十,圆锥曲线.docx

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1、第十部分：圆锥曲线一基础知识回顾1、圆锥曲线的两个定义 ：（ 1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F ，F 的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段 F F ，当常数小于时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F ， F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于 |F F | ，定义中的 “绝对值”与 |FF | 不可忽视 。若 |F F| ，则轨迹是以 F ，F 为端点的两条射线，若 |F F | ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“ 点点距为分子、点线距为

2、分母 ”，其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系， 要善于运用第二定义对它们进行相互转化 。Attention：（ 1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F ，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。4. 圆锥曲线的几何性质 ：（ 1） 椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（ 0,0 ），四个顶

3、点，其中长轴长为 2，短轴长为 2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越1小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。（2）（ 2）双曲线 （以（）为例）：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（ 0,0 ），两个顶点，其中实轴长为 2，虚轴长为2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。（ 3） 抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0 ）；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。5

4、、点和椭圆（）的关系 ：（ 1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（ 1） 相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双2曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。Attention：（ 1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时 , 直线与双

5、曲线相交 , 但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时 , 直线与抛物线相交 , 也只有一个交点；（2）过双曲线1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线；（ 2） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直

6、线。7、焦半径 （圆锥曲线上的点P 到焦点 F 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ， 且 当即为 短 轴 端 点 时 ，最 大 为；，当即为短轴端点时，的最3大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：；。9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 ：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（ 2）设 AB为焦点弦， M 为准线与 x

7、轴的交点，则 AMF BMF；（3）设 AB为焦点弦， A、B 在准线上的射影分别为A ，B ，若 P 为 A B的中点，则 PA PB；（4）若 AO的延长线交准线于 C，则 BC平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A， O， C 三点共线。10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为 A、B 的横坐标，则，若分别为 A、B 的纵坐标，则，若弦 AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算， 一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。11、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦

8、问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。Attention：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！12重要结论：（ 1）双曲线的渐近线方程为；4（ 2 ）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。如与双曲线有共同的渐近线， 且过点的双曲线方程为_（答：）（ 3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；（ 4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离

9、）为，抛物线的通径为，焦准距为；（ 5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（ 6 ） 若 抛 物 线的 焦 点 弦 为AB ， 则；（ 7）若 OA、 OB是过抛物线顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点二经典例题勘测例 1已知动点M 的坐标满足方程13x 2y2| 12x5 y12 | ，则动点M 的轨迹是（）A.抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对例 2设 P 是双曲线 x 2y 21上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y 0, F1 、a 29F2 分别是双曲线的左、右焦点，若| PF1 | 5，则 | PF2 |（）A. 1 或 5B. 1 或 9C. 1D.

10、 9例 3、设椭圆的两个焦点分别为F 1、F2，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2、5为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（） .2B.21C.22D. 2 1A.22例 4过点 (2,-1)引直线与抛物线yx2 只有一个公共点 ,这样的直线共有 () 条A. 1B.2C. 3D.4例 5已知点 A(2,0)、 B(3,0)，动点 P(x, y)满足 PA PBy 2 ，则点 P 的轨迹是()A 圆B椭圆C双曲线D抛物线例 6如果椭圆x 2y 21的弦被点 (4 ， 2) 平分，则这条弦所在的直线方程是（）369A x 2 y 0Bx 2 y 4 0 C2x 3y 12 0

11、Dx 2 y 8 0例 7、无论 为何值，方程 x22 siny21所表示的曲线必不是（）A. 双曲线B. 抛物线C. 椭圆D.以上都不对例 8方程 mxny20与 mx2ny 21 ( mn0) 的曲线在同一坐标系中的示意图应是 （）ABCD例 9对于椭圆 x 2y 21和双曲线 x2y21 有下列命题：16979椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; 双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; 双曲线与椭圆共焦点 ;椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是.例 10若直线 (1 a) xy 10 与圆 x 2y22x 0 相切，则 a 的值为例 11、抛物线 yx2 上的点到直线 4x3y 80 的距

