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1、阅读与思考一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元” ，即通过消元将一次方程组转化为一元一次方程来解，常用的消元方法有代入法和加减法解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等） ，需观察方程组的系数特点，从整体上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法对于含有字母系数的二元一次方程组，总可以化为a1 xb1 yc1 的形式，方程组的解由a2 xb2 yc2a1 ,b1,c1, a2 , b2 ,c2 的取值范围确定，当a1,b1 , c1 , a2 ,b2 ,c
2、2 的取值范围未给出时，须讨论解的情况，基本思路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论例题与求解xy2【例 1】 若 m 使方程组的解 x， y 的和为 6，则 m _x2 ym( 湖北黄冈市竞赛试题)解题思路： 用含 m 的式子分别表示x， y，利用 x y 6 的关系式，求解m【例 2】 若 4x3y6z 0，x 2y7z0（ xyz 05x 22y2z2)）则代数式3 y2的值等于 (2x210z21B 19C 15D13A 22( 全国初中数学竞赛试题)解题思路 ：把 z 当作常数，解关于x，y 的方程组【例 3】 解下列方程组xyz（1） 4562x3 y4z 3（
3、“缙云杯”邀请赛试题）1995x1997y5989（ 2）1997x1995y7987（北京市竞赛试题）x1x2x2 x3x3 x4x1997x1998 x1998 x1999 1（ 3）x2x1998x19991999x1（“华罗庚金杯”竞赛试题）解题思路： 根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整体叠加ax2 y1a【例 4】 已知关于x， y 的方程组分别求出a 为何值，方程组的解为：2x2(a1) y3（ 1）有唯一一组解；（ 2）无解；（3）有无穷多组解（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路 ：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况讨
4、论【例 5】已知正数 a， b， c， d， e， f 满足 bcdef4 ， acdef9 ， abdef16 ， abcef1 ，abcd4abcdf1 ， abcde1 求 (a b e) (b df ) 的值e9f16（“CADIO ”武汉市竞赛试题）解题思路： 利用叠乘法求出abcdef 的值【例 6】已知关于x， y 的二元一次方程（a 3）x（ 2a5） y 6 0，当 a 每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解（1）求出这个公共解（2）请说明，无论a 取何值， 这个公共解都是二元一次方程 （ a3）x（ 2a 5）y 6 0 的解（ 2013 年“实中杯”数学竞赛试题）
5、解题思路： 分别令 a 取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解能力训练A 级1 若 3x3 m 5n 94 y4 m 2n 12 是关于 x， y 的二元一次方程，则mn的值等于 _.（“希望杯”邀请赛试题）23x17 y632 方程组17x23y57，的解为 _.（辽宁省中考试题）ax5 15y由于甲看错了方程中的a 得到方程组的解为 x 3， y3 已知方程组24byx1；乙看错了方程中的b 得到方程组的解为x5，y4若按正确的 a，b 计算，则原方程组的解为 _ .（四川省联赛试题）4 已知关于 x 的方程 a(x3)b(3x1)5( x1) 有无穷多个解， 则 a，b_.（“
6、希望杯”邀请赛试题）5已知 ( xy4) 2( xy2)20 ，则有 ()3232A. x 2， y 3B. x 6， y3C. x 3， y 6D. x 3， y63x2 y64x y 2a 0 的解，那么 a 的值是 ()6如果方程组2 y的解也是方程3x291B.91C. 2D. 2A.63a2b3c0bcca的值为 ()7设非零实数 a，b，c 满足3b4c，则 ab2a0a2b 2c21B.0C.1D. 1A.22（ 2013 年全国初中数学竞赛试题）2a3b13a8.32(x2)3( y1)138若方程组5b30.9的解为1.2则方程组2)5( y1)30.93ab3( x的解为
7、()x8.3x10.3x6.3x10.3A.1.2B.2.2C.2.2D0.2yyyy（山东省枣庄市中考试题）2x3y2k16，求 k 的值9已知关于 x， y 的方程组2 y4k的解 x， y 的值的和为3x3（上海市竞赛试题）10解方程组361x463y102（ 1）463x361y102（云南省昆明市竞赛试题）121x16y（2）31112x22 y1（浙江省竞赛试题）xy7（ 3）2 x3 y111若 x1 x5 满足下列方程组2x1x2x3x4x56x12x2x3x4x512x1x22x3x4x524 ，求 3x42x5 的值x1x2x32x4x548x1x2x3x42x596（美国
8、数学邀请赛试题）B 级1已知对任意有理数a， b，关于 x， y 的二元一次方程 ( ab) x (a b) ya b 有一组公共解，则公共解为 _.（江苏省竞赛试题）2xy3z232设4 y5z，则 3x 2yzx36（ 2013 年全国初中数学竞赛试题）6xmy18m 可能的值是3若关于 x，y 的方程组y有自然数解，则整数3x0（ 2013 年浙江省湖州市竞赛试题）( a1)xy 5，b4 已知方程组x y，当 a时，方程组有唯一一组解；当ba，b时，方程组无解；当 a， b时，方程组有无数组解（“汉江杯”竞赛试题）5“”表示一种运算符号，其意义是a b 2ab，如果 x（ 13） 2，
