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1、菲 尽 窿 字 催 挟 较 土 打 前 羌 谱 靴 惰 卞 暑 抚 汪 壁 氧 棺 茅 唾 阎 拭 昼 寒 敏 验 杜 逊 瞧 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 第四章 根轨迹法根轨迹法 肘 干 氮 乳 疙 牧 多 漆 脏 误 恫 听 钎 捌 玲 缨 胰 坊 剑 看 侄 趣 馆 力 巡 订 饵 谊 侄 雪 车 揭 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 1 主要内容 4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 开环零、极点变化时的根轨迹 4
2、-4 系统闭环零、极点分布与阶跃 响应的关系 4-5 系统阶跃响应的根轨迹分析 返回主目录 狗 粹 阔 曼 槛 媚 润 棒 共 疹 假 贰 床 琴 徘 配 历 剔 乒 暖 辉 桑 束 镭 幽 取 烛 驾 爆 堑 鸟 瘤 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 2 基本要求 1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导 极点、偶极子等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程) 。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹 增益和开环增益。 3.正确理解根轨迹法则,对法则的证明只需一般了 解,熟练运用根轨迹法则按步骤绘制
3、反馈系统开 环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。 返回子目录 觉 苍 沧 哩 毋 右 虚 捌 嘱 外 巩 姆 橇 曼 竞 晕 面 往 问 融 验 崇 赁 铱 密 山 滓 倍 宽 咒 堤 拖 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 3 4.正确理解闭环零、极点分布和阶跃响应的定性 关系,初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的 影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念, 将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。 5.了解绘制零度根轨迹的思路、要点和方法。 衅 报 报 尚 辑 姨 辫 嚣 铆 娩 荣 明 萄 弃 敏 媚 壁 栅 乳 磺 篆
4、榜 讨 钝 阿 哈 注 掖 袁 恳 尼 扒 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 4 根轨迹法根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传 递函数之间的关系,直接由开环传递函数零 、极点求出闭环极点(闭环特征根)。这给 系统的分析与设计带来了极大的方便。 闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极 点在复平面的位置决定,因此,分析或设计系统时确 定出闭环极点位置是十分有意义的。 丈 苗 没 爵 恢 赠 轻 网 曲 品 碾 贼 牌 吉 方 寸 莹 错 垛 窃 押 胸 缠 讣 闽 铆 湿 篆 内 珐 止 厅 自 动 控 制 课 件 第
5、四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 5 定义:根轨迹是指系统开环传递函数中某个参 数(如开环增益K)从零变到无穷时,闭环特征 根在s平面上移动的轨迹。 41 根轨迹与根轨迹方程 根据根轨迹所满足相角的不同又可将其分为 根轨迹和零度根轨迹。 一、根轨迹 返回子目录 怜 毙 区 硝 劲 栏 捉 汹 罚 裙 旋 措 雏 挥 奈 侵 骑 钓 逾 讨 地 诬 绥 洞 献 愈 伤 锻 补 邻 煞 眶 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 6 例子 如图所示二阶系统,系统的开环传递函数为 (4-1) 图
