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1、第二章自动控制系统的数学模型习题2-1试建立图示电路的动态微分方程。+uC-(a)(b)解：（ a）解法一：直接列微分方程组法duCuCuOduO12dui1CdtR1R2RRuOdtCR1 R2dtuiuCuiuOCR1解法二：应用复数阻抗概念求R11（ 1）I (s)U O ( s)（2）CsU i (s)I ( s) U O ( s)R2R11Cs联立式（ 1）、（ 2），可解得：U o (s)R2 (1R1Cs)U i(s)R1R2R1 R2 Cs微分方程为 :duoR1 R2uodui1 uidtCR1 R2dtCR1（ b）解法一：直接列微分方程组法uLL di LdtiLuOR2
2、uCuL uOuiR1 (C duCuO ) uCdtR2R1 LCd 2uo(L R1 R2 C)duo(R1 R2 )uo Ru2idt2dt解法二：应用复数阻抗概念求U C (s)U O (s) (R2Ls)R2U i (s)R1 U O ( s)U C ( s) U C (s)R21sCR1 LCs2U o ( s) ( LR1 R2 C)sU o (s)(R1R2 )U o (s)R2U i (s)拉氏反变换可得系统微分方程：d 2 u odu oR1 LCdt 2(LR1 R2 C ) dt(R1R2 )u oR2 ui2-7 证明图示的机械系统(a)和电网络系统 (b)是相似系统
3、（即有相同形式的数学模型） 。AB(b)(a)解： (a)取 A 、B 两点分别进行受力分析。对 A 点有K1 ( xixo )f1 ( xi xo ) f2 ( xo y)(1)对 B 点有f 2 ( xoy)K 2 y(2)对式（ 1）、（ 2）分别进行拉氏变换，得K1 ( XiXo )f1 (sXisXo )f2 (sXosY)f2 (sX o sY)K 2 Y消去中间变量 Y ，整理后得X o ( s)( f1 s K 1 )( f 2 s K2 )X i ( s)( f1f 2 )s K 1 ( f 2 s K 2 ) f22 s2f1 f 2 s2( f1f 2 )s 1k1k2k
4、1k2= f1 f2s2(f1f2f2) s 1k1 k2k1k2k1(b) 由图可写出Eo (s)Ei(s)1R21R11C2 sC1 sR1C1 s1R2C2 s整理得Eo (s)R1 R2 C1C2 s2(R1C1R2 C2 )s1Ei(s)R1 R2 C1C2 s2(R1C1R2C2R2C1 )s 1比较两系统的传递函数， 如果设 R1f 1 , R2f2 ,C11 K 1 ,C21 K 2则两系统相似。2-9 在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为c(t )1e 2te t ，试求系统的传递函数和单位脉冲响应。解：k (t )dc( t)2e 2te t(s)Lk (t )2s13s2
5、dts 21 (s1)(s2)2-10 试绘制下列方程组描述的系统的动态结构图，并求传递函数C ( s) 。R( s)X1 (s)R(s)G1 ( s) G1 ( s)G7 (s) G8 (s)C (s)X 2 (s)G2 ( s) X 1 (s) G6 (s) X 3 (s)X 3 (s) X 2 (s) C( s)G5 ( s)G3 (s)C( s)G4 ( s) X 3 (s)解：系统结构图如下：利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为C(s)G1G2 G3G4R(s)1G2 G3G6G3G4 G5G1G2 G3 G4 G7G1G2 G3 G4 G82-11试用结构图等
6、效化简或梅森公式求图示各系统的传递函数C ( s) 。R( s)解：(a)L1G2 H1 , L2G1G2 H 2 , P1 G1G2 , 1 1, P2 G2 G3 , 2 1C(s)G1G2G2G3R(s) 1 G2 H1G1 G2 H 2(b)L1G1G2 H , L2G1G4 HP1 G1G2 , 11, P2G2 G3 , 2 1 G1G4 HC( s) G1G2G2G3 (1 G1G4 H )R(s)1G1G2 H G1 G4 H解：(c)L1G1 G2 , L2G1 H , L3G3 H , P1G1G2 ,11G3 HC(s)G1G2 (1G3 H )R(s)1G1G2G1 H
