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1、精品论文基于边事件驱动采样控制的二阶积分器网络系统的一致性曹梦涛1，肖峰2，王龙11 北京大学工学院系统与控制研究中心，北京 1008712 北京理工大学自动化学院，北京 100081 摘要：本文研究具有无向拓扑结构的二阶积分器网络系统的一致性问题. 基于邻居个体的位置 信息以及速度信息, 提出一个基于边事件驱动采样控制的一致性协议, 并给出了边事件的触发 规则. 这些边事件仅仅依赖于相关的两个智能体的状态信息, 且每条边上的事件触发独立于其 他的边. 本文证明该协议解决二阶多智能体系统的平均速度状态一致性问题, 并且能够有效减 少系统的控制器更新代价. 最后, 仿真算例辅助证明了理论结果的正
2、确性. 关键词：多智能体系统；采样控制；事件驱动控制；边事件；一致性中图分类号： TP13Consensus in Networks of MultipleDouble-Integrators Based on Edge-Event DrivenSampled-Data ControlCAO Mengtao1, XIAO Feng2, WANG Long11 Center for Systems and Control, College of Engineering, Peking University, Beijing 1008712 School of Automation, Beijin
3、g Institute of Technology, Beijing 100081Abstract: This paper studies the consensus problem with double-integrator individual dynamics under undirected topologies. A consensus protocol based on sampled-data control and edge-event driven techniques is proposed, and also an associated event-triggering
4、 rule is presented. These edge events rely on the information of the corresponding two neighboring agents only and the event-triggering actions of edges are independent of each other. It is proved that such a protocol can solve the average-velocity consensus problem ofdouble-integrator networks. Fin
5、ally, simulations are given to demonstrate the eectiveness of our theoretical results.Key words: Multi-Agent Systems; Sampled-Data Control; Event-Driven Control; Edge基金项目： 国家自然科学基金（项目批准号：61020106005 和 10972002），国家 973 项目（项目批准号：2012CB821203）， 和高等学校博士学科点专项科研基金（项目批准号：20091101120019）。作者简介： 曹梦涛（1986-），男，
6、博士研究生，主要研究方向：多智能体系统协同控制、一致性问题、能控性问题；肖峰（1978-），男，副教授，主要研究方向：多智能体系统协同控制、一致性问题、队形控制、群体动力学；王龙（1964-），男，教授， 主要研究方向：复杂系统智能控制、多机器人系统的协调与控制、网络化控制系统的分析与综合、集群行为与集群智能、演化博弈 与群体决策等。通信作者：王龙，E-mail：。- 13 -Events; Consensus0 引言作为控制领域的一个热门研究方向, 多智能体一致性问题的研究在近几年得到了快速的发 展15 . 在这些研究成果中, 一个共同点就是通过研究系统的拓扑结构来分析系统的一致性, 比 如
7、考虑时滞信息5 , 采样控制6 , 以及连通性保持7 等.在文献 8 中, 基于系统状态误差的范数, Dimarogonas 等人针对一阶积分器网络系统提出了事件驱动的控制器模型, 并随后提出其改进模型 自激励事件触发模型, 即每个智能体在每 次事件触发的时刻自动计算下一事件触发时刻. 在文献 6 中, Xiao 等人提出了两类事件驱动 的一致性协议来研究一阶积分器网络系统, 这两类协议分别是异步的事件触发控制协议和基于 周期采样的事件触发控制协议. 基于拓扑结构特性, Xiao 等人定义了边事件, 并基于此提出了 三种基于边事件的事件触发规则, 指出了这三种规则能够有效的减少系统的通信代价或
8、控制器 更新代价.对于二阶积分器网络系统, 文献 911 给出了最近的一些研究成果. 在文献 11 中, Gao 等人研究了时变拓扑的二阶积分器网络系统的采样控制问题, 每个智能体的采样周期独立于其 它智能体的采样周期, 证明了在系统的联合图含有生成树的情况下和合适的控制增益和采样周 期下系统能够达到状态一致, 并给出了两种控制增益和采样周期的设计方法.在本文中, 基于边事件的概念, 提出了二阶积分器网络系统的事件驱动采样控制一致性协议; 在系统的拓扑是无向图的假设下, 给出了基于边事件的事件触发规则, 并指出该规则能够有 效的减少系统的控制器更新代价.本文结构如下, 第一节描述了所要研究的问
