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1、2003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至 2页，第卷3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷 （选择题共60 分）一 . 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共求的1直线 y2x关于 x 对称的直线方程为（ A） y1 x（ B） y1（ C） yx222已知 x,0， cos x4 ，则 tg 2x25（A） 7（ B ）7（C） 24242473抛物线 yax2 的准线方程是y 2,则a 的值为11（C） 8（ A ）（ B）8814等差数列an 中，已知 a1a5 4, an,a
2、2360 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要（）2x（D ） y2x（）24（ D ）7（）（ D） 833,则 n为（）（A ）48（B）49（C）50（D）515双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F1, F2,FMF2120，则双曲线的离心率为（）1（A） 3（ B）6（ C）6（ D）32336设函数 f (x)2 x1x0，若 f ( x0 ) 1，则 x0 的取值范围是（）1x0x 2（ A）（1，1）（ B）（1，）（ C）（， 2） （0，）（ D）（， 1） （1，）7已知 f (x5 )lg x,则 f (2)（）（ A ） lg 2（ B） lg 32（ C
3、） lg 1（ D） 1 lg 23258函数 ysin(x )(0)是R上的偶函数，则（）（A ）0（ B）4（C）（ D）29已知 点( a,2)( a0)到直线 l : x - y30的距离为 1，则a（）（A） 2（B） 22（C）21（D）2110已知圆锥的底面半径为R，高为 3R ，它的内接圆柱的底面半径为3 R ，该圆柱的全面积为（）（D） 54（A） 2 R2（B） 9 R2（C） 8 R2R243211已知长方形的四个顶点A（ 0， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 1）和 D（ 0， 1），一质点从 AB 的中点 P0沿与AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1后，
4、依次反射到CD、DA 和 AB 上的点 P2、 P3 和 P4 （入射角等于反射角） 。若 P4与P0 重合，则 tg=（）（A） 1（B） 2（C） 1（D）135212一个四面体的所有棱长都为2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A） 3（B） 4（C）3 3（D） 62003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）第卷 （非选择题共 90 分）二 . 填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。13不等式4x x2x 的解集是 _.14 ( x21) 9 的展开式中 x9 系数是_.2 x15在平面几何里，有勾股定理：“设ABC
5、的两边 AB, AC 互相垂直 ,则AB 2AC 2BC 2 。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，三棱锥ABC的三个侧面ABC、 ACD、 ADB_. ”16如图， 一个地区分为5 个行政区域， 现给地图区域不得使用同一颜色， 现有 4 种颜色可供选2色方法共有种1_ 。（以数字作答）34三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分，解答应证明过程或或演算步骤可以得出的正确结论是： “设两两互相垂直，则着色，要求相邻择，则不同的着5写出文字说明，17（本小题满分 12 分）已知正四棱柱 ABCDA1BC1 1D1，AB1， AA12，点 E为 CC1中
6、点，点 F为 BD1 点中点。（）证明 EF 为BD 与 CC 的公垂线D1111C（）求点D1到面 BDE 的距离。A1B1EFDCMA18（本小题满分12 分）B已知复数 z 的辐角为 60 ，且 | z1 |是 | z |和 | z2 |的等比中项，求| z |.19（本小题满分12 分）已知数列 an满足 a1 1, an 3n 1 an 1 ( n 2).（）求 a2 , a3 ；（）证明 an3n 1。220（本小题满分12 分）y已知函数f ( x)2sin x(sin xcos x) 。（）求函数f (x) 的最小正周期和最大值；（）在给出的直角坐标系中，画出函数y f (x)
7、在区间, 上的图象。x22O2221（本小题满分12 分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测， 当前台风中心位于城市O（如图） 的东偏南(cos2) 方10向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度y北向西偏北45 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前 半径为 60km ，并以 10km/h 的速度不断增大，O东问几小时 后该城市开始受到台风的侵袭？xO海岸O线Pr(t)45P22（本小题满分14 分）已知常数 a0 ，在矩形 ABCD 中， AB4， BC4a ， O 为 AB 的中点，点 E、 F、 G 分别在 BC 、CD、DA 上移动，且 BECFDC ，P 为
8、GE 与 OF 的交点（如图） ，问是否存在两个定点，使P 到这两BCCDDA点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。yDFCEPGAOBx2003 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 )数学（文史类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分 60 分 .1C 2D 3B 4C 5 B 6 D7D 8C 9C 10B 11C 12A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16分.13 (2,4 14 222221 15 S ABCS ACDS ADBS BCD 16 722三、解答题：本大题共6 小题，共 74
9、 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（ I ）证明：取 BD中点 M，连结 MC，FM， F为 BD1 中点， FMD1D且 FM=1 D1D2又 EC=1 CC1，且 EC MC，2四边形EFMC是矩形 EF CC1又 CM面 DBD1 EF面 DBD1 BD1 面 DBD1， EF BD1 故 EF为 BD1 与 CC1 的公垂线（ II ）解：连结 ED1，有 V由（ I ）知 EF面 DBD1，设点 D1 到面 BDE的距离为d，则 S DBC d=SDCD1 EF. AA1=2 AB=1.BDBEED2, EF22S DBD112 22, S DBC13(2)232
10、222故点 D 到平面 BDE的距离为23.1318解：设 z= r (cos 60ri sin 60 ), 则复数 z的实邻为2zzr ,zzr 2由题设 | z1 |2 | z | | z2 |即 ( z 1)(z 1) | z | (z 2)( z 2)r 2r 1r r 22r 4r 22r 10解得 r21r21 （舍去）19（ I ）解 a11,a231 4,a332413（ II）证明：由已知anan13n 1, 故an(anan 1 ) ( an 1an 2 )( a2a1 ) a1=3n 13n 23 13n1.23n1所以 an220解（ I ） f ( x)2 sin2
11、x2sin x cos x1cos 2xsin 2x12 (sin 2x coscos 2 xsin)12 sin(2 x)444所以函数f (x) 的最小正周期为 ，最大值为 12 .（）由（）知x338888y112112故函数 yf (x) 在区间 , 上22图）：即|z|=21581的图象是（如右21解：如图建立坐标系：以 O为原点，正向 .在 t 时刻： t （h）台风中心P( x, y) 的x2202300t,102y72202300t .102此时台风侵袭的区域是( x x) 2( y y)2r (t) 2 ，其中 r (t) 10t+60，若在 t 时，该城市O受到台风的侵袭，
12、则有正东方向为x 轴坐标为(0x) 2(0y)2(10t60) 2 ,即 (300220227222210t )( 300202t )(10t 60) ,210即 t 236t2880 ，解得 12t 24.答： 12 小时后该城市开始受到台风气侵袭22解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到定点距离的和为定值.由题意有A（ 2， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 4a）， D（ 2， 4a）设 BECFDCk (0 k 1) ，BCCDDA由此有 E（ 2， 4ak）， F（2 4k，4a）， G（ 2， 4a4ak） .直线 OF的方程为： 2ax ( 2k1) y0 ，直线 GE的方程为：a(2k 1) xy2a0.从，消去参数k，得点 P（ x， y）坐标满足方程2a2x2y22ay 0 ，整理得 x2( ya)21.1a 22当 a 21 时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.2当21 时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 .a2当 a 21 时，点 P 到椭圆两个焦点 (1a2 , a), ( 1a2 ,a) 的距离之和为定值2 .222当 a 21 时，点 P 到椭圆两个焦点 (0, aa21），（ 0，aa 21) 的距离之和为定值 2a222