7、G3 H(d)L1G2 H , P1G1 ,11, P2G2 ,21C( s)G1G2R(s)1G2 H2-12 求图示系统的传递函数C ( s)， C (s) 。R( s)D (s)解：L1G1G2 H 3 , L2G2H 2(a)R(s)C( s) : P1G1 G2 ,11C(s)G1G2R(s)1 G1G2 H 3G2 H 2D(s)C(s) : P1G2 ,11, P2G1 G2 H 1 , 2 1C(s)G2 G1G2 H 1D (s)1 G1G2 H 3G2 H 22-13 求图示系统的传递函数C ( s)， E(s) 。R( s)R(s)(b)解：L1G2 G3G5 , L2G
8、3G4R(s)C( s) : P1G2 G3 G5 ,11, P2G1 G5 ,21C( s)G2 G3 G5G1G5R(s) 1 G2 G3 G5G3 G4R(s)E( s) : P11,11G3 G4 , P2G1 G5 ,21E( s) 1 G3G4G1G5R(s) 1 G2 G3 G5G3 G4第三章时域分析法习题3-1 设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假定温度计为一阶系统，试求时间常数。如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以的速度线性变化，求温度计的误差。解：传递函数3-4单位负反馈系统的开环传递函数为，求该系统的上升时间、峰值时间 、超调量 和调整时间 。解：, .。
9、3-6 系统的单位阶跃响应为，试求：(1) 系统的闭环传递函数；(2) 系统的阻尼比 和无阻尼自然振荡频率 。解： (1)(2) , .3-7 设单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。解：3-8单位负反馈系统的开环传递函数。当时，系统的动态性能指标， ，试选择参数及 值。解：3-11 闭环系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系统的稳定性。（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）(1)Routh： s319s220100s14s0100第一列同号，所以系统稳定。(2)Routh ： s319s220200s1-1s0200第一列变号，所以系统不稳定。(3)Routh ： s
10、41185s3816s2165s1216s05第一列同号，所以系统稳定。(4)Routh ： s5131s4621s3165s221s1-6s01第一列变号，所以系统不稳定。3-12 单位负反馈系统的开环传递函数解： (1)系统特征方程：Routh ：s3140s214Ks1560-Ks0K系统稳定， 560-K0,K0所以： 0K0,K-270所以： 27K1923-13 系统结构如图所示，确定系统稳定时的取值范围。解：开环传递函数：特征方程：Routh ：s3110s210s1s010系统稳定，即3-16 单位反馈控制系统的开环传递函数如下。试求各系统的静态位置误差系数、速度误差系数和加速
11、度误差系数，并确定当输入信号分别为和 时系统的稳态误差 。(1)(2)解： (1)(2)I(3)(4)(3)II 型系统(4) 由劳斯判据知系统不稳定，故不存在稳态误差。3-17 闭环系统的结构如图所示。(1) 当 ，超调量 ，调整时间 时，试确定参数 和 的值；(2) 当输入信号分别为 时，求系统的稳态误差。解：(1) 系统开环传递函数闭环传递函数(2) 系统为 I 型系统，开环增益为3-18 系统结构如图所示，试确定使阻尼比和单位斜坡函数输入时稳态误差的参数和 的取值。解：3-19 系统结构如图所示，其中。试求：(1) 在 作用下系统的稳态误差；(2) 在 和 同时作用下系统的稳态误差；(
12、3) 在 作用下，且 和 时，系统的稳态误差。解： (1)r(t) 作用时，令， ，则(2) 作用时，令，(3)3-20 图示复合控制系统中，试选择和 的值，使系统由型系统的无差度提高为型系统的无差度。解：要想系统误差度为III 型系统无差度，则需要当时，稳态误差零。令 得3-21 系统结构如左图所示，(1) 若 为一阶环节，输出响应曲线如右图所示，求；(2) 若 ，试求当和 时系统的稳态误差。所以，系 差 ：第四章根 迹分析法 4-2 位回 控制系 的开 函数， 用解析法 出从零 化到无 的 根 迹 ，并判断-2, j1, (-3+j2) 是否在根 迹上。解：-2 在根 迹上，（ -3+j2