9、则 x () A.113D 2B.C.22（江苏省竞赛试题）6已知135，则 x2 y 的值为 ()xyz zx2yzA.1B.3C.3122D4（重庆市竞赛试题）ax2by23ax5by9a，b 的值是7已知关于 x， y 的两个方程组2xy和3xy具有相同的解，那么711()a3B.a2C.a2a3A.2b3b3D2bb8若 a，c，d 是整数， b 是正整数，且满足a bc，b cd，cda，则 a b c d 的最大值是 () A. 1B. 5C.0D 1（全国初中数学联赛试题）9解方程组（1）xy1x2 y3（江苏省竞赛试题）ab1bc2（ 2） cd 3 de 4 ea 6（上海市
10、竞赛试题）10已知ab1 ， bc1 ， ca1 ，求abc的值a b15 b c17 c a16ab bcca（山西省太原市数学竞赛试题）11已知x1 ，x2 ， x3 ， ，xn 中每一个数值只能取2， 0，1 中的一个，且满足求的值x1 x2 x3 xn 17， x12 x22 x32 xn2 37求x13 x23 xn3的值（“华罗庚金杯”邀请赛试题）12已知 k 是满足 1910 k 20105x4 y7的整数，并且使二元一次方程组5 y有整数解，问：4xk这样的整数 k 有多少个？（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题 14一次方程组例 18一得 3y=m-2 ， ym 24m 2+得
11、3x=4+m ， x3又由 x+y=6 得34mm2+ =6，解得 m=8.334x3y6zx3z222例 2D5 (3z)2(2z)z13.提示：由题意知得y代入原式中， 得x 2 y7 z2z2 (3z) 23 (2 z)210z2x12例 3（ 1）y15 ，提示：令 xyzk ，则 x=4k,y=5k,z=6k.z45618x1(2),提示：将方程分别相加、相减得x+y=3,x-y=-1.y2AB1（ 3）由题意可设x1 =x 3=x 5=x 1999=A,x 2=x4=x 6=x 1998=B，则1000A999B1999解得 A=1 000 ， B=- 999 ，即 xl = x
12、3 =x 5=x1999=1 000,x 2 =x 4 =x 6=x 1998=-999.例 4 提示：由方程组得(a 2)( a 1)x( a2)(a 2)2(a 2)(a 1)ya2(1)当（ a-2）(a+1) o，即 a 2 且 a -l 时，原方程组有唯一解；(2)当 (a-2) (a+l) =0且 (a-2) (a+2) 与 a-2中至少有一个不为0 时，方程组无解，故当a= -1 时，原方程组无解；(3)当 (a-2)(a+l)=(a-2)(n+2)=（ a-2)=0, 即 a=2 时，原方程组有无数组解例 5提 示 ： 依 题 意 可 得 (abcdef)4=1 即abcdef
13、=1 ， 从 而 a41， 故 a1，同理可得42b1, c1, d 2, e 3 , f4 ，那么 (ac e) (b d f ) ( 113) (124)273424312例 6(1)分别令 a 取两个不同的值，可得到二元一次方程组，解出公共解为x7y3(2)把 (a- 3)x+(2a-5)y+6-a=0可变形为 (x+ 2y -1)a- 3x - 5y+6=0依题意可得x 2 y10x7.3x5y,解得6 0y3无论 a 取何值，这个公共解都是二元一次方程(a-3)x+(2a-5)y+6-a=0的解A 级3x2x141.2.3.294.215C6 B19y1y5提示：由已知得a+b+c=
14、(2a+3b+4c)-(a+2b+3c) =0，故2 ，于是1( a2b2c2 ) ，7 A(a+b+c) =0ab+bc+ca12则原式的值为28.Cx28.3x6.3提示：依题中方程组知y1解得2.21.2y9.5提示： x16 k11 , y2 k31313131310.x1(1)y17x11(2)3提示：设A，B .x11112 yy6(3)x14 x24 x3 4 x44y1,3,y33 y433 y211.181 提示：将各个方程相加得x1+x 2 +x 3 +x 4+x 5 31B 级x01)b(x y1)0xy101.1提示：由 a( x y知y10yx2. 10提示： 3x2
15、y z 2(2x y3z) (x4y 5z) 2 23 36 46 36 103. 1， 0，1，4提示：把 y 3x 代入 6xm y 18 中得 6x3my18,整理得 x6，又因为 x，m2y 为自然数，故符合条件的m 取值为1，0， 1， 4。4.2 为任意有理数 252 55. B6. B提示：运用奇数、偶数性质分析。7. B2xy7x4提示：由3xy得方程组的解为y1118. B提示：由条件得a 3b,c 2b,d bx15x25x31x4133339. (1)y12y22y34y443333提示：当 xy0 时， xy x y ，当 xy0 时，xy x yy x（ 2） a 1
16、 3 ,b 1 2 ,c 1 3,d 1 1,e 1 4,a 2 3,b 2 2 ,c 2 3,d 2 1,2323e 2 4提示：由方程组得 a 2b2c2d2e2 144.1115，ab10由题意三个式子可变形得1117， 得111则bc2(b) 48.ac1113.ca11124bcac+ab ，故ababcac1.abcabcbc2411设有 P 个 x 取 1， q 个 x 取 2p2q17,解得p1,则有4q37,q所以原式 1 13 9 ( 2)3 71p9.x354k ,354k41m,12由题中条件得41设为整数).5k285k2841n,(m, ny41.消去 k 得 5m 4n 7，解得m34t,(t为整数 ). 从而得 k 22 41tn25t ,由 1910 22 41t 2010，得462t20，故共有2 个 k 值使原方程组有整数解414841