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1、初中数学培优：经验归纳法【知识精读】1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经 验归纳法。例如由 ( 1)2 1 ，（ 1 ）3 1 ，（ 1 ）4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是 1，而 1 的偶次幂 是 1 。由两位数从 10 到 99 共 90 个（ 9 10 ），3 位数从 100 到 999 共 900 个（9102），4 位数有 91039000 个（9103），归纳出 n 位数共有 910n-1(个) 由 1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42推断出从 1 开始的
2、 n 个連续奇数的和等于 n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行 足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论， 都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）【分类解析】例1平面内 n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？解：两条直线只有一个交点， 1 2第 3 条直线和前两条直线都相交，增加了 2 个交点，得 12 3第 4 条直线和前 3 条直线都相交，增加了 3 个交点，得 123第 5 条直线和前 4 条
3、直线都相交，增加了 4 个交点，得 1234 第 n 条直线和前 n1 条直线都相交，增加了 n1 个交点由此断定 n 条直线两两相交，最多有交点 123n1（个），这里 n2，其和可表示为1+（n+1）n +1 n( n -1), 即 个交点。 2 2例 2符号 n！表示正整数从 1 到 n 的連乘积，读作 n 的阶乘。例如5！12345。试比较 3n与（n+1）！的大小（n 是正整数）解：当 n 1 时，3n3, （n1）！122当 n 2 时，3n9， （n1）！1236当 n 3 时，3n27, （n1）！123424当 n 4 时，3n81, （n1）！12345120当 n 5 时
4、，3n243, （n1）！6！720 猜想其结论是：当 n1，2，3 时，3n（n1）！，当 n3 时 3n（n1）！。例 3 求适合等式 x +x +x +x =x x x x 的正整数解。1 2 3 2003 1 2 3 2003分析：这 2003 个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用 经验归纳法从 2 个，3 个，4 个直到发现规律为止。解：x +x =x x 的正整数解是 x =x =21 2 1 2 1 2x +x +x =x x x 的正整数解是 x =1,x =2,x =31 2 3 1 2 3 1 2 3x +x +x +x =x x x x 的正整
5、数解是 x =x =1,x =2,x =41 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4x +x +x +x +x =x x x x x 的正整数解是 x =x =x =1,x =2,x =51 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5x +x +x +x +x +x =x x x x x x 的正整数解是 x =x =x =x =1,x =2,x =61 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6由此猜想结论是：适合等式 x +x +x +x =x x x x 的正整数解为 x =x =x 1 2 3 2003 1 2 3 2003 1 2 3=x =1
6、, x =2， x =2003。2001 2002 2003【实战模拟】1 除以 3 余 1 的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有个，n 位数 有个。123 124 123 1244 34 3123 1241231244 34 32 十 进 制 的 两 位数a a1 2可 记 作 10a a , 三 位 数1 2a a a1 23记 作 100a +10a +a 四 位数 1 2 3,a a a a1 2 3 4记作，n 位数 记作3 由 1323（12）2，132333（123）2，13233343（）2 ,13152，1323n3=( )2。 4 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是
7、什么正整数的平方）111L1 222L 2 （）2；111L1 222L 2 （ ）2。10个1 5个 22 n个1 n个 2111L1 55L 56 （）2； 11L1155L 56 （）29位9位n位n位5 把自然数 1 到 100 一个个地排下去：1239101199100 这是一个几位数？这个数的各位上的各个数字和是多少6计算1 1 1 1 11 12 12 13 13 14 19 20（提示把每个分数写成两个分数的差）7a 是正整数，试比较 aa+1 和(a+1)a的大小.8. 如图把长方形的四条边涂上红色，然后把宽 3 等分，把长 8 等分，分成 24 个小长方形，那么这 24 个
8、长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个。本题如果改为把宽 m 等分,长 n 等分(m,n 都是大于 1 的自然数)那么这 mn 个长方形中，两边 涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个9把表面涂有红色的正方体的各棱都 4 等分，切成 64 个小正方体，那么这 64 个中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有 个。本题如果改为把长 m 等分,宽 n 等分,高 p 等分，（m,n,p 都是大于 2 的自然数）那么这 mnp个正方体中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，2 2 21231424314243四面都不涂色的有个。10
9、一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块，其中不带皮的有块。 11已知两个正整数的积等于 11112222，它们分别是，。练习3，30，3102，310n-11. 10n-1a +10n-2a _+10a +a1 2 n-1 n4. 333332,333L 33L 34 ， 33L 34n个9 位n位5.192 位，901 位（50 个 18，加上 1）6. 1 1 1 9 11 12 11 12 2207. a=1,2 时，aa+1(a+1)a 8. 4,14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2)9. 8,24,24,8；8，4（m2）（n-2）+(p-2),2（m-2）(n-2)+(m-2)(p-2)+(n-2)(p-2), (m-2)(n-2)(p-2)10. 64,8 11. 3334