13、 ）， j1 不在根 迹上。4-3 反 控制系 的开 函数如下， 画出各系 的根 迹 。(2) (3) ，解：（ 2）1）开 零、极点：p1=0， p2=-1,p3=-4,z=-1.0 ， n=3， m=12） 上根 迹段： （ 0，-1），（ -1.5， -4）3）根 迹的 近 ：4）分离点和会合点（ 3） 1）开环零、极点： p1=0， p2,3=-1 ，n=32）实轴上根轨迹段： （ 0，-1），（ -1， -）3）根轨迹的渐近线：4）分离点和会合点5）与虚轴交点：4-5系统的开环传递函数为，(1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点；(2) 当增益 为何值时，复数特征根的实部为 -2
14、？求出此根。解： （ 1）1）开环零、极点：p1=0， p2=-1 z=-2 ， n=2 ， m=12）实轴上根轨迹段： （ 0，-1），（ -2， -）3）分离点和会合点可以证明该根轨迹是一个半径为1.414，原点在 -2 处的标准圆（ 2）系统特征方程为4-6 单位反馈系统的前向通道传递函数为，为使主导极点具有阻尼比，试确定的值。解：系统的根轨迹如图:d=-0.45在根轨迹图上作射线: = 60o与根轨迹相交点为s1 和 s2设相应两个复数闭环极点分别为：则闭环特征方程式可表示为比较系数，得：4-7控制系统的开环传递函数为(1) 绘出该反馈系统的根轨迹图；(2) 求系统具有阻尼振荡响应的取
15、值范围；(3) 系统稳定的 最大为多少？并求等幅振荡的频率；(4) 求使主导极点具有阻尼比 时的 值，并求对应该值时，零极点形式的闭环传递函数。解：（ 1）1）开环零、极点：p1=0， p2=-2， p3=-4 ， n=32）实轴上根轨迹段： （ 0，-2），（ -4， -）3）根轨迹的渐近线：4）分离点和会合点分离点对应的5）与虚轴交点：（ 2）系统具有阻尼振荡响应的取值范围是：（ 3）系统稳定的 ，等幅振荡频率为（ 4）同上题方法可求得：阻尼比时4-8 单位负反馈系统的开环传递函数为，用根轨迹分析系统的稳定性。解： 1）开环零、极点：p1=0， p2=-1 ， p3=-2， n=32）实轴
16、上根轨迹段： （ 0，-1），（ -2， -）3）根轨迹的渐近线：4）分离点和会合点5）与虚轴交点：所以，系统稳定的取值范围是：4-9 单位负反馈系统的开环传递函数为(1) 画出系统的根轨迹图；(2) 确定系统临界稳定时的开环增益；(3) 确定与临界阻尼比相应的开环增益。解：（ 1） 实轴上的根轨迹： 0, -50,-100,- 分离点：求解得 渐近线：根轨迹如图所示。(2) 系统临界稳定时(3) 系统临界阻尼比时4-10 系统的开环传递函数为，试绘制系统在时的根轨迹，并确定系统临界阻尼时的 值。解：1）开环零、极点：， n=2 ，m=12）实轴上根轨迹段： （ -2， -）3）分离点和会合点
17、s1=-3.732 ， s2=-0.268（舍）此时系统即为临界阻尼情况，对应的4）出射角4-12 系统结构如图所示，试画出反馈系数为变数的根轨迹。解：则，系统等效开环传递函数1）分离点和会合点s1=-3.16， s2=3.16（舍）2）与虚轴无交点：3）4-14 系统结构如图所示，闭环根轨迹通过(-0.65+j1.07) 点，试绘制从 变化时系统的根轨迹。解：系统特征方程为：将 s=-0.65+j1.07 代入上式，可得：1）根轨迹的渐近线：2）分离点和会合点5）与虚轴交点：所以，与虚轴无交点。4-16 单位反馈系统的闭环特征方程为。试绘制系统的根轨迹，并求闭环出现重根时的 值和对应的闭环根。解：由系统特征方程可得系统等效开环传递函数1）根轨迹的渐近线：2）与虚轴交点：3）分离点和会合点：分离点对应的此时特征方程可写为：与题目已知系统特征方程对比可得4-17 控制系统结构如图所示， ，试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。解：1）分离点和会合点：此时增益对系统阻尼特性的影响：时系统都是稳定的；时，系统是过阻尼系统；时，系统是欠阻尼系统；时，系统又变成过阻尼系统。