《【人教版】九年级上册数学：《一元二次方程》全章教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【人教版】九年级上册数学：《一元二次方程》全章教案.docx（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、一元二次方程教材内容本单元教学的主要内容：1. 一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题.2. 本单元在教材中的地位和作用：教学目标1. 一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念。2. 根据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，熟练掌握开平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法 .3. 经历分析和解决问题的过程，体会一元二次方程的教学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。教学重点、难点重点：1一元二次方程
2、及其有关概念2. 一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）3. 一元二次方程根与系数的关系以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。难点：1. 一元二次方程及其有关概念2. 一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），3. 一元二次方程根与系数的关系以及灵活运用课时安排本章教学时约需课时，具体分配如下（供参考）22 1一元二次方程1课时22 2降次7课时22 3实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结一元二次方程教学目的1使学生理解并能够掌握整式方程的定义2使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义3使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式教学重
3、点、难点重点：一元二次方程的定义难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别教学过程复习提问1什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？2指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；3结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”引入新课1方程的分类：（通过上面的复习，引导学生答出）学过的几类方程是没学过的方程有x2-70x+825=0 ，x(x+5)=150这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程”据此得出复习中
4、学生未学过的方程是(4) 一元二次方程： x2-70x+825=0 ， x(x+5)=150 同时指导学生把学过的方程分为两大类：2一元二次方程的一般形式注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0 和方程 x(x+5)=150 ，即 x2+5x=150，可化为： x2+5x-150=0 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0(a 0) 的形式并称之为一元二次方程的一般形式其中 ax2， bx， c 分别称为二次项、一次项、常数项；a，b 分别称为二次项系数、一次项系数【注意】二次项系数 a 是不等于 0 的实数 (a=0 时，方程化为 bx+c=0，
5、不再是二次方程了 ) ； b，c 可为任意实数例 把方程 5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项课堂练习P27 1、2题归纳总结1方程分为两大类：判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次2一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程其一般形式是 ax2+bx+c=0(a 0) ，其中 b， c 均可为任意实数，而a 不能等于零布置作业 ：习题 22.11 、2题达标测试1. 在
6、下列方程中 ,一元二次方程的个数是 ( )3x 2+7=0, ax2+bx+c=0, (x+2)(x-3)=x2-1, x2- 5x +4=0,x2-(2 +1)x+2 =0, 3x 2-4+6=0xA.1 个B.2个C.3个D.4个2. 关于 x 的一元二次方程 3x2=5x-2 的二次项系数 , 一次项和常数项 , 下列说法完全正确的是 ( )A.3,-5,-2B.3,-5x,2C.3,5x,-2D.3,-5,23. 方程 (m+2) x m +3mx+1=0是关于 x 的一元二次方程,则( )A.m= 2B.m=2C.m=-2D.m 24. 若方程 kx2+x=3x 2+1 是一元二次方
