为x,则当底角为x-45时,2(x- 45)+x=180,解得x=90,当底角为x+45时, 2(x+45)+x=180,解得x=30,顶角度数为90或 30. 3. 某等腰三角形的三边长分别为x,3,2x-1,则该三角 形的周长为. 11或8 课堂互动探究 探究一三角形内角和与外角 例1 2017陕西如图18-6,在ABC中,BD和CE是 ABC的两条角平分线.若A=52,则1+2的度数 为. 课堂互动探究 拓展1 2018青海小桐把一副直角三角尺按如图 18-7的方式摆放在一起,其中E=90,C=90, A=45,D=30,则1+2等于 () 图18-7 A.150B.180C.2
8、10D.270 【答案】C 【解析】如图,不妨设AB与DF交于点G,与EF交于 点H,由三角形的外角性质,可知 1=A+AGD,2=B+BHE,因为 AGD=FGH,BHE=FHG,所以 AGD+BHE=FGH+FHG=180- F=180-(90-D)=120,所以 1+2=A+B+AGD+BHE=90+120= 210,故选C. 课堂互动探究 拓展2 2018黄石如图18-8,在ABC中,AD是BC边上的 高,AE,BF分别是BAC、ABC的平分线,BAC=50, ABC=60,则EAD+ACD=() 图18-8 A.75B.80C.85D.90 【答案】A 【解析】根据三角形内角和定理,
9、得 :ACD=180-(BAC+ABC)=70, CAD=90-ACD=20.AE是BAC的 平分线,CAE=BAC=25. EAD=CAE-CAD=25-20=5. EAD+ACD=5+70=75. 课堂互动探究 拓展3 2018宜昌如图18-9,在RtABC中,ACB=90,A=40,ABC的外角CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E. (1)求CBE的度数; (2)过点D作DFBE,交AC的延长线于点F.求F的度数. 解:(1)在RtABC中,ACB=90,A=40, ABC=90-A=50.CBD=130. BE是CBD的平分线,CBE=CBD=65. (2)ACB=90,CEB=9
10、0-65=25. DFBE,F=CEB=25. 课堂互动探究 探究二三角形三边的关系 例2 2017达州在ABC中,AB=5,AC=3,AD是ABC的中 线.设AD的长为m,则m的取值范围是. 【答案】1m4 【解析】如图,延长AD至点E,使 DE=AD,连接 EC.BD=CD,ADB=EDC,DE=AD, ABDECD,CE=AB=5. AD=m,AE=2m,22m8, 1m4. 方法模型三角形三边构成的原则:较小的两边长之和大 于最大的边长. 课堂互动探究 拓展1 2018泰州已知三角形两边的长分别为1,5,第三边长 为整数,则第三边的长为. 【答案】5 【解析】根据三角形的三边关系,得4
11、 第三边长6.又第三边长为整数,则第 三边的长是5. 拓展2 2018白银已知a,b,c是ABC的三边长,a,b满足|a- 7|+(b-1)2=0,c为奇数,则c=. 【答案】7 【解析】a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,a- 7=0,b-1=0,解得a=7,b=1, 7-1=6,7+1=8,6cANB.AMAN C.AMAND.AMAN 【答案】D 【解析】AM和AN可以看成是直线上一定 点到直线上两定点的距离,由垂线段最短, 得AMAN,再考虑特殊情况,当AB=AC时, AM=AN,所以AMAN. 课堂互动探究 拓展22018江西如图18-11,在四边形ABCD中,ABCD,AB=2
12、CD,E为AB的中点.请仅用无刻度的直 尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹). (1)在图中,画出ABD的BD边上的中线; (2)在图中,若BA=BD,画出ABD的AD边上的高. 课堂互动探究 探究四等腰三角形的性质与判定 例42018桂林如图18-12,在ABC中,A=36, AB=AC,BD平分ABC,则图中等腰三角形的个数是 . 【答案】3 【解析】A=36,AB=AC,ABC=C=72, 又BD平分 ABC,ABD=CBD=ABC=36,BDC =72,BCD是等腰三角形, A=ABD=36,ABD是等腰三角形,故有 3个等腰三角形. 方法模型等腰三角形的判定与性质:等角对等边,等边对
13、等角.在几何计算与证明中,常采用边角互化实 现线段相等的证明与求解. 课堂互动探究 课堂互动探究 拓展2 2018绥化已知等腰三角形的一个外角为130,则它 的顶角的度数为. 【答案】50或80 【解析】当等腰三角形顶角的外角为 130时,顶角为180-130=50;当等腰三 角形底角的外角为130时,顶角为180- 2(180-130)=80. 课堂互动探究 拓展3 2018长春如图18-13,在ABC中,AB=AC.以点C为 圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连接BD. 若A=32,则CDB的大小为度. 【答案】37 【解析】AB=AC,A=32, ACB=(180-32)
14、2=74,由尺规作图 知,CB=CD,CBD=CDB, 又CBD+CDB=ACB, CDB=ACB=37. 图18-13 课堂互动探究 探究五等边三角形的性质与判定 例5 2018常州(1)如图18-14,已知EK垂直平分BC,垂足为D,AB与EK相交于点F,连接CF.求证 :AFE=CFD. (2)如图,在RtGMN中,M=90,P为MN的中点. 用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得GQM=PQN(保留作图痕迹,不要求写作法). 在的条件下,如果G=60,那么Q是GN的中点吗?为什么? 解:(1)证明:EK垂直平分BC,点F在EK上, FC=FB,且CFD=BFD, AFE=BFD,AFE=
15、CFD. 课堂互动探究 例5 2018常州 (2)如图,在RtGMN中,M=90,P为MN的中点. 用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得GQM=PQN(保留作图痕迹,不要求写作法). 在的条件下,如果G=60,那么Q是GN的中点吗?为什么? 课堂互动探究 课堂互动探究 方法模型等边三角形的应用:(1)通常通过作高、中线或角平分线,将三角形转化为含30角的直角三角 形去解决问题;(2)应用等腰三角形的轴对称性,通过“三线合一”,转化为直角三角形去解决问题. 课堂互动探究 拓展1 2018葫芦岛如图18-15,MON=30,点B1在边OM上,且OB1=2,过点B1作B1A1OM交ON于点A1, 以
16、A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1,过点C1作OM的垂线分别交OM,ON于点B2,A2,以B2A2为边 在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2,过点C2作OM的垂线分别交OM,ON于点B3,A3,以B3A3为边在A3B3的右 侧作等边三角形A3B3C3,按此规律进行下去,则AnAn+1Cn的面积为(用含正整数n的代数式表 示). 课堂互动探究 课堂互动探究 拓展2 如图18-16,在ABC中,AB=AC,BAC=120,点D,F 分别为AB,AC的中点,EDAB,GFAC,若BC=15cm,求 EG的长. 图18-16 解:连接AE,AG,D为AB中点,EDAB, EB=EA,ABE为等腰三角形, 又B=30, BAE=30,AEG=60, 同理可证AGE=60, AEG为等边三角形,AE=EG=AG, AE=BE,AG=GC,BE=EG=GC, 又BE+EG+GC=BC=15cm,EG=5cm.