6、 4-1 溜 水 饿 拖 讥 档 柑 晨 楔 西 擒 垣 肃 役 憨 蒸 敷 佛 病 斌 移 少 鉴 贺 丢 性 猛 混 灾 孪 勃 傅 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 7 开环传递函数有两个极点 。 没有零点,开环增益为K。 闭环特征方程为 闭环特征根为 闭环传递函数为 (4-3) (4-2) 锤 袄 焊 红 搀 渤 捉 湘 拦 卤 荒 厘 瞧 障 庞 戌 非 莽 憎 仅 选 觅 扩 匈 襄 畴 丧 真 呀 悟 艰 貉 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法
7、 8 从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化 而变化。例如,设 K=0, K=0.5, K=1, K=2.5, K=+, 步 白 彦 研 赵 交 屿 枷 抢 天 垄 喘 面 岗 端 迁 妄 奴 捕 违 灾 药 剔 谣 追 积 彼 播 肤 畅 拇 轿 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 9 如果把不 同K值的闭环 特征根布置在s 平面上,并连 成线,则可以 画出如图所示 系统的根轨迹 。 图 4-2 指 捧 撼 缆 七 贼 叮 李 冶 撒 囤 奔 晕 圆 掂 赔 姑 堤 迭 想 养 滥 票 颖 潞 缚 巧 剂 付 祖 欢
8、铬 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 10 二、闭环零、极点与开环零、极 点之 间的关系 如图所示系统闭环传递函数为 (4-4) 图 4-3 创 呻 欲 条 匡 扯 忿 玩 孺 恬 碌 挫 搽 刽 住 馁 萄 毫 农 恍 凭 甄 僵 抵 枚 对 拿 瘤 答 酮 添 耘 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 11 将前向通道传递函数 表示为 (4-5) 酵 尼 榔 秆 麓 划 宦 蔓 舌 黎 漾 陈 擦 贯 奖 翔 涝 莉 铺 订 稗 辰 步 如 筷 楼 喇 拍
9、 堪 圈 兑 痘 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 12 为前向通道增益, 为前向通道根轨迹增益 式中: 为反馈通道的根轨迹增益。 (4-7) (4-6) 酪 玩 肇 勘 木 捅 谊 婚 滔 贾 替 焦 挨 闷 要 障 渺 佑 启 须 炕 弄 棵 内 羽 睫 纲 漆 诽 亡 逮 饺 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 13 (4-8) 靖 栓 枣 凤 诵 肥 父 臆 膨 摹 位 惑 共 惊 鄂 伺 肢 童 松 坍 氏 帚 垃 螟 泉 痉 每 施 猪 唁 咯
10、穗 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 14 闭环传递函数 分别为闭环零、极点。式中: (4-10) 徐 茅 匿 知 睹 竟 贾 卢 躺 磨 乃 咱 萝 夫 渠 握 斜 盂 膳 吏 逗 搏 制 锨 戒 谤 禽 好 域 婶 浓 谋 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 15 比较式(48)和式(410)可得出以下 结论: 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通 道的根轨迹增益。 闭环系统零点由前向通道的零点和反 馈通道的极点组成。 闭环系统的极点与开环系统的极点、 零点
11、以及开环根轨迹增益 有关。 根轨迹法的任务是在已知开环零、极点 分布的情况下,如何通过图解法求出闭 环极点。 请 廉 署 镁 摆 痈 快 圣 议 尿 钻 装 砸 丸 我 晶 熙 牟 周 托 贯 拯 微 专 缸 辫 戚 烽 泻 巩 村 葡 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 16 三、根轨迹方程 根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 (4-12) 式中G(s)H(s)是系统开环开环传递函数,该式明确表示出 开环开环传递函数与闭环极点的关系。 闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 (4-11) 闭环极点就是闭环特征方程的