9、题; 第二节提出了一致性协议以及边事件触发规则, 并给出了系统一致性的分析; 第三节用一个仿真算例具体形象的描述了本文的主要结果;最后一节总结本文.1 问题描述我们研究具有 n 个二阶积分器的网络系统. 为区分个体, 我们把这些个体标号为 1 到 n, 令 xi , vi R 表示个体的状态信息. 为方便理解, 不妨假设其分别代表智能体的位置信息和速度信 息. 系统的动力学方程表示为如下: x i (t) = vi (t)vi (t) =ui (t), i = 1, 2, , n (1)其中 ui 为系统的状态反馈, 其由邻居个体的位置信息和速度信息以及自身的位置信息与速度信息决定, 我们称此
10、反馈为协议.系统的拓扑用无向图 G = (V , E ) 表示. 顶点集 V = v1 , v2 , , vn 表示 n 个个体; 边(vi , vj ) E 表示个体 i 和个体 j 可以进行通信; 集合 Ni = j|(vi , vj ) E , i = j 表示个体 i 的邻居个体集合. 如果对于图 G 中的任何两个节点 vi 和 vj 都存在一条路径起始于 vi 终止于 vj ,那么我们称图 G 是连通的. 该系统的 Laplacian 矩阵 L = lij 定义为:ijlij =1,如果 (v , v ) E 并且 i = j0, 如果 (vi , vj ) / E 并且 i = j
11、 kNi lik , 如果 i = j对于该无向图 G, 用 m 表示边的数目, 对这些边用 1 到 m 进行标号, 然后对每一条边赋予任一 方向, 定义图 G 的关联矩阵 D = dij 如下:1,vi如果是第 j 条边的尾节点显然有 L = DDT 成立.dij =1, 如果 vi 是第 j 条边的头节点 0, 其他情况k令 t0 , t1 , t2 , 表示一时间序列, 并且满足 tk+1 = tk + h, k = 0, 1, 2, , h 0 为采样周 期. 在每一个这样的时刻, 系统中的每个个体对其邻居个体的信息进行采样, 例如此时个体 i 对 其邻居个体的信息进行采样. 对其某个
12、邻居个体, 不妨假设为 j. 如果个体 i 和个体 j 的信息满 足某个条件, 则个体 i 更新其控制器中个体 j 的信息, 同时个体 j 也相应的更新其控制器中个 体 i 的信息; 否则个体 i 和个体 j 均认为对方的状态信息未达到更新条件, 继续采用上一时刻 的状态信息. 由于此过程均发生在边 (vi , vj ) 上, 因此我们称使得个体 i 和个体 j 更新对方状态 信息的条件为边驱动控制条件. 在下面一节中, 我们将给出该条件使得系统中的个体状态能够 达到一致. 记在边 (vi , vj ) 事件发生的时刻为 tij , 令kij (t) = maxk|tk tij |tij t,
13、k k即 tkij (t) 为在 t 时刻之前 (包括 t 时刻) 边 (vi , vj ) 事件发生的时刻. 显然我们有tkij (t) = tkji (t)成立.我们给出如下给协议:ui (t) = (xj (tkij (t) ) xi (tkij (t) ) + k (vj (tkij (t) ) vi (tkij (t) ),jNii = 1, 2, , n.jNi(2)其中 k 是带设计的参数. 下一节我们将讨论在该协议下系统的一致性问题.2 二阶边事件驱动的采样控制一致性2.1 二阶边事件驱动的采样控制一致性动力学分析首先我们研究系统的平均速度状态的特性, 并有如下的引理:引理 1
14、. 令 v(t) = 1 nv (t), 则 v(t) 是一个常数.n证明: 考虑其导数:dv(t)1i=1 in1 n=dtn1 vi (t) =i=1n ui (t)ni=1n=( (xj (tkij (t) ) xi (tkij (t) ) + k (vj (tkij (t) ) vi (tkij (t) ).i=1jNijNi记 i (t) = xi (t) kvi (t), 则我们有dv(t)1 nn=dtn lij (j (tkij (t) ) i (tkij (t) )i=1 j=11 nn1 nnn= lij j (tkij (t) ) i=1 j=1 lij i (tkij
15、(t) )ni=1 j=11 nn1 nnn= lij j (tkij (t) ) i=1 j=1 lji j (tkji (t) )nj=1 i=1= 0,因此 v(t) 是一个常数.1为简便描述起见, 我们在上述变量中去掉时间参数, 即 v , 1 nv (t). 由上述引理我们可以很容易得到:1n xi (t) =ni=1nn xi (0) + vt.ni=1i=1 i令 y(t) = DT x(t) 和 w(t) = DT v(t). 根据 D 的定义我们可以得到对于第 q 条边, 1 q m, 存在相应的两个顶点 vi 和 vj , 使得 yq (t) = xi (t) xj (t)
16、, wq (t) = vi (t) vj (t), 即 yq , wq 表 示第 q 条边的信息, 并且其绝对值等于该边对应的两个个体的状态信息差. 做这样的处理之后, 我们可以通过研究边的状态信息来研究系统的一致性问题. 令 yq (t) = xi (tkij (t) ) xj (tkij (t) ), wq (t) = vi (tkij (t) ) vj (tkij (t) ), 定义向量: y(t) = y1 (t), y2 (t), , ym (t)Tw(t) = w1 (t), w2 (t), , wm (t)T显然, y(t) 表示每条边在 t 时刻所记录的最近更新的状态信息差.