7、程 , 则 k 的取值范围是5. 方程 4x2=3x-2 +1 的二次项是,一次项是,常数项是课后反思 ：解一元二次方程第一课时直接开平方法教学目的1使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程2引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a 0， c 0) 的方法教学重点、难点重点：准确地求出方程的根难点：正确地表示方程的两个根教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据求下列各式中的x：1 x2=225； 2 x2-169=0 ； 3 36x 2=49； 4 4x2-25=0 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根解题的依据是：
8、一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数即 一般地，如果一个数的平方等于a(a 0) ，那么这样的数有两个，它们是互为相反数引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课例 1 解方程 x 2-4=0 解：先移项，得 x2=4即 x1=2，x2=-2 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法例 2 解方程 (x+3) 2=2练习： P28 1 、2归纳总结1本节主要学习了简单的一元二次方程的解法直接开平方法2直接法适用于ax2+c=0(a 0， c0) 型的一元二次方程布置作业 ：习题 22.14、 6 题达标测试1. 方程 x2-0.36=0的解是A.0.6B.-0
9、.6C.6D. 0.62. 解方程 :4x 2+8=0的解为A.x =2 x=-2B.x12, x2212C.x 1=4 x 2=-4D.此方程无实根3. 方程 (x+1) 2-2=0的根是A. x112, x212B.x112, x212C. x112 , x2 12D.x112, x21 24. 对于方程 (ax+b)2=c 下列叙述正确的是A. 不论 c 为何值 , 方程均有实数根B.方程的根是cbxaC.当 c 0 时 , 方程可化为 : axbc或 axbcD.当 c=0 时,bxa5. 解下列方程 :.5x 2- 40=0 .(x+1) 2-9=0.(2x+4)2- 16=0 .9
10、(x-3)2-49=0课后反思第二课时配方法教学目的1使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法2使学生能够运用适当变形的方法， 转化方程为易于用配方法求解的形式， 来解某些一元二次方程 并由此体会转化的思想教学重点、难点重点：掌握配方的法则难点：凑配的方法与技巧教学过程复习过程用开平方法解下列方程：22(1)x=441； (2)196x-49=0 ；我们知道， 形如 x2-A=0 的方程， 可变形为 x2=A(A0) ，再根据平方根的意义， 用直接开平方法求解 那么，我们能否将形如 ax2+bx+c=0(a 0) 的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题新课我们研究方程x2+
11、6x+7=0 的解法：将方程视为：x2+2 x 3=-7 ，即 x 2+2 x 3+32=32-7 ， (x+3)2=2，这种解一元二次方程的方法叫做 配方法 这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解例 1 解方程 x2-4x-3=0 配方法解之在解的过程中，注意介绍配方的法则2例 2 解方程 2x +3=7x练习： P34 1 、2 题归纳总结应用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a 0) 的要点是：(1)化二次项系数为 1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；(3)方程
12、两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式.布置作业 ：习题 22.21、 3 题达标测试1.方程 x2-a 2=(x-a)2(a 0) 的根是A.aB.0C.1或 aD.0或 a2.已知关于x 的方程 (m+3)x 2+x+m2+2m-3=0 一根为 0, 另一根不为0, 则 m的值为A.1B.-3C.1或 -3D.以上均不对3.若 x2-mx+ 1 是一个完全平方式, 则 m=4A.1B.-1C.1D.以上均不对4.方程 x2=5 的解是,方程 (x-1)2=5 的解是,方程 (3x-1)2=5 的解是5. x21 x=(x- )2 x25 x=(x+ )222课后反思 ：第
13、三课时求根公式法教学目的1使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力2使学生掌握公式法解一元二次方程的方法教学重点、难点重点：要求学生正确运用求根公式解一元二次方程难点： 1. 求根公式的推导过程2. 含有字母参数的一元二次方程的公式解法教学过程复习提问2提问：当x =c 时， c 0 时方程才有解，为什么？(1)x 2-8x=20 ； (2)2x2-6x-1=0 引入新课我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？新课( 引导学生讨论) 用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) 的步骤解： a 0，两边同除以a，得把常