12、离的最小值是例 12、抛物线C:y2=4x上一点Q 到点B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标。例 13、椭圆 x2y21的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上，如果线段PF1 中点在 y 轴上，12 3那么 |PF1|是 |PF2 |的例 14若曲线x2y2.;a 4a1 的焦点为定点，则焦点坐标是56三测你是否过关x2y23 ，则 P 到另一焦点距离为1 已知椭圆1上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为25 16（ ）A 2B 3C 5D 72若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为 6，则椭圆的方程为（）A x 2y 21B x 2y 21C x

13、2y 21 或 x 2y 21916251625161625D以上都不对3 动 点 P到 点 M (1,0)及 点 N (3,0) 的 距 离 之 差 为 2， 则 点 P 的 轨 迹 是（）A 双曲线B 双曲线的一支C两条射线D一条射线4设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且 cd ，那么双曲线的离心率e等于（）A 2y2B 3C2D35 抛物 线10 x的 焦点 到 准 线 的 距 离是（）A 5B 515D 102C26 若 抛 物 线 y28x 上 一 点 P 到 其 焦 点 的 距 离 为 9 ， 则 点 P 的 坐 标 为（）A (7,14)B (14,14)C (7,

14、214)D (7, 214)7若椭圆 x2my21的离心率为3 ，则它的长半轴长为_.双曲线的渐近线方程为210 ，这双曲线的方程为。x2y 0，焦距为_89若曲线x2y 21表示双曲线，则k 的取值范围是。k 1k410抛物线 y26x 的准线方程为.115x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么 k。椭圆12 k 为何值时，直线ykx 2 和曲线 2x23y 26 有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？13在抛物线y4x2 上求一点，使这点到直线y4x5 的距离最短。714双曲线与椭圆有共同的焦点 F1 (0, 5), F2 (0,5) ，点 P(3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个

15、交点，求渐近线与椭圆的方程。15若动点 P( x, y) 在曲线 x2y21(b 0) 上变化，则 x22y 的最大值为多少？4b2四俯视陕西高考1（2006 陕西）如图 ,三定点 A(2,1),B(0, 1),C( 2,1); 三动点 D,E,M 满足 AD =tAB , BE = t BC,DM =tDE, t 0,1. ( ) 求动直线 DE 斜率的变化范围 ; ( )求动点 M 的轨迹方程 .yCAMD2 1 O1x2E 1Bx 2y 262（ 2007 陕西）已知椭圆 C:2b2 =1(a b 0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的a3距离为 3.( )求椭圆C 的方程 ;( )设直

16、线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点3O 到直线 l 的距离为2，求 AOB 面积的最大值 .32008陕西）已知抛物线 C ：y 2x2，直线y kx2交 C 于 A， B 两点， M 是线段 AB（的中点，过 M 作 x 轴的垂线交C 于点 N （）证明：抛物线 C 在点 N处的切线与 AB 平行；8（）是否存在实数k 使 NA NB0 ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由4（ 2009 陕西）已知双曲线y2x21(a 0, b 0)，离心率 e5C 的方程为2b2，顶点到a2渐近线的距离为2 5 。5（ I ）求双曲线 C的方程；(II) 如图， P 是双曲线 C 上一点

17、， A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上， 且分别位于第一、二象限，若APPB, 1 ,2 ，求AOB 面积的取值范围。35 （ 2010x 2y21 的 顶 点 为 A1 , A2 , B1, B2 , 焦 点 为陕 西 ） 如 图 ， 椭 圆 C:b2a2F1 , F2 ,| A1B1 |= 7 ,平行四边形 B1 A1 B2A2 的面积等于2 倍的平行四边形B1 F1 B2 F2 的面积，（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 n 为原点的直线， L 是与 n 垂直相交于P 点，与椭圆相交于A,B 亮点的直线，|OP |=1, 是否存在上述直线 l ，使 |OA | |OB |=0 成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。6（ 2011 陕西）设椭圆 C:x2y2过点 0,43a22 1 a b 0，离心率为.b5（1）求 C 的方程；（2）求过3,0 且斜率为4 的直线被 C 所截线段的中点坐标 .597（ 2012 陕西）已知椭圆C1 : x2y21 ，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与C1 有相同的离4心率。（1）求椭圆 C2 的方程；（2）设 O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆 C和 C上， OB2OA ，求直线 AB 的方程。1210