17、经过这样处理, 协议 (2) 可以 等价表示为:系统 (1) 可以等价描述为:u(t) = Dy(t) kDw(t), (3) x (t) = v(t)(4)v (t) = Dy(t) kDw(t)n为方便分析, 我们令: i (t) = vi (t) v, i (t) = xi (t) 1 n i=1xi (0) vt, 显然我们有: ni=1 i (t) = 0ni=1 i (t) = 0因此, 系统动力学方程 (4) 等价于如下系统:d 0 I= 00 y. (5)dt设计 Lyapunov 函数如下:00D kD wnk + 2 nnn4V (t) = i (t)i (t) + (i
18、(t) j (t)2 + i 2 .i=1为证明方便起见, 我们将其写成矩阵的形式:i=1 jNii=1V (t) = T , T k+2 T DDI2 2 . (6)我们定义两个常数, 令2 I I hkDD1 d 2 D f = ( 2 +2 )(hn + hkn + 2 n ) + h n+kd + ( h d + hk d ) + (2k ) 1 dn d2 n4 n3 d 1 d2 2 n3 d + 2 n + k( 4 hn + 2 n ) + 2 hn + 22 D 21 d k d 2 d+h kn + b k( 2 n + 2 n ) + b kn g =( + hkD2 D
19、1 d d2 2 )(hkn + hk n + 2 n + kn )(7)2Dhk d h d d+h kn +4 n + (2k 2 )( 2 n + hkn )+h2 k2 D + kd + k( 3 hkd + k d + 1 )n2 n1dd42 dn2 n 2d+ 2 hkn + 2kn + d2 (kn + n )2 3 d 3 d 13 2 d+d k( 4 hn + 4 hkn + 2 ) + 2 d hkn2+ 1 2 d2 d d 22 d hn + d kn +2 + d (k + 2)n其中 2 为矩阵 L 的第二最小特征值, d为矩阵 DT D 的最大特征值, D 为
20、矩阵 DT DDT Dn的最大特征值, h 为采样周期, a, b, c, d 为常数并且满足:0 a, c 1 且 b, d 1. 再定义两个常 数 A, B:2 A =(a + d max1 a, b 1 + 1 kb max1 c, d 1 + hf )B = (c(2k ) + dmax1 a, b 1 + 1 k bmax1 c, d 1 + hg)2 2在以上准备工作的基础上, 我们给出如下定理:定理 1. 假设系统的拓扑是连通的, 并且给定系统参数 k 以及采样周期 h. 如果存在常数, a, b, c, d, 其中 0 0k+2 22 2 A, B 04 0并且进一步满足 a2
21、 y(tk )T y(tk ) y(tk )T y(tk ) b2 y(tk )T y(tk )c2 w(tk )T w(tk ) w(tk )T w(tk ) d2 w(tk )T w(tk )(8)那么协议 (2) 解决了系统 (1) 的平均速度状态一致性问题.定理的证明将在本小节最后给出. 为证明此定理, 先给出如下几个引理:2 i=1 i引理 2 (1). 设 L 为 Laplacian 矩阵, 是 L 的第二最小特征值. 如果 n = 0, 则如下 不等式成立:T L 2 T 上述引理可由文献 1 中的 (17) 式很容易推出. 由此引理, 我们很容易得出:T (t)(t) 1 T
22、(t)L(t) =21 T (t)DDT (t) =21 wT (t)w(t). 2另外我们给出如下引理：2引理 3. 在给定定义域和 k+2 2 假设下, V (t) 是正定的, 其中 V (t) 由 (6) 式定义, 且2 4V (t) = 0 成立当且仅当 = = 0.证明: 令: P =DDI k+2 T 2 22 IIM = I0 2 IIM = I0 2 II则我们有 = M =2 + 且 ,2因此有 = M .V (t) =T M T P M k+22 2=T , T 2 L 4 I0,0I2即2V (t) =T ( k + 2 L 2I ) + T 2k + 242 22=T
23、L2nT + T 2 .4由 i 的定义, 可知 i=1 i = 0 成立, 由引理 2, 有 T L 2 T 成立, 因此V (t) (2k + 22 2)T42 + T 2 .2 显然当 k+22: 2 时我们有如下不等式成立4V (t) 0,并且 V (t) = 0 成立当且仅当 = 2 = 0, 即 V (t) 正定. 由 2 的定义, = 2 = 0 成立当且仅当 = = 0 成立, 故有 V (t) = 0 成立当且仅当 = = 0.从本引理可以看出, 即使矩阵 P 不是正定的, 但是由于 的取值范围不是全空间, 而是与 向量 1 垂直的空间, 即 的取值满足 1T = 0. 在这