14、数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得(a 0) 的求根公式 用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法应用求根公式解一元二次方程的关键在于：(1) 将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0(a 0) ； (2) 将各项的系数a， b，c 代入求根公式例 12解方程 x -3x+2=0.例 2解方程 2x2+7x=4.例 5解关于 x 的方程 x 2-m(3x-2m+n)-n 2=0练习P371题归纳总结1本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) 的求根公式，即要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2-4ac 02应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解布
15、置作业 ：习题 22.25、 8、 10 题达标测试1. 若代数式 4x2-2x-5 与 2x2+1 的值互为相反数 , 则 x 的值为A.1 或3B.1或2C.-1或2D.1或 323322. 对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0, 下列叙述正确的是A. 方程总有两个实数根B. 只有当 b2-4ac 0 时 , 才有两实根C.当 b2-4acx2, 则 x1-2x 2 的值是。8方程 x2= x的解是9. 用因式分解法解下列方程 :(1).(2x-1)2+3(1-2x)=0(2).(1-3x)2=16(2x+3) 2(3).x2+6x-7=010. 选用适当的方法解下列方程:(1).(3
16、-x)2+x2=9(2).(2x-1)2+(1-2x)-6=0(3).(3x-1)2=4(1-x)2(4).2(x-1)2=(1-x)根据以上各方程的特点解法公式法或配方法., 选择解法的思路是: 先特殊后一般. 选择解法的顺序是: 直接开平方法因式分配方法是普遍适用的方法, 但不够简便, 一般不常用. 不过对于二次项系数为1, 一次项系数为偶数的一元二次方程 , 用配方法可能比用公式法要简单些.课后反思 ：第五课时一元二次方程的根的判别式。教学目的1使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式2使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况3. 通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生
17、运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力培养学生思考问题的灵活性和严密性教学重点、难点重点：一元二次方程根的判别式的内容及应用难点： 1. 一元二次方程根的判别式的推导2. 利用根的判别式进行有关证明教学过程复习提问1一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？2用公式法求出下列方程的解：(1)3x 2x 10 0； (2)x 28x 160； (3)2x 26x 5 0引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢
18、？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题( 板书本课标题 )新课先讨论上述三个小题中b24ac 的情况与其根的联系再做如下推导：对任意一元二次方程ax2 +bx+c=0(a 0) ，可将其变形为 a 0， 4a2 0由此可知b2 4ac 的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况(1) 当 b2 4ac 0 时，方程右边是一个正数(2) 当 b2 4ac 0 时，方程右边是0通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax 2 bx c 0 的根的情况可由2是一元二次方程ax bx c 0 的根的判别式，通常用“”来表示b24ac来判定故称b2 4ac综上所述，一元
19、二次方程ax2 bx c 0(a 0)当 0 时，有两个不相等的实数根；当 0 时，有两个相等的实数根；当 0 时，没有实数根反过来也成立例 1. 不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x 23x 4 0；(2)16y 2 9 24y；(3)5(x2 1) 7x 0分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“”，确定它的符号情况即可例 2当 k 取什么值时，关于x 的方程 2x2-(4k+1)x+2k2-1=0(1) 有两个不相等的实数根； (2) 有两个相等实数根； (3) 方程没有实数根例 3. 求证关于 x 的方程 (k 2+1)x 2-2kx+(k 2+4)=0 没有实数根 .归纳总
20、结应用判别式解题应注意以下几点：1应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件2一元二次方程根的判别式的逆命题也是成立的布置作业 ：习题 22.24题达标测试1. 证明关于 x 的方程 (x-1)(x-2)=m 2 有两个不相等的实数根2.已知 a， b， c 是 ABC的三边的长，求证方程 a2x2-(a2+b2-c 2)x+b 2=0 没有实数根3.若 m n，求证关于 x 的方程 2x2 +2(m+n)x+m2 +n2=0 无实数根4.已知，关于 x 的方程（ a-2 ） x2-2 （a-1 ） x+（ a+1） 0，当 a 为何非负整数时； . 方程只有一个实数根 .