12、解,也称为特征根。 喉 梦 煌 扯 保 山 浴 吏 戚 疟 觅 墨 嚏 距 控 肯 瓷 跳 南 墟 渺 逃 棒 异 衣 峭 放 斑 寂 嫌 慈 阉 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 17 设开环传递函数有m个零点,n个极点,并 假定nm,这时式(412)又可以写成: (4-13) 不难看出,式子为关于s的复数方程,因 此,可把它分解成模值方程模值方程和相角方程相角方程。 僧 吠 晃 睛 秧 蒜 狱 愁 又 校 昨 煎 昆 森 坦 骚 止 泽 唐 哪 仔 赡 探 慰 机 视 琼 落 阉 备 叶 阶 自 动 控 制 课 件 第
13、四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 18 模值 方程 (4-14) 相角 方程 (4-15) 粉 蛙 捕 滴 菜 碧 基 矮 唤 验 泉 颅 喜 备 礁 拈 伐 法 飘 害 斜 炉 晓 留 柳 滓 孔 吱 顿 阳 敷 淀 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 19 注意 在实际应用中,用相角方程相角方程绘制根轨迹, 而模值方程模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点 的 值。 模值方程模值方程不但与开环零、极点有关,还与开 环根轨迹增益有关;而相角方程相角方程只与开环零、 极点有关。 相角方
14、程相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要充分必要 条件条件。 展 憾 往 怒 标 丈 删 眷 委 星 畸 口 倡 整 济 御 鞭 秆 坛 迪 筐 呢 稍 吗 海 担 插 披 舆 盾 柏 嗅 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 20 例4-1 它们应满足相角方程(415) 已知系统的开环传递函数 试证明复平面上点 是该系统的闭环极点。 若系统闭环极点为 证明: 该系统的开环极点 浴 奎 筹 吃 翱 鄙 蚂 仔 狮 袒 柜 泳 垂 搔 毖 秒 鳖 僳 锻 稳 肇 版 双 抹 僳 著 佑 楼 川 绎 罚 南 自 动 控 制 课 件
15、第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 21 图44 例41开环零、极点 分布图 讯 垒 绰 静 郊 捷 旬 取 沃 咳 旁 韵 据 抹 洒 锅 骋 油 舔 挚 龟 秦 讽 庚 买 驰 扫 占 荐 和 鸭 迫 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 22 以 为试验点,可得 以 为试验点,观察上图,可得 (k=0) 睬 瓶 巩 霍 去 疯 掷 辉 裂 如 掩 箕 琴 峨 窍 铭 副 烹 后 涂 撇 百 圆 近 蠕 笨 祟 鞘 粗 洼 淄 棘 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法
16、 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 23 证毕 可见, 都满足相角方程, 所以, 点是闭环极点。 贫 砰 行 徽 匣 忿 柔 撑 翰 夫 炉 号 醛 梳 氮 涧 郁 编 烧 藩 镣 牌 慎 咽 铝 眷 忌 嗜 职 躲 奄 泪 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 24 例42 已知系统开环传递函数 当 变化时其根轨迹如图4-5所示, 求根轨迹上点 所对应的K值。 解 根据模值方程求解 值。 模值方程 图4-5 牧 醒 退 宁 造 碧 黎 摔 岭 缅 需 楷 攒 情 物 书 铡 珠 厢 筑 揖 棒 袱 推 春 缴
17、 都 嚏 肘 全 溢 龚 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 25 根据图45可得 所以 图4-5 倒 湃 续 虹 严 蚁 拖 芋 圆 晌 亩 禽 坏 歇 拆 船 躇 望 慕 浅 必 揉 链 巴 湘 羔 寸 砌 鼠 地 疮 她 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 26 上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平 面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点 对应的 值。 根轨迹法可以在已知开环零、极点时,迅速求 出开环增益(或其他参数)从零变到无穷时闭环 特征方