24、样的一个限制条件下, V (t) 便是正定的.做了上述准备工作之后, 下面给出定理 1的证明.定理 1的证明: 由引理 3, 可以得知 V (t) 是正定的, 下面考虑 V (t) 的导数,由引理 2, 可得:dV (t)dt=(t)T (t) + kyT (t)(w(t) w(tk )+ 2w(t)T (y(t) y(tk ) y(t)T y(tk ) 2kw(t)T w(tk ).dV (t)w(t)T (w(t) w(tk ) + kyT (t)(w(t) w(tk )dt 2+ 2w(t)T (y(t) y(tk ) y(t)T y(tk ) (2k 2对 t tk , tk+1 ),
25、 我们有: w(t) = w(tk ) h(DT D)y(tk ) hk(DT D)w(tk )w(t)T w(tk ).(9)22(10)y(t) = y(tk ) + hw(tk ) h (DT D)y(tk ) h k (DT D)w(tk )2 2其中 h = t tk , h h. 又 d , D 分别为 DT D 和 DT DDT D 的最大特征值, 由 Rayleight 商的性质, 有:nnT T d Ty(tk ) DDy(tk ) n y(tk )y(tk )n w(tk )T DT Dw(tk ) d w(tk )T w(tk )(11)nT y(tk )DT DDTDy
26、(tk ) D y(tk )Ty(tk )n w(tk )T DT DDT Dw(tk ) D w(tk )T DT Dw(tk )故而可以得到: y(tk )T DT Dw(tk ) n y(tk )T y(tk ) + n w(tk )T w(tk )dd2 D2 D (12)y(tk )T DT DDT Dw(tk ) n y(tk )T y(tk ) + n w(tk )T w(tk )2 2由 (8) 式, 我们可以得到如下两个不等式: (a 1)|y(tk )| |y(tk ) y(tk )| (b 1)|y(tk )|(c 1)|w(tk )| |w(tk ) w(tk )| (
27、d 1)|w(tk )|令: r1 = d max1 a, b 1r2 = b max1 c, d 1(13)则我们可以由 (13) 可以得到如下五个不等式: w(t )Tk(w(tk ) b(b 1)w(tk )Tw(tk ) yT (tk )(w(tk ) w(tk ) r1y(tk )T y(tk )w(tk )T w(tk )w(tk )T (y(tk ) y(tk ) r2 y(tk )T y(tk )w(tk )T w(tk )(14) y(tk )T y(tk ) ay(tk )T y(tk ) w(tk )T w(tk ) cw(t)T w(tk )将 (8)(10)(11)(
28、12)(13)(14) 式代入 (9) 式, 可以得到如下不等式:dV (t) Tdt ay(tk )bk y(t ) c(2k 2)w(t)Tw(tk )+(b 1)w(tk )T w(tk )2+ 2r1 y (tk )T y(tk )w(tk )T w(tk )+ kr2 y (tk )T y(tk )w(tk )T w(tk )+ hf (d , D , h, b)y(tk )T y(tk )nn+ hg(d , D , h, d)w(tk )T w(tk ),nn其中 f (d , D , h, b) = f 和 g(d , D , h, d) = g 由 (7) 定义.nnnn利用
29、不等式 2xT y xT x + yT y, 我们可以得到如下不等式:dV (t)Tdt Ay(tk )由已知条件, A 0, B 0, 故我们有:y(tk ) + Bw(tk )Tw(tk ). (15)且 dV (t)dV (t)dt 0,dt= 0 成立当且仅当 y = w = 0 时成立. 又由于对于第 q 条边, 1 q m, 存在相应的两个顶点 vi 和 vj , 使得 yq (t) = xi (t) xj (t), wq (t) = vi (t) vj (t), 由 (t) 和 (t) 的定义, 有dV (t)dt= 0 成立当且仅当 (t) = (t) = 0 成立, 也就是l
30、im V (t) = 0,tdV (t) 是负定的 因此我们有. :dtn即: limtx (t) = 1x (0) vt ini=1 i其中 i = 1, 2, , n.limt vi (t) = v2.2 二阶边事件驱动的边触发规则设计下面我们设计一个边事件的触发规则, 使得在该规则之下 (8) 式恒成立.边事件触发规则: 如果系统的状态在相应的限制条件下不满足下面四个不等式中的任何一个,那么边 (vi , vj ) 上的事件触发:I. if xi (tkij (tk1 ) ) xj (tkij (tk1) ) 0,a(xi (tkij (tk1 ) ) xj (tkij (tk1) )