21、 方程有两个相等的实数根. 方程没有实数根 .课后反思第六课时一元二次方程的根与系数的关系教学目的1使学生掌握一元二次方程根与系数的关系( 即韦达定理 ) ，并学会其运用2培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力教学重点、难点重点： 1. 韦达定理的推导和灵活运用2. 已知方程求关于根的代数式的值难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式教学过程复习提问1一元二次方程ax2 bxc 0 的求根公式应如何表述？2上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？新课一元二次方程ax2 bx c0(a 0) 的两根为由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：( 又称“韦达定理”)如
22、果 ax2 bx c0(a 0) 的两个根是x1， x2，那么我们再来看二次项系数为1 的一元二次方程x2 px q0 的根与系数的关系得出：如果方程x2 pxq 0 的两根是x1，x2，那么 x1 x2 p，x1 x2 q由 x 1 x2 p， x1x2q 可知 p (x 1 x2) ，q x1 x2， 方程 x2 pxq 0，即 x 2 (x 1 x2)x x1x2 0这就是说，以两个数x ， x为根的一元二次方程( 二次项系数为1) 是 x (x x )x x x01221212例 1已知方程 5x2 kx6 0 的一个根是 2，求它的另一根及 k 的值例 2. 下列各方程两根之和与两根
23、之积各是什么？(1)x 2 3x 18 0；(2)x2 5x4 5；(3)3x 27x 2 0；(4)2x2 3x 0练习 P42归纳总结1本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理2要掌握定理的两个应用： . 不解方程直接求方程的两根之和与两根之积； . 已知方程一根求另一根及系数中字母的值布置作业 ：习题 22.27题达标测试1方程 2x2 7xk 0 的两根中有一个根为0， k 为何值？2. 利用根与系数的关系，求一元二次方程 2x23x 10 两根的 (1) 平方和； (2) 倒数和课后反思第七课时二次三项式的因式分解(公式法 )教学目的1使学生理解二次三项式
24、的意义及解方程和因式分解的关系2使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解因式教学重点、难点重点：用求根法分解二次三项式难点： 1. 方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别2. 二元二次三项式的因式分解教学过程复习提问解方程： 1 x2-x-6 0；2 3x 2-11x+10 0；3 4x2+8x-1 0引入新课在解上述方程时，第 1，2 题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解 而第 3 题则只有采用其他方法此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的是否存在新的方法能分解二次三项式呢？第 3 个方程的求解给我们以启发新课二次三项式 ax2+bx+c(a 0) ，我们已经可以
25、用十字相乘法分解一些简单形式下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法易知，解一元二次方程2x2-6x+4 0 时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2) 0，求得其两根x11， x2 2.反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式即，令二次三项式为0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式具体方法如下：2 ax 2-(x 1+x2)x+x 1x2 a(x-x 1)(x-x 2) 从而得出如下结论在分解二次三项式ax2+bx+c 的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0 的两根 x1，x2，然后写成 ax2 +bx+c a(x-x 1)(x-x 2)
26、例如，方程2x2-6x+4 0 的两根是 x1 1， x2 2则可将二次三项式分解因式，得2x2-6x+4 2(x-1)(x-2)2例 1 把 4x -5 分解因式归纳总结用公式法解决二次三项式的因式分解问题时，其步骤为：1令二次三项式ax2+bx+c 0；2解方程 ( 用求根公式等方法) ，得方程两根x1， x2；3代入 a(x-x 1)(x-x2) 二次三项式ax2+bx+c(a 0) 分解因式的方法有三种，即1利用完全平方公式；2十字相乘法：2即 x +(a+b)x+ab (x+a)(x+b) ；acx 2+(ad+bc)x+bd (ax+b)(cx+d)3求根法：ax2+bx+c a(
27、x-x 1)(x-x2) ，(1) 当 b2-4ac 0 时，可在实数范围内分解；(2) 当 b2-4ac 0 时，在实数范围内不能分解布置作业 ：对下列式子进行因式分解2x2+6x+4. .4x 2-4x+1 .-2x 2-4x+3. .2x 2-8xy+5y 2课后反思一元二次方程的应用第一课时教学目的1使学生会列出一元二次方程解应用题2使学生通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力教学重点、难点重点：由应用问题的条件列方程的方法难点：设“元”的灵活性和解的讨论教学过程复习提问1一元二次方程有哪些解法？( 要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法)2回忆
28、一元二次方程解的情况( 要求学生按0， 0， 0 三种情况回答问题)3我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？根据等量关系列方程( 组 ) ；解方程 ( 组 ) ；检验并写出答案( 要求学生回答：审题；设未知数；)引入新课问题 1：用一块长 80cm，宽 60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为 1500cm2 的无盖长方形盒子试问：应如何求出截去的小正方形的边长？解：设小正方形边长为(80-2x)(60-2x) 1500，xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm，依题意，可得2即 x -70x+825 0当时，我们不会解此方程现在，可用求根公式解此方程了 x1 55，