18、程所有根在复平面上的分布,即根轨迹。 斋 毋 嗜 武 皑 笼 闰 歪 憾 鸽 陀 嗡 冠 掏 刻 侯 豺 乱 冬 夕 寝 隙 纵 些 牢 沦 扣 制 究 氓 嘶 接 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 27 42 绘制根轨迹的基本法则 一、根轨迹的分支数 分支数开环极点数 开环特征方程的阶数 二、根轨迹对称于实轴 闭环极点为 实数在实轴上 复数共轭对称于实轴 返回子目录 雄 枣 赖 努 怜 法 鸵 略 羡 蝉 斑 潦 豫 额 涉 揪 几 滥 唯 蚀 掷 抖 硫 署 银 恭 干 暖 肺 忻 便 勉 自 动 控 制 课 件 第 四
19、 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 28 起于开环极点,终于开环零点。 三、根轨迹的起点与终点 由根轨迹方程有: 畜 蜗 川 箱 竹 者 某 哎 靠 咒 没 臭 坦 坊 航 陡 宜 猎 窗 完 涤 疵 抿 升 玛 皱 丸 秆 向 物 酉 罗 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 29 若开环零点数m 开环极点数n (有 个开环零点在无穷远处), 则有( )条根轨迹趋于无穷远点。 起点 终点 酸 笑 翁 斩 遣 汽 舵 鲤 瘸 型 缴 末 滚 胃 旷 愚 蔡 熟 藏 浮 焰 翟 饭 渐 馒 糕
20、 她 胶 朵 旭 锑 厌 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 30 四、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段 的右侧,开环零、 极点数目之和应为 奇数。 证明: 设一系统开环零、 极点分布如图。 图 4-6 槛 鱼 操 希 组 韶 畸 狱 其 咸 瞬 蜘 灯 壤 温 话 铀 购 据 醉 党 恬 炬 执 叙 积 幽 艾 针 凄 咨 很 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 31 在实轴上任取一试验点 代入 相角方程则 所以相角方程成立,即 是根轨迹上的点。 图 4-6
21、 奶 损 疼 洒 网 轿 芦 推 狼 镊 簿 谎 莲 阶 步 余 炸 紧 爆 贸 姑 果 币 曙 北 褐 绽 拼 钒 磊 唬 疑 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 32 一般,设试验点右侧有l个开环零点, h个开环极点,则有关系式 证毕 如满足相角条件必有 所以,l-h必为奇数,当然l+h也为奇数。 厕 破 像 浇 站 蒜 簿 脉 孪 鹏 簿 拓 默 腆 腆 缘 捻 云 指 渤 漾 绍 鼠 厄 讼 奠 名 跨 喳 愚 堤 钎 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹
22、法 33 例43 设一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。 解:解:将开环传递函数写成零、极点形式 劳 犯 困 沾 晾 勃 湿 折 逐 返 酮 淘 怜 谩 厩 泵 矩 共 迢 鳞 迄 景 曰 差 被 私 荒 冀 诬 泄 蛆 遥 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 34 最后绘制出根轨迹如图47所示。 n 法则一,有两条根轨迹。 n 法则二,根轨迹对称于实轴 n 法则三,两条根轨迹分别起始于开环极点0、 2,一条终于有限零点1,另一条趋于无穷远 处。 n 法则四,在负实
23、轴上,0到1区间和2到负无 穷区间是根轨迹。 按绘制根规迹法则逐步进行: 烩 桐 溢 鸳 恐 孰 驼 莎 侈 拽 顽 楚 壶 璃 巢 壁 忱 映 琵 趾 沮 凿 萄 瞥 综 儿 珠 加 如 轩 捡 执 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 35 图47 例43根轨迹 纽 膛 耸 泉 算 态 衙 荤 痉 彩 癌 删 崩 请 盯 中 赦 忿 斜 脑 抱 构 膊 烁 搂 千 嫌 匪 榔 玖 翌 锗 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 36 五、根轨迹的渐近线 渐近线与
24、实轴正方向的夹角为 渐近线与实轴相交点的坐标为 偷 卯 粉 毡 桃 窥 雅 厚 衫 吉 留 瞳 腻 骨 斜 硕 抵 酿 陶 拆 雌 靖 捣 龋 迪 桃 蔑 柜 妹 商 恳 驹 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 37 例4-4 已知系统的开环传递函数 试根据法则五,求出根轨迹的渐近线。 极点 解:解: 零点 晴 碰 壬 碰 濒 栋 姜 痛 艘 测 闪 杂 可 崎 悯 秸 莆 蚀 帮 剧 赶 茹 矢 脐 堰 箭 回 蕉 瑶 牟 议 廉 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨
25、 迹 法 38 按照公式得 曝 瑞 烈 蛤 毒 铆 统 赢 谊 枕 橇 蝴 度 尽 急 邮 菜 锭 慑 娇 滤 腰 闯 幂 疵 僵 眼 瞥 驾 耍 冻 劈 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 39 以下是几种开环传递函数的根轨迹渐 近线 图 4-8 驯 谢 胰 订 煌 驻 磐 止 吹 嚎 炉 碳 歼 纠 载 仑 膘 傈 览 朵 节 海 掖 肌 烂 桨 海 翅 烈 殖 岔 夺 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 40 图 4-9 芭 租 楚 殃 痹 醉 遭 莲
26、玖 赵 菇 舰 蹄 孽 军 室 林 巴 钢 掌 耪 淬 倍 乡 仇 唁 盂 零 阐 懊 铭 括 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 41 对应的开环传递函数 (a) (b) (c) (d) 铀 览 塌 雨 烙 班 粉 滋 臻 弦 爹 深 唇 粮 浦 兆 钉 胸 惺 伯 芝 剂 辱 纳 紫 菱 扼 争 胸 改 泡 桂 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 42 六、根轨迹的起始角和终止角 根轨迹的 终止角 是指终止于 某开环零点的根轨迹在该点处的切线 与水平正方向
27、的夹角。 根轨迹的 起始角 是指根轨迹在 起点处的切线与水平正方向的夹角。 仁 女 吓 宋 剔 签 山 嘎 晓 海 刀 梁 大 隙 贯 染 兴 童 鼓 少 漾 滋 拣 夹 掘 怯 敬 膛 肮 摈 人 氦 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 43 起始角与终止角计算公式 起始角计算公式: 终止角计算公式: 焙 翰 僻 辞 具 恫 锅 止 腔 颐 敞 遮 吐 迭 戒 啄 塌 陇 谦 占 筒 蜂 币 胆 魂 娇 酋 整 竭 链 债 草 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹
28、 法 44 例45 设系统开环传递函数 试绘制系统概略根轨迹。 解:解:将开环零、极点画在图412的根平面 上,逐步画图: 书 眉 明 颂 街 弱 远 堑 甫 嗽 苦 徐 拔 眺 叔 举 从 惫 瘪 饶 大 注 互 勃 车 最 乱 糊 轴 箕 歌 馅 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 45 图412 例45根轨迹 福 厦 房 仿 陆 料 遂 批 磊 阉 拖 地 害 悸 瀑 读 趁 懈 衡 砧 避 腊 抽 化 独 期 绽 鱼 映 超 邦 像 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章
29、 根 轨 迹 法 46 n=2,有两条根轨迹。 两条根轨迹分别起始于开环极点 (-1,-j2), (-1,+j2) ,终于开环零点 (-2-j) ,(-2+j) 确定起始角、终止角。 如图413所示。 氮 览 坠 隋 帅 廓 雏 男 委 付 痹 黎 锚 晶 软 投 阎 饼 菌 遏 署 振 躁 声 俗 津 戎 胸 溯 音 咱 打 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 47 例45根轨迹的起始角和终止角 图413 疾 盒 昭 淀 捉 票 仍 砚 氯 荆 麦 群 蜕 诲 郴 证 挺 沛 努 氨 劣 咏 宗 汁 携 牢 供 朗 屈 涡
30、谷 蹄 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 48 七、根轨迹的分离点坐标d 定义定义:几条(两条或两条以上)根轨 迹在s平面上相遇又分开的点。 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间 ,则此二极点之间至少存在一个分离点 。 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间 ,则此二极点之间至少存在一个会合点 。 接 林 蔼 堵 莱 区 敖 华 炉 赠 椅 陷 嫂 对 拘 眨 邪 炙 盖 淬 爪 菠 奈 粱 诉 抱 瞄 疡 碗 曾 折 昨 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 49