31、xi (tk ) xj (tk ) b(xi (tkij (tk1) ) xj (tkij (tk1) )II. if xi (tkij (tk1 ) ) xj (tkij (tk1) ) 0,b(xi (tkij (tk1 ) ) xj (tkij (tk1) ) xi (tk ) xj (tk ) a(xi (tkij (tk1) ) xj (tkij (tk1) )III. if vi (tkij (tk1 ) ) vj (tkij (tk1) ) 0,c(vi (tkij (tk1 ) ) vj (tkij (tk1) ) vi (tk ) vj (tk ) d(vi (tkij (t
32、k1) ) vj (tkij (tk1) )IV. if vi (tkij (tk1 ) ) vj (tkij (tk1) ) 0,d(vi (tkij (tk1 ) ) vj (tkij (tk1) ) vi (tk ) vj (tk ) c(vi (tkij (tk1) ) vj (tkij (tk1) )其中 0 a, c 1 且 b, d 1在如上的边事件触发规则下, 每次事件触发的时候更新事件触发时刻 tkij (tk ) = tk , 即 xi (tkij (t ) ) xj (tkij (t ) ) = xi (tk ) xj (tk )kkvi (tkij (tk ) ) vj
33、 (tkij (tk ) ) = vi (tk ) vj (tk )因此, 在此边事件触发规则下, xi (tk )xj (tk ) 始终介于 a(xi (tkij (tk ) )xj (tkij (tk ) ) 和 b(xi (tkij (tk ) ) xj (tkij (tk ) ) 之间, vi (tk )vj (tk ) 始终介于 c(vi (tkij (tk ) )vj (tkij (tk ) ) 和 d(vi (tkij (tk ) )vj (tkij (tk ) ) 之间, 因此 (8) 式恒成立. 因此我们有如下定理:定理 2. 假设系统的拓扑是连通的, 并且给定系统参数 k
34、以及采样周期 h. 如果存在常数, a, b, c, d, 其中 0 0k+2 22 2 A, B 04 0则给定的边事件触发规则在协议 (2) 解决了系统 (1) 的平均速度状态一致性问题.2 413 5图 1: 多智能体拓扑图x(t)t864200 1 2 3 4 5 6 7 8 910t(s)v(t)t420240 1 2 3 4 5 6 7 8 910t(s)图 2: 系统轨线图3 仿真考虑一个具有五个智能体的系统, 其拓扑结构如图 1所示, 显然该拓扑图是连通的.根据系统的拓扑结构图 1, 可以得到如下的系统的关联矩阵: 11D = 0 000 01 .010001110100100
35、01给定系统的初值 x = 1, 2, 3, 4, 5T 以及 v = 2, 3, 2, 2, 1T , 选取参数 k = 3, h = 0.002s,a = 0.94, b = 1.09, c = 0.96, d = 1.09, 然后对系统进行仿真. 图 2给出了系统的状态随时间变化的曲线, 从图中可以看出, 系统的速度状态信息最终趋向初始值的平均值, 位置状态最终趋于一 致并匀速运动. 图 3给出了系统的采样时刻以及每条边的事件触发时刻. 从图中我们可以发现 事件触发的频率远远小于系统采样的频率, 通过仿真我们发现, 如果记每个时刻每条边算一次 采样, 系统需要采样 25000 次, 但是
36、事件触发却仅仅有 251 次, 仅占系统采样频率的 1% 左右.7 SampleEdge 12Edge 136 Edge 23Edge 24Edge 355432100 1 2 3 4 5 6 7 8 910t(s)图 3: 事件触发时刻图4 总结本文研究了具有无向拓扑结构的二阶积分器网络系统的一致性问题, 提出了基于邻居的位 置信息以及速度信息的一致性协议, 并给出了边事件的事件驱动触发规则, 证明了该规则能够 在本文提出的一致性协议下解决二阶多智能体系统的一致性问题, 同时又指出了该规则能够有 效减少系统的控制器更新代价.参考文献（References）1 OLFATI-SABER, R., MURRAY, R. M. Consensus problems in netwroks of agents with switching topology and time-delaysJ. IEEE Transactions on Automatic Control, 2