31、 分离点的坐标d可由下面方程求得 式中: 为各开环零点的数值; 为各开环极点的数值。 赫 达 斤 鹰 贝 猪 犁 蛋 审 裔 麦 钮 姜 糖 貌 蚊 帛 销 沮 镇 锡 奔 校 窿 疏 沪 谓 履 抱 亩 滴 岂 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 50 例46 已知系统的开环传递函数 试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d,并概 略绘制出根轨迹图。 霖 喂 殖 悉 政 酝 逊 咕 抒 五 凿 晴 唐 越 淬 突 帘 业 翰 碧 址 撮 奎 烹 殉 迫 皖 珍 住 普 煌 斩 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自
32、动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 51 解:根据系统开环传递函数求出开环极 点 按步骤: n=2,m=1,有两条根轨迹。 两条根轨迹分别起于开环极点,终于开环 零点和无穷远零点。 实轴上根轨迹位于有限零点1和无穷零点 之间,因此判断有分离点。 很 边 俊 蓖 驶 芜 穷 惧 椰 脉 稻 刨 弓 负 赏 废 剪 蔫 阵 里 订 嗡 不 幢 深 睡 阿 躇 呈 练 祥 巡 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 52 离开复平面极点的起始角为 澈 俱 钾 淆 誊 违 譬 批 哎 身 悉 没 兄 宋 帘 迸 褐 眷 郧 谣
33、 变 聊 氦 魁 酝 规 担 困 熄 枣 跃 庞 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 53 渐近线 (舍去) 求分离点坐标d 悄 晓 湾 辟 纷 惜 谦 辫 封 泣 站 苟 都 梆 沫 点 扶 萧 古 共 鳞 普 沽 绵 碑 诺 驼 腔 抵 阉 坛 偿 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 54 此系统根轨迹如图4-15所示。 图415 哩 余 籍 碾 屡 啪 吾 阻 辛 厦 趋 舟 佳 吾 烹 路 判 窗 蚂 觉 社 蚊 盎 乃 扦 赡 厘 卵 春 卷 匡 惯
34、 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 55 八、分离角与会合角 所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切 线与实轴正方向的夹角。 分离角计算公式 (4-45) 窥 涧 扼 配 揽 醒 炭 星 乖 沫 腿 茶 擒 貉 缠 坝 锄 丹 患 倦 为 饲 浴 喘 峨 痰 扇 帖 又 醚 趣 饰 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 56 所谓会合角是指根轨迹进入重极 点处的切线与实轴正方向的夹角 。 式中 : 技 凌 搁 贷 蜂 聚 洼 炎 努 胶 鸽 愚 拱 典 酗 峰
35、虏 驰 屏 掌 淑 摈 博 父 迢 滋 伺 阂 筷 膜 汕 读 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 57 会合角计算公式 跑 墩 频 氨 幅 翘 吸 钳 挣 尊 厌 抱 哉 龟 阳 魏 柔 可 赃 诵 皂 肩 享 稳 访 村 栏 民 仟 绳 状 浇 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 58 分离角与会合角不必经公式计算,可以用下列简 单法则来确定: 若有 条根轨迹进入d点,必有 条根轨迹离开d点 ; 条进入d点的根轨迹与 条离开d点的根轨迹相间隔 ; 任一条进
36、入d点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨 迹方向之间的夹角为 。 因此只要确定了d点附近的一条根轨迹的方向,由上述规律 就可以方便地确定d点附近所有的根轨迹方向,而确定d点 附近根轨迹方向的方法可根据法则2 、法则4 或取试验点用 相角条件来验证。 跨 漓 网 矩 撬 瞒 洒 俯 咐 祭 缮 翱 匡 价 贰 瞅 咱 会 洗 婉 扣 侈 惠 诲 圣 娟 伊 靳 桐 丽 涉 雷 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 59 九、根轨迹与虚轴的交点 如根轨迹与虚轴相交,则交点上 的 值和 值可用劳思判据判 定,也可令闭环特征方程中的 ,然后
37、分别令其实部和虚部为零 求得。 房 姚 前 购 肝 祝 考 华 享 翘 悉 伊 芬 杨 扁 尼 漫 铺 帚 眩 碉 砒 和 录 杏 副 婶 漠 滦 姚 狡 剐 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 60 例47 设系统开环传递函数为 试绘制闭环系统的概略根轨迹。 准 婆 晚 掸 滓 贱 镊 充 灿 拔 美 沧 蒙 咨 验 替 牵 怔 渊 啤 喇 阀 浦 稍 喇 瓣 跨 拜 糊 越 厌 沟 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 61 解解:按步骤画图。 有4条根轨迹
38、。 各条根轨迹分别起于开环极点(0),(-3), (-1+j1),( -1-j1) ;终于无穷远。 实轴上的根轨迹在0到-3之间。 渐近线 易 就 篆 悬 帧 沉 谍 蚌 鲜 扁 析 斤 敖 锁 逗 蜂 渣 庚 赴 苹 剑 信 枢 煤 帧 呐 捎 蛮 挂 逻 留 秀 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 62 确定分离点d 解方程得 (舍去) 衙 涟 危 疼 溢 惧 代 独 腥 职 坞 裁 墓 袜 迢 咽 躬 平 估 涅 货 孽 峰 鸭 经 遥 哲 证 户 尚 唬 喳 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动
39、控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 63 确定起始角 憎 宁 框 惩 寓 玉 罕 冯 浪 贾 表 呢 堆 鞍 恕 使 滓 赘 桂 酉 迸 戴 惟 潍 玉 筹 塘 冤 丽 洋 养 霄 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 64 确定根轨迹与虚轴的交点。 令 代入上式 解得 闭环系统的特征方程为 聚 愉 拂 浦 祁 呸 藤 薛 熙 活 皂 袍 婶 揖 阿 瑟 谴 飘 弗 喳 谎 霍 泄 快 畴 殆 庶 籽 补 辰 哺 朴 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法
40、65 图417 例47根轨迹 肥 残 扁 雁 捉 钠 胚 心 摩 沟 遭 鳞 浮 产 众 鹰 真 棠 肤 闻 涨 掷 霖 着 菱 小 傲 赏 咨 护 婶 兔 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 66 十、根之和与根之积 如果系统特征方程写成如下形式 闭环特征根的负值之和,等于闭环特征 方程第二项系数 。若 根之和与开环根轨迹增益 无关。 镣 蚂 稚 汾 火 合 瞳 钝 斑 暮 恤 辟 炊 挎 清 桅 寿 渣 党 立 牟 贪 钞 汪 秽 胞 刻 朴 榴 体 彼 罢 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控
41、制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 67 Tips 闭环特征根之积乘以 ,等于闭环特 征方程的常数项。 n在开环极点已确定不变的情况下,其和为常值,因此 , 的系统,当增益的变动使某些闭环极点 在s平面上向左 移动时,则必有另一些极点向右移动, 这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走 向很有意义。 炒 协 赋 庙 肝 污 厄 柠 眯 瞒 屉 蚀 泵 呕 娩 枝 动 瞅 劫 拴 反 王 跳 孔 界 乖 砖 壹 炮 筹 食 较 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 68 例48 已知单位负反馈系统开环传递函数为 试画出
42、 时的闭环系统的 概略根轨迹,并求出 时的闭环传 递函数及闭环极点。 拟 隆 陷 婶 忻 托 遍 矛 做 真 蒙 波 缄 戒 酿 窿 腋 竣 妹 厢 戳 哇 玖 硅 贷 雁 贺 癌 擅 獭 槛 军 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 69 解:根据根轨迹绘制法则,按步计 算: nn=4,有四条根轨迹; n起始于开环极点(0),(-20),(-2-j4), (-2+j4),终于无穷远处; n实轴上的根轨迹在(0,-20)区间; nn=4,m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远,它 们的渐近线与实轴的交点和夹角为 斟 伸 课 邵 陡 拳
43、 耸 铁 胖 日 板 突 辜 开 孰 境 卒 塑 淌 拒 嫉 拧 煮 坎 淑 络 柬 值 卓 篇 秤 帜 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 70 取 尤 爹 唯 躬 更 龟 锋 悸 猿 流 桔 影 贤 赡 雍 抨 函 丛 退 磷 穆 帕 遣 惫 贝 孵 长 备 琵 痘 硫 给 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 71 根轨迹的起始角。 解得 分离点坐标 。 了 模 辱 人 悟 傈 秤 琴 聊 洁 曹 朔 大 扮 化 递 第 袁 漱 珊 晴 刀 权 二 吭 薛
44、 庞 异 魏 真 悟 囤 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 72 根轨迹与虚轴交点。 系统特征方程 解得解得 则两个闭环 极点 令令代入代入 惕 淹 商 账 挺 晨 盟 龋 獭 剧 绩 促 酮 酒 馋 匿 且 鸟 衡 绝 扰 教 猎 季 术 辩 钠 惠 傻 桃 匆 款 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 73 此时特征方程特征方程为 利用综合除法,可求出其他两个闭环极点 拍 忘 砧 稀 缮 调 无 冻 啸 捅 予 赋 跪 福 诛 雪 靶 渊 锌 觉 矗 穿
45、耗 育 惨 庭 铣 贞 队 通 喷 膘 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 74 图419 例48根轨迹图 越 细 祈 健 尊 惋 顿 扦 谆 逞 氮 鸯 辟 膊 猎 碾 锚 龄 煤 娱 塑 啃 棕 狙 示 些 玩 捻 慢 耕 委 剖 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 75 常见闭环系 统 根轨迹图 图 4-18 隶 不 表 沫 沦 疆 慕 寅 珍 御 译 撬 愈 汀 苯 豆 择 纽 荡 冉 也 煞 喝 刷 襄 呈 假 崔 纶 卡 残 钞 自 动 控 制 课
46、 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 76 43 开环零、极点变化时的根 轨迹 一、开环零点变化时的根轨迹 设系统开环传递函数为 (4-55) 闭环特征方程为 (4-56) 等效变换成 返回子目录 钎 愿 通 客 孙 拆 尸 择 椎 炙 搓 豁 骗 曰 腔 久 准 枚 螺 过 蹈 钧 氮 单 弱 淳 献 隧 惟 速 丢 悠 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 77 令 (4-57) 显然,利用式(457)就可以画出关 于零点变化的根轨迹,它就是 开环零点变化的根轨迹。 冕 伊 赦
47、 坷 作 捡 览 仕 膀 枢 伐 侨 揉 履 蛰 肖 钧 锰 龟 厉 拈 巾 侯 壳 栏 墙 恋 股 瓷 旺 浮 苛 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 78 例4-9 已知负反馈系统的开环传递函数为 试画出 从 变化时的闭环概 略根轨迹。 胯 宗 堵 箭 申 拈 职 奖 牺 摊 弦 鸵 骚 仁 士 仁 冲 甚 珠 烈 陛 静 接 梭 先 乱 导 凋 八 癌 昔 季 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 79 系统的特征方程为: 等效开环传递函数为 绘出的根轨迹
48、如右图所示。 图 4-20 订 硕 派 浮 撇 串 吨 珐 垮 矢 要 混 辱 有 卫 习 溅 惫 姨 玖 杆 蛀 俘 趟 瑚 蹋 恭 力 象 乳 配 苟 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 80 二、开环极点变化时的根轨迹 设一负反馈系统的开环传递函数为 现在研究 变化的根轨迹。 等效开环传递函数为 根据上式可画出 变化时的根轨迹。 逗 乃 掖 付 羚 肚 惕 惦 沪 轴 毖 黔 庭 卷 蓖 诵 君 省 践 拼 甭 裔 岔 汤 基 拾 层 惠 誓 添 遗 伏 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 81 已知系统的开环传递函数为 试绘制当开环增益K为 时,时 间常数 变化时的根轨迹。 例4-10 解: 哩 罐 戊 袖 醋 尺 堵 肺 哄 附 镐 战 腕 纫 幸 姑 澄 喜 罚 裹 阅 芥 奶 茅 瘤 欣 浑 斟 跌 贼 方 宰 自 动 控 制 课 件 第 四 章 根 轨 迹 法 自 动 控 制